Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

В прошлой статье мы напоролись на конструкцию вида — произведение контравариантного тензора Леви-Чивиты на ковариантный. И, надо сказать, упростил я его не слишком элегантно, а довольно таки топорно. К тому же, конечное выражение формулы Родрига, что в компонентной, что в бескомпонентной форме оказалось крайне неудобным в плане дальнейшего преобразования. Но я ведь обещал читателю показать, как из выражения матрицы поворота через параметры конечного поворота получить угловую скорость твердого тела, поэтому, вопросы излагаемые ниже будут иметь решающее значение в применении тензорного подхода к кинематике и динамике твердого тела. Заодно в очередной раз порекомендую довольно старый сайт «На что похожа математика», хоть и созданный на движке народа.ру, но содержащий сведения, уже несколько раз подталкивающие меня в правильном направлении при решении проблем в изучении тензорной алгебры.

Итак, поговорим о свертках тензора Леви-Чивиты.

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

В этой статье мы продолжим тему, начатую предыдущей публикацией. В прошлый раз мы, с помощью тензоров, выявили природу угловой скорости и получили уравнения общего вида, позволяющие её рассчитать. Мы пришли к тому, что она естественным путем выводится из оператора поворота связанной с телом системы координат.

А что внутри этого оператора? Для случая декартовых координат легко получить матрицы поворота и легко обнаружить их свойства, связав с ними какой-нибудь способ описание ориентации тела, например углы Эйлера или Крылова. Или вектор и угол конечного поворота. Или кватернион. Но это для декартовых координат.

Начав говорить о тензорах мы отреклись от декартовых координат. Тем хороша тензорная запись, что она позволяет составить уравнения для любой удобной системы координат, не зацикливаясь на её свойствах. И проблема в том, что для, например косоугольных координат, матрицы поворота, даже для плоского случая, крайне сложны. Мне хватило проверки их вида для простого поворота в плоскости.

Так что задача этой статьи — не заглядывая внутрь тензора поворота исследовать его свойства и получить тензорное соотношение для его расчета. А раз задача поставлена, то начнем её решать.

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос.

Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении». И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.

Угловая скорость твердого тела — это первая производная от угла поворота тела по времени

А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении


обычно дается следующее определение

Угловая скорость тела — это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки

Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега — скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера».

При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся.

Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы.

Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость — это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга.

Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому — начнем!

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Итак, настал момент применить на практике всё то, о чем мы так долго рассуждали теоретически. Данная заметка будет использовать в основном материал предыдущей статьи, в которой есть ссылки на предыдущие публикации по тензорной тематике.

А заниматься мы будем механикой. Именно решение задач механики и побудило меня разбираться с тензорным исчислением. И поговорим мы об уравнениях Лагранжа 2 рода, которые применяются для анализа движения сложных механических систем. Эти уравнения имеют вид, хорошо известный большинству специалистов в данной области


где s — число степеней свободы механической системы; — обобщенная координата; — кинетическая энергия механической системы; — обобщенная сила.

Те, кто сталкивался с этими уравнениями наверняка замечали, что после выполнения трехкратного дифференцирования кинетической энергии получаются выражения, представленные линейной комбинацией вторых производных от обобщенных координат и линейной комбинации произведений их первых производных. И это, по крайней мере меня, наводило на мысль о том, что кинетическую энергию можно продифференцировать один раз в общем виде, а потом просто составлять уравнения движения, используя полученные выражения общего вида. Только вот попытки проделать это самостоятельно не приводили меня к успеху.

Тем не менее это можно сделать, если опираться на тензорное исчисление, в общем и не прибегая к дифференцированию кинетической энергии (хотя такой подход тоже возможен). И мы сделаем это в данной статье, правда пока только для точки, и заодно решим какую-нибудь не слишком сложную задачку, иллюстрирующую эффективность рассмотренного подхода.

Что же, начнем!

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Читая отзывы к своим статьям, понял, что я излишне перегрузил читателя теоретическими вводными. Прошу за это прощения, признаться честно, я сам далек от формальной математики.

Однако, тензорное исчисление пестрит понятиями, многие из которых требуется вводить формально. Поэтому третья статься цикла тоже будет посвящена сухой теории. Тем не менее, я обещаю, что в следующей работе приступлю к тому, к чему сам давно хотел — к описанию практической ценности тензорного подхода. На примете имеется интересная задача, большая часть которой в моей голове уже разобрана. Тензорное исчисление для меня не праздный интерес, а способ обработать некоторые из своих теоретических и практических соображений в области механики. Так что практика по полной программе ещё предстоит.

А пока что рассмотрим некоторые теоретические основы. Добро пожаловать под кат.

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Несказанно рад, что читателям понравилась предыдущая статья. Сразу сделаю оговорку — просто рассказать о таком ёмком понятии как тензор не получится — велик объем информации. Могу обещать, что к концу цикла мозаика сложится.

А в прошлый раз мы остановились на том, что рассмотрев представление вектора в косоугольном базисе, и определив, что он представляется двумя разными (ковариантными и контравариантными) наборами координат, получили общие выражения для скалярного произведения, учитывающие изменение метрики пространства. Таким образом, мы весьма осторожно подошли к понятию тензора

Тензор — математический объект, не изменяющийся при изменении системы координат, представленный набором >своих компонент и правилом преобразования компонент при смене базиса.

Скалярное произведение — это хорошо. Но как же быть с остальными операциями? Как они связываются с геометрией пространства и представимы ли в тензорном виде? Разумеется представимы, ведь векторы — это… тензоры! И скаляры — это тоже тензоры. Привычные нам математические объекты лишь частные примеры более общего понятия, коим является тензор.

Вот об этом мы и поговорим под катом.

Содержание

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Это было очень давно, когда я учился классе в десятом. Среди довольно скудного в научном плане фонда районной библиотеки мне попалась книга — Угаров В. А. «Специальная теория относительности». Эта тема интересовала меня в то время, но информации школьных учебников и справочников было явно недостаточно.

Однако, книгу эту я читать не смог, по той причине, что большинство уравнений представлялись там в виде тензорных соотношений. Позже, в университете, программа подготовки по моей специальности не предусматривала изучение тензорного исчисления, хотя малопонятный термин «тензор» всплывал довольно часто в некоторых специальных курсах. Например, было жутко непонятно, почему матрица, содержащая моменты инерции твердого тела гордо именуется тензором инерции.

Некоторое время назад я натолкнулся на упражнение, которое выглядит не так уж и сложно:

Пусть последовательность x_n определена так:

посчитайте x₃₀.

Это не так уж и трудно закодировать, возможно реализовав x_i как рекурсивную функцию. С обычными числами с плавающей запятой двойной точности, по мере увеличения i, результат красиво сходится к 100. Супер!

К сожалению, 100 даже близко не является правильным ответом. На самом деле последовательность сходится к 5.

Почти каждому, у кого есть сервера с привязанными к ним доменами, так или иначе приходится решать вопрос с почтой, как минимум с доступностью адресов вида webmaster/postmaster/abuse@domain.
Кто-то учит M4 и настраивает встроенный sendmail, кто-то использует сторонние сервисы ( например от Google ), кто-то — поднимает стандартную связку postfix+courier-imap+mysql ( ну или аналоги ).

Мне первое было делать лениво, второе — не хотелось по идеологическим причинам, а третье — слишком избыточно. Поэтому я нашел свой «срединный путь», о чем и хочу рассказать в этой статье.

Prerequirements

При написании этого руководства я предполагал, что пользователь способен взаимодействовать с *nix-системами посредством консоли, умеет устанавливать пакеты своего дистрибутива и владеет как минимум одним текстовым редактором для редактирования конфигов. В качестве примера я буду устанавливать пакеты на Arch Linux, поскольку это мой домашний дистрибутив.

Когда начинаешь искать возможности произвести на продажу малую партию собственных электронных устройств, то обнаруживаешь, что эту задачу можно решить, не вставая с кресла. Например, так работает сервис Seeed, организующий не только производство, но и продажу ваших устройств. Если же вы не уверены, будет ли спрос, или просто желаете сэкономить, то оптимальным вариантом, на мой взгляд, будет заказать печатные платы где-нибудь в Китае, а себе оставить монтаж поверхностных (SMD) компонентов в домашних условиях. Я хочу рассказать, как можно существенно ускорить поверхностный монтаж с помощью самодельных трафаретов и импровизированной печи оплавления.

Вступление

Предлагаю вашему вниманию перевод этой инструкции по установке Ubuntu Jaunty на Nokia N800/N810.
Что работает:

• Dsme
• Hal (частично)
• Screen diming
• Xserver-xorg
• Простые эффекты Compiz
• Управление питанием
• Usbnet emergency talend
• Powersave
• Bluetooth
• Right click
• Беспроводная сеть
• keymapping (аппаратные клавиши и виртуальная клавиатура)

Подробности под катом.

Все помнят этот фильм? Какого черта он делает на Хабре? И вообще что тут делает подобный пост?
Наверное потому, что я считаю главным звеном в IT все таки человека, а точнее его мозги. Я попробую рассказать еще об одной возможности использовать свой мозг чуточку эффективнее. Одна из слабо задокументированных возможностей, которую мы используем каждый день, но не всегда даже об этом вспоминаем. Все описанное проверялось на мне. Если что-то я не пробовал, но рассказать об этом важно буду отмечать особо. Никаких наркотиков, аппаратов и издевательств над собой, только общедоступные легкие методики (короче, лег проспался и вперед, не вставая даже с кровати).
И да… Это до жути реалистично, на столько, что попробовав, вы не сможете не рассказать об этом.

Что бы не было лишних криков в комментах, попрошу всех кто ярых сторонников любой религии и конфессии, а так же убежденных эзотериков сразу поставить минус в карму и не читать дальше. Здесь не будет философии и великих вселенских тайн. А остальных прошу под кат — попробую рассказать о своей практике разгона мозга с помощью встроенных функций.

В прошлой статье я вкратце рассказал о том, чем же занимается ЦЕРН. Теперь же я хочу немного рассказать об эксперименте ATLAS.



По традиции, замечание для физиков: я попытаюсь объяснить все так, чтобы было понятно человеку, далекому от физики. Я как можно меньше буду говорить терминами теоретической физики и упрощу Стандартную модель до безобразия, да простит меня Хокинг за это.

И чтобы заинтересовать читателя, я задам один вопрос: почему у вас есть масса?

Трудно вспомнить, когда и за какими напитками нам впервые пришла в голову мысль, что если все лето путешествовать не получается, и в перерыве между поездками все равно нужно работать, то нужно делать это в любимых нами Ладожских шхерах. Но в прошлом году мы это сделали — организовали на месяц коворкинг-офис на гранитном основании. И повторяем в этом году. По дороге мы приобрели некоторый опыт, который и хотим обобщить в этой статье. Мало ли, пригодится кому.

Американский институт математики совместно с Национальным научным фондом открыли сайт AIM Problem Lists — систематизированный каталог нерешённых математических проблем, с подробным описанием каждой из них.

Для начала в каталог включили четыре категории тем.

Группы кос, кластеры и свободная вероятность
Низкие собственные значения операторов Лапласа и Шрёдингера
Эквиваленты гипотезы Римана
Гипотеза Римана и смежные проблемы

Каталог задуман как открытый, и пополнять его могут все представители научного сообщества.

Со временем этот сайт станет отличным подспорьем для начинающих учёных, которые думают над выбором области исследований. Правда, работа может затянуться на годы и даже десятилетия, потому что некоторые задачи остаются нерешёнными уже очень долго.

Идея рассказать об этом простом, но очень эффективном упражнении пришла после прочтения вот этой темы.

Прочитав ее, я понял, что бег, может, и подходит многим. Но, глядя на лужи, ветер и дожди за окном пять дней в неделю, засомневался, что подходит всем.

Поэтому я хочу рассказать об отжиманиях, чем они лучше, с моей точки зрения, известных стандартных физических упражнений (подтягивания, приседания), для создания физической нагрузки в течение дня.

Привет, Хабр! Решил побаловаться графоманством и поделиться результатом развлечения прошедших выходных (только эти выходные прошли давно и статья писалась гораздо дольше, чем развлечение. Как говорится, делу время — потехе час).

Я расскажу про так называемые алгоритмы расщепления (в частности, про DPLL-алгоритм), про теорему и числа Ван-дер-Вардена, а в заключение статьи мы напишем свой собственный алгоритм расщепления и за полчаса вычислений докажем, что число w(2; 5) равно 178 (первооткрывателям в 1978 году на это потребовалось более 8 дней вычислений).

За более чем десятилетний срок работы с ПЛИС, мне довелось работать с продукцией четырех разных производителей. При таком разнообразии невольно обращаешь внимание как на общие черты процесса разработки, так и на особенности, присущие той или иной компании. И вот, пару месяцев назад мне неожиданно представилась уникальная возможность близко познакомиться с новым семейством ПЛИС, производимым небольшой, но амбициозной компанией из Калифорнии. Я говорю сейчас о самом молодом производителе ПЛИС – компании Акроникс (Achronix) и выпускаемой ею ПЛИС Speedster22i HD1000.

     Существующие подходы к решению задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), интенсивно используемые в мире математики последние 20-30 лет свидетельствуют, что для них эта задача достаточно сложная, она упорно сопротивляется внешнему натиску специалистов и позиций не сдает. Вместе с тем, не могу упомянуть работ, авторы которых предложили бы глубокий анализ проблемы, состояния вопроса или выступили бы с критикой используемого подхода. Основной принцип в подходе — просеивание множества чисел (принцип решета) доминирует в этой области, но думается это не единственный путь и возможно не лучший. Большие надежды исследователями ЗФБЧ возлагаются на вычислительные средства новых типов, на новых физических принципах (квантовые, молекулярные и др.), но о смене подхода речь не идет. Тем не менее, некоторые выводы уже сегодня как бы напрашиваются сами собой. В атаках на RSA-подобные шифры ЗФБЧ является основной задачей.

Все мы пользуемся динамически-компонуемыми билиотеками. Их возможности поистине великолепны. Во-первых, такая библиотека загружается в физическое адресное пространство только один раз для всех процессов. Во-вторых, можно расширять функционал своей программы, подгружая дополнительную библиотеку, которая и будет этот функционал обеспечивать. И все это без перезапуска самой программы. А еще решается проблема обновлений. Для динамически компонуемой библиотеки можно определить стандартный интерфейс и влиять на функционал и качество своей основной программы, просто меняя версию библиотеки. Такие методы повторного использования кода даже получили название «архитектура plug-in’ов». Но топик не об этом.

Кстати, нетерпеливые могут все скачать и попробовать прямо сейчас.