Да, сам канал крутой, кто ж спорит. Но все же векторы и элементы - не одно и то же. У яблок направления нет. Математики навязывают "векторное пространство". А мир вокруг - он скорее аффинный.
По мне сложновато как-то, перебор специфических терминов без расшифровки. Про внешнее произведение вообще не упомянуто. Зачем маяться с кососимметрическими формами, когда внешнее произведение позволяет все упростить, в том числе и понимание сути определителей.
Ну и чего там правильного? Там же просто геометрическая интерпретация показана. Это лишь частный случай одного из использований. А люди подумают, что определители - это что-то сугубо векторное.
Определитель - одна из скалярных характеристик квадратной матрицы. Интерпретация зависит от того, что матрица содержит. Абстрактно да - характеризует линейную независимость набора объектов, отношения между которыми отражают значения матрицы. Любых объектов, а не только векторов. Можно оценивать независимость яблок, груш и бананов, если приспичит.
Насчет инженерных задач не знаю, не сталкивался.
Но поскольку формализм описанной алгебры довольно абстрактен, то где-то скорее всего вполне подойдет. Вопрос лишь в том, достаточно ли будет ее механизмов (внешнее умножение, обратные элементы, линейные комбинации и формы), или понадобятся дополнительные.
Спасибо за развёрнутый комментарий. Да, мотивация разная может быть. Я пишу для таких же парней, как я сам. То есть пишу о том, что сам бы хотел прочитать, чтобы разобраться. Это польза для других. Но есть и другая сторона — польза для меня самого. Когда я пытаюсь изложить вещи «простым языком», всплывают некоторые тёмные места, которые приходится прояснять, и общее понимание углубляется.
Математика, изложенная в традиционных учебниках, напоминает монструозную плохо написанную программу, в которой куча повторяющегося и избыточного кода. Это вроде бы не мешает никому конкретно, но в целом мешает всем. Ее надо рефакторить постоянно.
С примерами всегда непросто. Чтобы продемонстрировать мощность и общность какого-либо аппарата, примеров должно быть много. Но тут упираемся в объем. Все-таки это просто статья с претензией на краткое изложение.
Что касается того, что должно «остаться в голове». У каждого свой бэкграунд и свой фильтр восприятия. От этого зависят акценты, кого что цепляет. В каждой статье я стараюсь рассматривать только те вещи, которые зацепили когда-то меня.
Датасаенс да, — и там много примеров можно разбирать. Но это просто одно из направлений. Квантмех тоже, имхо, выглядит намного проще и стройнее, когда изначально вводится копространство, внешнее произведение и формы. И смелое заявление, что больше ничего в общем-то не нужно ). Ну и т.д.
Я опубликовал еще две части. Одна про пространство графов, другая — про отображение пространств. Если вопросы останутся или появятся новые — то лучше перенести обсуждения туда.
Давайте все в кучу не валить, чтобы не запутаться ).
В аффинном пространстве людей вы можете выражать координаты одних людей через других — базовых. Мерность пространства может быть разной. Я привел простейшее — одномерное, где люди — это точки на одной прямой, которая задается Петей и Сережей.
Когда мы переходим к характеристикам (людей), то это эквивалентно проекции пространства людей на пространство характеристик. При этом мерности пространств надо согласовать, то есть размерность пространства характеристик надо привести к размерности пространства людей.
Допустим есть пространство городов, в которых находятся (проживают) люди. В общем случае оно многомерно (нескалярно в ваших терминах). И поэтому нет смысла проецировать в него одномерное пространство людей. Грубо говоря, из того, что Петя живет в Москве, а Сережа в Ижевске, нет возможности определить, где живет Вася.
Но мы можем предварительно само пространство городов свернуть в одномерное, — то есть расположить все города на линии, образованной городами Пети и Сережи, то есть на векторе «Ижевск — Москва». И вот в такое пространство проецировать линейное пространство людей уже можно вполне корректно. И Вася окажется предположительно в Нижнем Новгороде, поскольку Нижний Новгород примерно равен (Ижевск + Москва)/2. Это все, что мы можем сказать, имея исходную информацию.
— Про графы не уверен, что понял вопрос. Все вершины графа независимы. Нельзя одну из вершин графа определить как линейную комбинацию других. Но это не означает, что в данном пространстве вообще невозможно определить другие элементы (точки), как линейную комбинацию вершин графа.
Например, при переходе к подпространству графа часть его вершин становится зависимой от вершин нового базиса (подграфа).
… как понимать умножение людей, если люди (именно люди, а не какие-то их числовые и векторные характеристики) не образуют линейное пространство (по крайней мере, которое бы имело сколь-угодно осмысленную бытовую интерпретацию)?
Почему не образуют? Очень даже образуют со вполне понятной интерпретацией. Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.
(графы) тоже не образуют линейное пространство и сами линейным пр-вом не являются.
А это почему? Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики. Я про это кучу статей на хабре написал. Там и про координаты объектов есть, и про то, что лапласиан графа — это метрический тензор. Полистайте.
Если Вы сравниваете внешнее произведение со списком объектов, а алгебру с реляционной алгеброй, можно ли погрузить списковое программирование в эту теорию?
Это хороший вопрос, я сам иногда над ним задумываюсь. Поскольку природе, похоже, вполне хватает свойств внешней алгебры, то есть свойств двух списков — один с исключением одинаковых элементов (фермионы), другой — с накоплением одинаковых элементов (бозоны). А если это так, то, возможно, и все остальные операции (в том числе которые вы перечислили) можно выразить через операции над данными списками с учетом элементов копространства.
Надеюсь, что у меня дойдут руки, чтобы это выяснить, если кто другой это уже не сделал. Ну или можете сами попробовать ).
И ещё один вопрос-уточнение: следующие линейные комбинации существуют?
a + [ab] + [abc]
a + /a
Первая — вполне обычное выражение (градуированная цепь). Вторая, наверное, тоже имеет место быть, но надо выяснить, какой смысл она несет. Вообще мне не встречались подобные выражения, но я и работал только с обычными (однородными) пространствами.
для произвольного объекта мы не знаем элементарный он или составной. Нужно явно «назначить» его элементарным (или указать «состав») перед тем как можно будет его осмысленно умножать.
Если мы не знаем порядок объекта, то это означает, что порядок становится параметром, от которого зависит результат (произведения). Или переменной, подлежащей определению. Например, в эксперименте, где объекты меняются местами. Сами правила не меняются, и алгебра остается применимой для любых объектов.
Тут у вас непонятные симплексы перемножаются, да и то, похоже, с ошибкой ). В статье указано, что симплекс может быть только однородным. Поэтому если вы умножаете симплекс [a/a] на [b], то получите -[b]. А если умножаете [a] на [/a b], то получите 0. В комментариях выше уже пояснял, как выполняется свертка симплекса для приведения к однородному.
В общем случае произведение симплексов и косимплексов неассоциативно, то есть зависит от расстановки скобок.
Да, вопрос содержания школьной программы является холиварным, и тут у каждого свое мнение ). Тем не менее я против того, чтобы детей намеренно вводили в заблуждение, сообщая им неверные сведения об окружающем мире, мотивируя тем, что «иначе не усвоят». Как раз школьники усваивают новое намного легче, иногда действительно «просто принимая на веру». Именно поэтому важно дать им правильные основы, а не заставлять потом переосмысливать сложившуюся картину мира.
Магнитное поле — это не вектор, а бивектор. Отсюда понятно, почему оно «циркулирует». А вот когда оно объявляется «аксиальным вектором» — еще пойди догадайся, о чем речь, и какие отсюда следуют свойства.
Момент силы — тоже бивектор. Отсюда понятно, почему там синус и площадь.
Поэтому лучше бы сразу развить интуитивное понимание бивекторов.
Отрезок и вектор — не одно и то же! Об этом даже не все математики догадываются. Они похожи, да. Оба состоят из двух элементов, оба имеют направление. Но один при этом — произведение элементов, а другой — разность.
Такие нюансы, имхо, более важны, чем заучивание формул тригонометрии.
Спасибо за добрые слова и содержательные вопросы. На большинство из них я не знаю ответов ). Поэтому могу только кратко прокомментировать.
1) Насчет классификации данной алгебры надо алгебраистов спрашивать. Наверное, что-то типа неассоциативного кольца, но опять же тут надо разбираться, всем ли требованиям/определениям удовлетворяет.
2) Ленту Мебиуса невозможно выразить как сумму ориентированных треугольников — это все, что я знаю ). В частности потому, что ориентированный треугольник имеет две стороны, а лента Мебиуса — односторонняя. Но тут у меня самого остается вопрос — площадь же у ленты Мебиуса все равно есть — как ее выразить? Наверное, топологи знают ).
3) Насчет (ab)(cd). Да, тождество корректно: (ab)(cd) = (ab)(cb + bd) = (ab)(cb) + (ab)(bd) = -(abc) + (abd). Поэтому в аффинном пространстве данный элемент отвечает сумме-разности бивекторов. Площадь в плоскости Oxy и будет разностью площадей данных бивекторов (их проекций на данную плоскость). Но в общем случае 4 элемента не принадлежат одной плоскости.
В графе данный элемент соответствует двум несвязанным компонентам, состоящим из двух связанных вершин. Но граф — это все-таки уже другое пространство.
4) Насчет фазовых пространств, мне кажется, надо у Арнольда смотреть — «Математические методы классической механики». Там и про энергию, и про криволинейные интегралы есть.
5) Да, я тоже за то, чтобы как-то попроще все было, и на конкретных примерах разжевано ).
Разрыв между теорией и практикой всегда был и будет, что тут копья ломать. Хорошая теория, как и хорошая программа, должна быть проста и минимумом понятий объяснять большое количество вещей.
Мне, например, непонятно, зачем сравнивать тройки людей по росто-весу.
Может, кластеры какие-то обнаружатся или ещё какие закономерности. Но вообще тут упор на то, что в подобных пространствах по одному параметру можно сравнивать два объекта, по двум — три, и т. д. А вот сравнить два объекта по двум параметрам без дополнительных допущений не получится.
Хм. А что не так с любыми объектами? Список или множество можно составить из любых объектов. В этом и сила абстракции. Внешнее произведение объектов — это просто их перечень с учётом порядка. Почти как множество, только со знаком. Тут не надо тумана напускать.
Спасибо, я понял, о чем вы. Все-таки в данном примере речь скорее о правиле свертки (схлопывания) симплекса, содержащего разнородные элементы. Внутри такого симплекса следует сначала сократить дуальные пары. Если после такого сокращения остаются разнородные элементы, то симплекс обращается в нуль. Тут все однозначно.
Но возможно, что природа все-таки допускает одновременное умножение нескольких симплексов разных пространств без указания порядка. И тогда мы сталкиваемся с различными результатами при одних и тех же начальных условиях. То, что называется вероятностным исходом. Но это так, к слову.
В классической линейной алгебре внешнее произведение рассматривается исключительно в векторном пространстве. Из современных, например, монография «Linear Algebra via Exterior Product». Есть здесь — sites.google.com/site/winitzki.
Определение симплексов и их границ есть в учебниках по топологии, гомологии. Например, «Элементы теории гомологий», Прасолов.
Но корень у этих разных направлений в математике — общий.
Да, сам канал крутой, кто ж спорит. Но все же векторы и элементы - не одно и то же. У яблок направления нет. Математики навязывают "векторное пространство". А мир вокруг - он скорее аффинный.
По мне сложновато как-то, перебор специфических терминов без расшифровки. Про внешнее произведение вообще не упомянуто. Зачем маяться с кососимметрическими формами, когда внешнее произведение позволяет все упростить, в том числе и понимание сути определителей.
Ну и чего там правильного? Там же просто геометрическая интерпретация показана. Это лишь частный случай одного из использований. А люди подумают, что определители - это что-то сугубо векторное.
Определитель - одна из скалярных характеристик квадратной матрицы. Интерпретация зависит от того, что матрица содержит. Абстрактно да - характеризует линейную независимость набора объектов, отношения между которыми отражают значения матрицы. Любых объектов, а не только векторов. Можно оценивать независимость яблок, груш и бананов, если приспичит.
Но поскольку формализм описанной алгебры довольно абстрактен, то где-то скорее всего вполне подойдет. Вопрос лишь в том, достаточно ли будет ее механизмов (внешнее умножение, обратные элементы, линейные комбинации и формы), или понадобятся дополнительные.
Математика, изложенная в традиционных учебниках, напоминает монструозную плохо написанную программу, в которой куча повторяющегося и избыточного кода. Это вроде бы не мешает никому конкретно, но в целом мешает всем. Ее надо рефакторить постоянно.
С примерами всегда непросто. Чтобы продемонстрировать мощность и общность какого-либо аппарата, примеров должно быть много. Но тут упираемся в объем. Все-таки это просто статья с претензией на краткое изложение.
Что касается того, что должно «остаться в голове». У каждого свой бэкграунд и свой фильтр восприятия. От этого зависят акценты, кого что цепляет. В каждой статье я стараюсь рассматривать только те вещи, которые зацепили когда-то меня.
Датасаенс да, — и там много примеров можно разбирать. Но это просто одно из направлений. Квантмех тоже, имхо, выглядит намного проще и стройнее, когда изначально вводится копространство, внешнее произведение и формы. И смелое заявление, что больше ничего в общем-то не нужно ). Ну и т.д.
В аффинном пространстве людей вы можете выражать координаты одних людей через других — базовых. Мерность пространства может быть разной. Я привел простейшее — одномерное, где люди — это точки на одной прямой, которая задается Петей и Сережей.
Когда мы переходим к характеристикам (людей), то это эквивалентно проекции пространства людей на пространство характеристик. При этом мерности пространств надо согласовать, то есть размерность пространства характеристик надо привести к размерности пространства людей.
Допустим есть пространство городов, в которых находятся (проживают) люди. В общем случае оно многомерно (нескалярно в ваших терминах). И поэтому нет смысла проецировать в него одномерное пространство людей. Грубо говоря, из того, что Петя живет в Москве, а Сережа в Ижевске, нет возможности определить, где живет Вася.
Но мы можем предварительно само пространство городов свернуть в одномерное, — то есть расположить все города на линии, образованной городами Пети и Сережи, то есть на векторе «Ижевск — Москва». И вот в такое пространство проецировать линейное пространство людей уже можно вполне корректно. И Вася окажется предположительно в Нижнем Новгороде, поскольку Нижний Новгород примерно равен (Ижевск + Москва)/2. Это все, что мы можем сказать, имея исходную информацию.
— Про графы не уверен, что понял вопрос. Все вершины графа независимы. Нельзя одну из вершин графа определить как линейную комбинацию других. Но это не означает, что в данном пространстве вообще невозможно определить другие элементы (точки), как линейную комбинацию вершин графа.
Например, при переходе к подпространству графа часть его вершин становится зависимой от вершин нового базиса (подграфа).
Почему не образуют? Очень даже образуют со вполне понятной интерпретацией. Если Вася = (Петя + Сережа)/2, то можно оценивать характеристики Васи, если таковые известны для Пети и Сережи. Обычное аффинное пространство.
А это почему? Графы задают не только линейное пространство, но и его метрические характеристики. Я про это кучу статей на хабре написал. Там и про координаты объектов есть, и про то, что лапласиан графа — это метрический тензор. Полистайте.
Это хороший вопрос, я сам иногда над ним задумываюсь. Поскольку природе, похоже, вполне хватает свойств внешней алгебры, то есть свойств двух списков — один с исключением одинаковых элементов (фермионы), другой — с накоплением одинаковых элементов (бозоны). А если это так, то, возможно, и все остальные операции (в том числе которые вы перечислили) можно выразить через операции над данными списками с учетом элементов копространства.
Надеюсь, что у меня дойдут руки, чтобы это выяснить, если кто другой это уже не сделал. Ну или можете сами попробовать ).
Первая — вполне обычное выражение (градуированная цепь). Вторая, наверное, тоже имеет место быть, но надо выяснить, какой смысл она несет. Вообще мне не встречались подобные выражения, но я и работал только с обычными (однородными) пространствами.
Если мы не знаем порядок объекта, то это означает, что порядок становится параметром, от которого зависит результат (произведения). Или переменной, подлежащей определению. Например, в эксперименте, где объекты меняются местами. Сами правила не меняются, и алгебра остается применимой для любых объектов.
В общем случае произведение симплексов и косимплексов неассоциативно, то есть зависит от расстановки скобок.
Магнитное поле — это не вектор, а бивектор. Отсюда понятно, почему оно «циркулирует». А вот когда оно объявляется «аксиальным вектором» — еще пойди догадайся, о чем речь, и какие отсюда следуют свойства.
Момент силы — тоже бивектор. Отсюда понятно, почему там синус и площадь.
Поэтому лучше бы сразу развить интуитивное понимание бивекторов.
Отрезок и вектор — не одно и то же! Об этом даже не все математики догадываются. Они похожи, да. Оба состоят из двух элементов, оба имеют направление. Но один при этом — произведение элементов, а другой — разность.
Такие нюансы, имхо, более важны, чем заучивание формул тригонометрии.
1) Насчет классификации данной алгебры надо алгебраистов спрашивать. Наверное, что-то типа неассоциативного кольца, но опять же тут надо разбираться, всем ли требованиям/определениям удовлетворяет.
2) Ленту Мебиуса невозможно выразить как сумму ориентированных треугольников — это все, что я знаю ). В частности потому, что ориентированный треугольник имеет две стороны, а лента Мебиуса — односторонняя. Но тут у меня самого остается вопрос — площадь же у ленты Мебиуса все равно есть — как ее выразить? Наверное, топологи знают ).
3) Насчет (ab)(cd). Да, тождество корректно: (ab)(cd) = (ab)(cb + bd) = (ab)(cb) + (ab)(bd) = -(abc) + (abd). Поэтому в аффинном пространстве данный элемент отвечает сумме-разности бивекторов. Площадь в плоскости Oxy и будет разностью площадей данных бивекторов (их проекций на данную плоскость). Но в общем случае 4 элемента не принадлежат одной плоскости.
В графе данный элемент соответствует двум несвязанным компонентам, состоящим из двух связанных вершин. Но граф — это все-таки уже другое пространство.
4) Насчет фазовых пространств, мне кажется, надо у Арнольда смотреть — «Математические методы классической механики». Там и про энергию, и про криволинейные интегралы есть.
5) Да, я тоже за то, чтобы как-то попроще все было, и на конкретных примерах разжевано ).
Может, кластеры какие-то обнаружатся или ещё какие закономерности. Но вообще тут упор на то, что в подобных пространствах по одному параметру можно сравнивать два объекта, по двум — три, и т. д. А вот сравнить два объекта по двум параметрам без дополнительных допущений не получится.
Но возможно, что природа все-таки допускает одновременное умножение нескольких симплексов разных пространств без указания порядка. И тогда мы сталкиваемся с различными результатами при одних и тех же начальных условиях. То, что называется вероятностным исходом. Но это так, к слову.
Определение симплексов и их границ есть в учебниках по топологии, гомологии. Например, «Элементы теории гомологий», Прасолов.
Но корень у этих разных направлений в математике — общий.