Как первокурсник определение Коши сократил

    image
    Под катом я расскажу Вам маленькую и отнюдь не шокирующую историю, большинство из вас, наверное, скажет что я надумал хоть какую-то важность этого события и что все нижеописанное является очевидным, но для меня это было маленькой победой. Если все же интересно, добро пожаловать.

    Сразу хочется обговорить несколько моментов: я первокурсник, поэтому в матанализе я смысле ровном счетом ничего, ни на какое открытие не претендую и статью написал, чтобы послушать мнение местных экспертов.

    Все началось с первого в моей жизни коллоквиума по дисциплине Математический анализ, одно из заданий которого содержало определение не фундаментальной последовательности по Коши. Под катом трафик.
    Я, не долго думая, написал следущее:


    Посмотрел, прикинул и оставил. Через неделю получил свою работу с не зачтенным номером с кратким пояснением.

    Меня это расстроило, и я решил понять, действительно ли мой вариант неправилен, решил подойти к преподавателю. После долгих дискуссий и формальных объяснений я попросил привести мне контр-пример, на что получил согласие, однако учитель обмолвился, что ему требуется время и что даже если мы не можем придумать такой пример не значит, что его нет.

    Спустя пару преподаватель подозвал меня, чтобы доказать мне контр-примером то, что мое определение является лишь частным случаем. На тот момент я уже и сам склонялся к этому, однако решил выслушать. После того, как он расписал огромную и сложную последовательность, которую ваш покорный слуга, увы, забыл, он начал уже было объяснять мне и тут я понимаю, что этот пример более чем полностью удовлетворяет моему определению не фундаментальной последовательности. Уже на этом этапе моя оценка была исправлена на 5, с обмолвкой о том, что преподаватель все же убежден, что формально я не прав. Однако об оценке уже никто не думал, целую неделю я провел в размышлениях о контр-примере для моего определения.

    Спустя неделю, так ни к чему и не придя, подошел я к преподавателю и рассказав о том, что я потерпел крах в поиске анти-примера, услышал, что по мнению преподавателя оба утверждения эквивалентны.
    Вот доказательство, которое мы соорудили:
    Доказывать будем эквивалентность утверждений фундаментальности. Возьмем отрицание от моего определения не фундаментальной последовательности.

    И рассмотрим два следования, чтобы доказать эквивалентность.


    Таким образом, из определения Коши можно убрать к-нулевое. Хотелось бы получить фидбек, особенно на предмет правильности доказательства.
    Поделиться публикацией
    Ой, у вас баннер убежал!

    Ну. И что?
    Реклама
    Комментарии 144
    • +4
      Исправление препода веселое.
      • +9
        Нескромный вопрос не по теме: а зачем такие тяжёлые сканы не-оригиналов?
        • 0
          Не привык я трафик экономить, посоветуете хороший редактор формул?
          • +3
            достаточно просто сохранять изображения правильно (например в фотошопе см.: Файл — Сохранить для Web и устройств) и настроить качество.
            • –3
              Достаточно сжать в JPG и уже раз 5-10 меньше объём файлов будет. Здесь PNG не оптимален.
              • +1
                не то чтобы я юзер-делетант, но всегда думал, что portable network в «PNG» как бы намекают на площадку использования формата, в следующий раз исправлюсь.
                • +3
                  Это сжатие без потерь подходит для изображений, на которых много одноцветных областей. А у вас фон неоднородный. Если бы был чисто белым, то PNG бы отлично подошёл.
                  • +4
                    А сейчас картинки нельзя перезалить?
                  • +1
                    От JPEG будут разводы вокруг текста. Лучше PNG, несмотря на фон.
                    • +2
                      Разводов не будет (вы не заметите) даже при уровне сжатия 95.
                      Для примера:
                      Оригинал PNG (555,37 КБ)
                      image
                      Сжатие JPG со степенью 95 (95,18 КБ)
                      • 0
                        Хм, ну да, надпись-то крупная…
                        • 0
                          Мелкая надпись в JPG

                          Дело не в размере, а в контрасте текста с фоном и уровне сжатия. Разводов обычно не бывает, если уровень выставлен в 100.

                          Firefox, как-то замыленно отображает эту картинку, не так, как IrfanView
                  • +4
                    Почитай, земеля :-)
                    • 0
                      Воспользуйтесь этим сайтом:
                      www.codecogs.com/products/eqneditor/editor.php?mode=NEW
                      И формулы будут красиво выглядеть, и столько лишнего траффика не будет потребляться.

                      UPD: Опоздал на полчасика с комментарием. :)
                      • +1
                        PNG хорошо подошёл бы, будь сделан Threshold: разделение изображение на два цвета, чёрный и белый. У меня так даже сканер умел 10 лет назад. Но вообще эти формулы легко набираются текстом: все символы есть в юникоде, для нижнего и верхнего индекса используются теги <sub> и <sup> соответственно.
                        • 0
                          Минус статье поставил только за картинки. Если сам не привык экономить, то думай об окружающих.
                          • –2
                            А мне в таком виде больше нравиться запись формул, достаточно разборчиво, от рукописной записи знаете ли веет каким-то особым теплом, не то что от сухих символов.
                            • 0
                              Я не против рукописного текста, но у меня связь мобильная и эти картинки загрузились после того как прочитал статью и половину комментариев.
                              • 0
                                Но тогда эти картинки надо делать хотя бы палитровыми. И фон однородный сделать.
                            • –2
                              mip.exe
                          • +2
                            На math.stackexchange.com есть похожий вопрос . Я думаю вам стоит задать этот вопрос там, и заодно почитать ответ к вопросу который я кинул.
                            • +1
                              Нет, там формулировка существенно другая и примеры из ответов под формулировку в статье не подходят.
                            • 0
                              А если k неположителен и последовательность не определена для неположительных k? Тогда и приходим что k>k0, где k0=0. В вашем случае k — любое, но все же для некоторых случаев это определение верно только начиная с какого-то k0 f(Xk0).
                              • 0
                                Я тоже сначала так подумал, но выбор k (должен он быть больше нуля или нет) никак не влияет на суть, только на порядок нумерации последовательности, а он может быть произвольным.

                                • 0
                                  Вернее, порядок важен, а характер нумерации по идее не очень, так как мы можем начинать считать или с нуля, или с какого-то отрицательного числа.
                                • +10
                                  С формальной точки зрения вы правы. В этих определениях не указываются области определения переменных, а значит, по идее, они могуть быть абсолютно любыми, хоть комплексными — и в этом случае утверждения теряют смысл вообще.

                                  Однако, чтобы не захламлять запись, обычно подразумеваются вполне конкретные области определения переменных, общепринятые в данной области математики. Например, в матанализе принято считать, что индексы вроде n, N, k, p всегда только натуральные, а значения x_n или \varepsilon — вещественные. Поэтому формула вроде
                                  image
                                  на самом деле эквивалентна такой:
                                  image
                                  Но, естественно, так никто не пишет.
                                  • +1
                                    Мда. Очень странно, что в CodeCogs ширина выходного изображения фиксирована. Длинные формулы выглядят уныло :(
                                    • +1
                                      на самом деле эквивалентна такой:


                                      Нет.

                                      ε > 0 — не надо выносить в левую часть импликации, потому что эта «область определения» не содержит вхождений других переменных, она «внешняя» по отношению к формуле.
                                      N = N(ε) — этого вообще не надо писать, потому что ересь и профанация. Зависимость переменной, на которую навешен квантор, от предыдущих кванторов и так подразумевается. Это не относится к матанализу никак, это относится сугубо к логике. Да, в большинстве своём преподы матанализа некомпетентны в исчислении высказываний и предикатов, в их формализме и обозначениях. Поэтому используют кванторы неформально как речевые сокращения, не вникая в общий смысл.

                                      Эта формула, переписанная с матанистического на нормальный математический язык, выглядит так:
                                      εNnm     n > Nm > N → |xn−xm| < ε
                                      Ну и где-то в окрестности формулы оговаривается, что ε положительное вещественное, n и m натуральные, etc.
                                      • 0
                                        ε > 0 — не надо выносить в левую часть импликации, потому что эта «область определения» не содержит вхождений других переменных, она «внешняя» по отношению к формуле.
                                        Квантификация по множеству разворачивается в культурный теоретико-множественный язык без всякой магии, то бишь в:
                                        ∀ε (ε ∈ R ∧ ε > 0 → ...)
                                        • 0
                                          По упомянутой ссылке в последнем разделе говорится про кванторы, которые помимо переменной содержат некий терм t, который может содержать вхождение свободных (несвязанных) переменных. В случае же «ε > 0» подобного терма нет — нужно смотреть, что в упомянутой статье в начале. В этом случае, если мы перепишем более строго «ε ∈ R+», то здесь «∈» понимается как в некотором смысле типε : R+»). В отличие от высказывания вроде «εUδ», которое может быть как истинным, так и ложным, в зависимости от того, попадает ли ε в Uδ при тех или иных условиях (не можем написать «ε : Uδ»).
                                          • 0
                                            В этом случае, если мы перепишем более строго «ε ∈ R+», то здесь «∈» понимается как в некотором смысле тип («ε: R+»).
                                            Вроде как схема выделения в ZF вам дана аксиоматикой — тут снова нет никакой магии.
                                            • +1
                                              Схема выделения тут, очевидно, ни при чём — тут даже нет «переменных-множеств». И даже ZF ни при чём — в курсе матана традиционно используется наивная теория множеств, ну и пусть. Речь идёт о том, как от матанистических «ограниченных кванторов» (на которые даже отрицания трудно навешивать) перейти к формуле с обычными логическими кванторами; это ортогонально теориям множеств.
                                              • 0
                                                Схема выделения тут, очевидно, ни при чём — тут даже нет «переменных-множеств».
                                                Вам нужны типы, чтобы" более строго" записывать ε ∈ R+, при том что это утверждение по схеме выделения равносильно ε ∈ R ∧ ε > 0. Собственно, послание было в том, что схема выделения для всех мыслимых (мной — как профан могу что-то упускать) применений квантификации по множеству обходит ограничение о неупоминании квантифицируемой переменной в терме-множестве.
                                                Речь идёт о том, как от матанистических «ограниченных кванторов» (на которые даже отрицания трудно навешивать) перейти к формуле с обычными логическими кванторами; это ортогонально теориям множеств.
                                                Интересно, каким языком вы будете определять квантификацию по множеству, если не языком теории множеств (естественно, не обязательно ZF). Вообще, не понимаю, что может быть неинтуитивного в разворачивании всеобщности в импликацию и существования — в конъюнкцию; одновременно, легальность оговаривания чего-то на стороне в окрестностях формулы непонятна мне.
                                                • +1
                                                  Вам нужны типы

                                                  Мне не нужны типы.

                                                  при том что это утверждение по схеме выделения равносильно ε ∈ R ∧ ε > 0

                                                  А почему тогда не писать «ε ∈ C ∧ (ε ∈ R ∧ ε > 0)»? Это тоже равносильно «ε ∈ R+».

                                                  Вообще, не понимаю, что может быть неинтуитивного в разворачивании всеобщности в импликацию и существования — в конъюнкцию

                                                  Так я её так и развернул. Неинтуитивность неразвёрнутых bounded quantifiers проявляется, например, при построении отрицания.
                                                  Смотрите, вот исходная (простая и правильная на мой взгляд) формула (функция x : N → R введена где-то выше):

                                                  ∀ε ∃N ∀n ∀m     n > N ∧ m > N → |xn − xm| < ε     (ε ∈ R+; N, n, m ∈ N)

                                                  Длинными горизонтальными интервалами она разбита на три куска. Отрицание строится обращением всех кванторов в левом куске; в среднем куске для удобства отрицание спускается внутрь предиката по законам де Моргана и формуле отрицания импликации ¬(ab) ⇔ a ∧ ¬b. Правый же кусок, который играет роль «типов», или «области определения», you name it — не претерпевает никаких именений:

                                                  ∃ε ∀N ∃n ∃m     (n > N ∧ m > N) ∧ |xn − xm| ≥ ε     (ε ∈ R+, N, n, m ∈ N)

                                                  А теперь постройте отрицание для формулы, где правый кусок вшит внутрь в bounded quantifiers или в импликации/коньюнкции. Эти коньюнкции при построении отрицания превратятся в кадавров типа «… ∀m   m ∉ N ∨ ¬...»
                                                  • 0
                                                    А почему тогда не писать «ε ∈ C ∧ (ε ∈ R ∧ ε > 0)»? Это тоже равносильно «ε ∈ R+».
                                                    Понятия не имею. Лично я бы так не писал, потому что это потребовало бы расширения множества аксиом комплексными числами, что, наверное, совершенно не обязательно.
                                                    Почему вместо «ε ∈ R+» должны писать «ε ∈ R ∧ ε > 0»; но при этом не пишем «m ∈ Z ∧ m > 0» вместо «m ∈ N»?
                                                    Вы не обязаны писать «ε ∈ R ∧ ε > 0»; вы можете писать «m ∈ Z ∧ m > 0» вместо «m ∈ N». На всякий случай уточню, что я ни разу не знаток теории множеств и просто пытаюсь разобраться, а вовсе не спорю ожесточенно, если что, и не против прикоснуться к мудрости знатоков.
                                                    Так я её так и развернул. Неинтуитивность неразвёрнутых bounded quantifiers проявляется, например, при построении отрицания.
                                                    С неинтуитивностью отрицания ограниченных кванторов я не спорю. Я не понял, почему не надо класть положительность эпсилон в импликацию слева под квантором и почему утверждение про связанную переменную «внешнее», только и всего.
                                                    • 0
                                                      Я не понял, почему не надо класть положительность эпсилон в импликацию слева под квантором и почему утверждение про связанную переменную «внешнее», только и всего.


                                                      В последней формуле куски «m > N» и «ε > 0» имеют разную природу. В первом случае есть переменная N. Она не может быть вынесена вне формулы как
                                                      ...∃m     ...     (...; m ∈ Z>N)
                                                      потому что на этом уровне уже никакой N нет, она связана квантором, не является свободной. Поэтому соответствующий bounded quantifier существования должен раскрываться в конъюнкцию (соответственно, для квантора всеобщности в импликацию).

                                                      Можно рассматривать кванторы более общо, чисто синтаксически, как «штуки, уменьшающие арность предиката». По аналогии: абстракция, записываемая через λ — тоже «штука, уменьшающая арность выражения», например: «λx  .  x + 1». Т.е. в результате получается предикат (в случае кванторов) или выражение (в случае лямбды) с меньшим количеством плейсхолдеров. Если свяжем или зафиксируем все переменные, то такой предикат арности 0 можно называть высказыванием.
                                                  • 0
                                                    Вам нужны типы, чтобы" более строго" записывать ε ∈ R+, при том что это утверждение по схеме выделения равносильно ε ∈ R ∧ ε > 0.


                                                    Почему вместо «ε ∈ R+» должны писать «ε ∈ R ∧ ε > 0»; но при этом не пишем «m ∈ Z ∧ m > 0» вместо «m ∈ N»?
                                                    • 0
                                                      Знали бы вы, как выглядит ваша последняя фраза, у которого уровень знания математики на уровне 11 класс+.
                                                      • 0
                                                        Знали бы вы, как выглядит ваша последняя фраза, у которого уровень знания математики на уровне 11 класс+.
                                                        Мне не стыдно признать свою математическую безграмотность, если что, хотя я бы предпочел замечание по существу. Лично мне, да, непонятно, как с точки зрения логики можно что-то написать на стороне про связанную в формуле переменную.
                                                        • +1
                                                          Вы не поняли — я практически ни одного слова не понял из того, что вы написали. Оно мягко говоря неинтуитивно :). А так я в математике полный профан и ни одной формулы из статьи не понимаю, так же как и предмета обсуждения.
                                      • +4
                                        Как мне кажется, у вас формально верное определение, правда более общее, но не отражающее суть определения последовательности Коши.

                                        Звучит оно так (я его немного исказил информацию из Вики для простоты восприятия):

                                        Фундаментальная последовательность — последовательность, у которой, обязательно существует элемент, начиная с которого все другие элементы находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

                                        Поэтому, утверждение, что k должно быть больше некого k-нулевого — является скорее всего продолжение слов «начиная с какого-то элемента».

                                        Насколько важно это уточнение — я сказать не берусь, матан был очень давно, да и я никогда не был в нем силен. Думаю, автор определения, Коши, решил не плодить сущности, доказывая, что в общем случае это k-нулевое не сильно нужно, а просто ограничил возможные случаи. Верно говорят, математики по своей природе ленивые люди. Так что, я думаю, что эта добавка про ограничение k — просто дань традиции.

                                        Если у вас есть желание, я попробую спросить у своих преподавателей более подробно.
                                        • 0
                                          Я посидел, подумал… считаю, что ограничение по k0 нужно обязательно, так как я вроде придумал контрпример.

                                          Пойду проверю на бумаге, а также поищу другие виды определений.
                                          • 0
                                            А я кажется доказал что определения эквивалентны :)
                                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                • 0
                                                  стоп стоп, а что, в посте слова определение «не фундаментальной последовательности по Коши» — не опечатка? 0_О

                                                  То есть речь идет о последовательности, которая формируется формальным отрицананием от последовательности по Коши (или фунд. послед.)?
                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                    • 0
                                                      «Как первокурсник определение Коши сократил»

                                                      Что-то я совсем запутался с входными данными.
                                                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                        • –3
                                                          Да ну, никогда бы не подумал.
                                                          Вы мне сейчас глаза открываете, получается какая-то мутная фигня в посте =(
                                                          • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                            • 0
                                                              как же Вы тогда читали? :)
                                                              если найдете недочеты, не медлите с тем, чтобы рассказать.
                                                              • +2
                                                                Ох, не знаю, как я читал ;D

                                                                Мне было бы проще, если бы было написано так:
                                                                1. Четкая формулировка задания: например «Напишите отрицание определения фундаментальной последовательности Коши».
                                                                2. Формальное определение фунд. послед: записанная формулировка последовательности Коши.
                                                                3. Формальное отрицание: каноническое отрицание записанного определения (есть же конкретные и совершенно бездумные правила)
                                                                4. Ваш вариант определения: чем он отличается от формального отрицания и как вы до него додумались?

                                                                Я бы с удовольствием поискал контрпримеры или помог бы вам устроить революцию в математике ;)
                                                                А сейчас, я извиняюсь, но я с трудом вникаю в текст и суть задания/поста/замечания по поводу базового определения/классической теоремы/новой теоремы, возникшей от разбора обратной задачи.
                                                                • +1
                                                                  ну, я писал в хронологическом порядке.

                                                                  Задание было такое: в eps-del формулировке написать определение НЕ фундаментальной последовательности. (1-ая картинка), ниже я пишу формальное определение (по Коши) и беру отрицание от своего. И сравниваю уже два определения фундаментальных последовательностей. Если от обоих определений взять отрицание и провести доказательство, то оно получится, вообщем-то аналогичным.
                                                                  • 0
                                                                    Теперь я начинаю понимать. Вашей вины конечно же тут нет, мне нужно быть впредь внимательнее.
                                                      • +1
                                                        Нет, конечно, не опечатка. Только формируется формальным отрицанием всё-таки определение, а не последовательность.
                                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                              • +4
                                                Не совсем понимаю.
                                                В вашем втором пункте, во второй строчке вы пишете k = k0 + q;
                                                Но для доказательства пункта A вам нужно найти такое к0, что бы для любого к, а не наоборот.
                                                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                  • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                    • 0
                                                      Понял о чем Вы, примерно тоже самое написано у вас выше, когда вы говорите, что наличие к0 — обязательно, но в том то и «фишка», что я не просто упростил определение, а доказал эквивалентность понятий (если, конечно, оно применимо). А из верности моего определения, вытекает, что наличие какого-то к0 вовсе не нужно, и рассматривать стоить все номера. Также интересно посмотреть на Ваш контр-пример.
                                                      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                        • 0
                                                          простите, пожалуйста :) с iphone не уделил внимания.
                                                    • 0
                                                      Хорошее наблюдение :) Говорю, как тоже преподаватель, в том числе и матанализа.
                                                      • 0
                                                        А разве отрицание первой картинки автора не дает определение простой сходимости, а не фундаментальной?
                                                        • +11
                                                          Таким образом, из определения Коши можно убрать к-нулевое, или, другими словами, не бывает таких последовательностей, которые фундаментальны / не фундаментальны до какого-то номера

                                                          Вот вывод абсолютно неверный. Нельзя определить фундаментальность или нефундаментальность до какого-то номера, фундамельность это свойство последовательности на бесконечном хвосте. Исправьте.
                                                          • 0
                                                            Предположим у вас 100 точек на расстоянии 1 см, а потом расстояние начинает увеличиваться. Вы выбрали эпислон для измерения пусть 5 см. Начинаете измерять расстояние между n и n+2, тогда для первых 100 условие выполняется, а потом может и не выполнятся. Получается что последовательность не фундаментальная, и не для всех ка, а только начиная с некоторого номера.
                                                            • 0
                                                              Звучит логично и понятно, но я думаю, вы ошибаетесь, так как я имею право взять любое существующее эпсилон, больше нуля, для удовлетворения своей потребности. То есть, если в вашем примере, у нас всего 200 точек, 100 из них на расстоянии 1 см, а остальные растут (до дистанции 20 см, допустим), то я просто возьму эпсилон 25 см.

                                                              Другими словами, причем тут отрезки последовательностей?
                                                              p.s. я в жуткой печали, в интернете в половине определениях есть как минимум по ошибке =(

                                                              • 0
                                                                Последовательность не ограничена номером 200. Посмотрите определение в википедии.
                                                                ru.wikipedia.org/wiki/Фундаментальная_последовательность
                                                                • 0
                                                                  Дык, дело же не в номере. Последовательность же может быть конечной, или бесконечной, но динамика расхождения расстояний между точек в метрическом пространстве может скакать, то есть быть отрицательной или положительной.

                                                                  Как я понимаю, в стандартном определении говорится не о локальной фундаментальности, а о общей, работающей на всей последовательности. Или я ошибаюсь?

                                                            • 0
                                                              image
                                                              Что насчет этого случая? Все элементы с индексом больше k лежат в эпсилон-окрестности Xk, но расстояние между Xk+1 и Xk+2 больше эпсилон. Таким образом под ваше определение такой выбор k подходит, а под определение Коши нет.
                                                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                              • +27
                                                                Почитал. Комплексую.
                                                                • +18
                                                                  Это знают только математики или первокурсники. Сдал экзамен и первый модуль матанализа улетел в корзину :)
                                                                  • +4
                                                                    Матанализ был 10 лет назад, но все еще помню. Так что от человека зависит — либо он зазубривал к экзамену, либо понял и разобрался. Во второом варианте гораздо дольше помнишь.
                                                                    • +1
                                                                      Оффтоп: «Плохо, когда не знал, да еще и забыл» — как любил говорить один мой препод на экзаменах
                                                                      • 0
                                                                        У меня тоже матанализ был 10 лет назад и за него стоит итоговая 5; тем не менее, сейчас я не вспомню оттуда вообще ничего.
                                                                        • 0
                                                                          Так я о том и сказал, что важна не оценка, а важно качество изучения. Я сам учил по 40 билетов в последние 3 дня и даже получал 5-ки таким образом. Но все таким образом выученное за неделю уходит безвозвратно. Можно запихать себе что-то в память насильно, но долго это там не удержишь, это способ получать оценки, а не знания.
                                                                          К сожалению, учить в последние три дня — в мое время так поступало 90% студентов, так что эти 90% выходили с нулевыми знаниями ( хоть и с самыми разными оценками).
                                                                  • +5
                                                                    Но расстояние между Xk+1 и Xk+2 меньше 2*eps, и этого вполне достаточно.
                                                                    • 0
                                                                      Если сам Коши и использовал алгебраическую нотацию, то точно не ту, которую вы считаете исходной. Запись выражений в матане зависит от традиции преподавания, где-то есть избыточности, где-то умолчания. Это все не важно. Главное — понимать и уметь объяснять суть теорем.
                                                                      • 0
                                                                        Похоже, всё верно. Только непонятно, что это дает.
                                                                        • +8
                                                                          Автора, несомненно, можно поздравить с тем, что он с чем-то новым разобрался, но мне не кажется, что это стоит отдельного поста с кучей картинок.
                                                                          • 0
                                                                            Зря вы так.
                                                                            Пост ценнен хотя бы тем что многие стряхнули пыль с «10 лет назад я получил 5 по матану».
                                                                          • +1
                                                                            Стремление к истине похвально — продолжайте в том же духе, — но с моралью я не согласен. В ситуации, когда у вас толковый преподаватель, он бы понял, что эта формулировка равносильна, но попросил бы вас это обосновать просто чтобы убедиться, что вы не написали ответ наугад. С натяжкой победа получается.

                                                                            А еще советую не стесняться тривиальности утверждения и не брезговать пользоваться словами и даже разными буквами для разных связанных переменных — всем же лучше, когда доказательства лучше читаются.
                                                                            • +10
                                                                              Всё верно в доказательстве, интуитивно можно понимать так:

                                                                              Определение по Коши: для любого ε можно найти номер k0, начиная с которого любые два члена последовательности близки.

                                                                              Ваше определение: для любого ε можно найти номер k, начиная с которого конкретные два члена последовательности близки (а именно k и k+p).

                                                                              Понятно, что из определения по Коши следует Ваше определение. Но и наоборот тоже верно в силу неравенства треугольника: если два элемента близки к конкретному третьему (x_k в Вашем определении), то эти два элемента обязательно близки между собой.

                                                                              На мой взгляд, определение по Коши интуитивно понимается лучше. Но это сугубо личное мнение.
                                                                              • –1
                                                                                Доказательство ТС как раз неверно.
                                                                                • +1
                                                                                  Верно. Просто там не совсем четко указано, где используется k из определения A, а где k из определения B. Во второй строке импликации B->A написано:
                                                                                  k (из определения A) = k0 (которое равно k из B, что ТС не указал) + q, т.е. это действительно любое k>k0, как того требует определение A.
                                                                                  • 0
                                                                                    Я это читаю как «возьмем неравенство из B и сделаем замену k=k0+q

                                                                                    q ИМХО обозначает k из A.
                                                                                • 0
                                                                                  Можно ещё проще.
                                                                                  НСНМ = начиная с некоторого места
                                                                                  Коши: НСНМ любые два члена последовательности лежат друг от друга не далее, чем на эпсилон.
                                                                                  Авторское: НСНМ любой хвост лежит в эпсилон-окрестности своей головы.
                                                                                • +1
                                                                                  Утверждение, написанное автором, легко получается из утверждения, написанного прелподавателем, если из последовательности отбросить первые k0 число членов, что не влияет на сходомость последовательности. Но это уже теорема, а не определение.
                                                                                  Потому по сути своей правы оба: преподаватель, потому что требовал дать определение, и автор в том, что утверждения эквивалентны.
                                                                                  • 0
                                                                                    Вы не правы, в части «утверждение… легко получается из утверждения, написанного прелподавателем, если из последовательности отбросить первые k0 число членов», поскольку k0 выбирается для конкретного эпсилон. Возможна ситуация, когда потребуется отбросить бесконечно много элементов, чтобы утверждение выполнялось для всех эпсилон.
                                                                                    • 0
                                                                                      Перед эпсилон стоит квантор существования, а не всеобщности.
                                                                                      То есть для справедливости утверждения на достаточно предъявить один конкретный эпсилон, выбрав максимальный, который верен начиная с k0 и из конечного числа для первых k0 последовательности.
                                                                                      • 0
                                                                                        Точно! Я забыл, что все началось с определения нефундаментальной последовательности (и рассматривал определение без отрицания).
                                                                                  • +11
                                                                                    Мой фидбек: совершенно нормальная ситуация. Вас попросили привести определение, как его рассказывал преподаватель — вы привели другое — вас попросили доказать эквивалентность — вы доказали — вам поставили пять.

                                                                                    Именно этим и отличаются нормальные преподаватели от идиотов, которых надо гнать вон из профессии. Цените, что учитесь у нормального.
                                                                                    • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                      • +12
                                                                                        Преподаватель математики имеет право быть плохим математиком и не видеть очевидной эквивалентности этих утверждений. Но если он при этом не отбивает желания изучать математику — он является нормальным преподавателем. Не путайте нормального преподавателя с отличным.
                                                                                        • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                          • +6
                                                                                            Неправда ваша, такой преподаватель нужен — хотя бы затем, чтобы его место не занял отвратительный преподаватель математики, который, как следует от названия, отвращает учащихся от изучения математики.
                                                                                            • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                              • +3
                                                                                                О, есть методы. Меня вот от написания сочинений отвратили — а я ведь любил сочинять. До сих пор не могу даже документацию к своей же программе составить нормально — а ведь и план составил, и время есть. Но после написания трех абзацев появляется призрак ненавистной училки, которая кричит: «Ты что тут по-написал? Одна-две „н“ всюду расставлены неправильно, композиция какая-то странная, штили смешаны, синонимы не используются… Переделывай заного! Дети, посмотрите, что этот идиот опять написал!» И как-то продолжать написание документации уже и не хочется, и ее до сих пор нету.

                                                                                                И от математики меня отвратить пытались, задержись я в родной школе по-дольше, могло и получиться.
                                                                                                • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                                  • +5
                                                                                                    Зря Вы так…
                                                                                                    Это в ВУЗе отбить желание изучать новое плохим преподаванием так быстро не получиться (хотя за пару семестров, я думаю, справиться можно...), а в школе это работает на ура. Альтернативно одаренный в педагогических талантах учитель с гарантией в 95% превратит любознательного школьника в школьника, который искренне ненавидит предмет за одну-две контрольные или проверки домашнего задания.

                                                                                                    Тут я полностью согласен с mayorovp.
                                                                                                    • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                                      • +1
                                                                                                        Я не обманываю и уж тем более себя. Просто в школе на это потребуется пара недель, а в ВУЗе пара семестров, так как и психологическая устойчивость выше и приоритеты более развиты.

                                                                                                        Понизить самооценку на самом деле куда проще чем кажется и, чем потом повысить ее до нормального, реального, уровня. И чем более авторитетным вначале кажется тот, кто решит на этом сыграть, тем быстрее самооценка будет падать, и вот уже человек начинает думать, что он никто и в этой области у него никаких перспектив нет… А что учитель, что преподаватель обладает некоторым базовым авторитетом и уровнем власти, так что все вводные для возможного негатива есть. Вопрос только во времени, через которое начнет проявляться результат.
                                                                                          • 0
                                                                                            Возможно у меня несколько устаревшие понятия о преподавании, я всегда полагал, что преподаватель как раз должен глубоко разбираться в предмете и взаимосвязях, чтобы быть в состоянии ответить на вопросы студентов. Иначе можно просто прочитать учебник.
                                                                                            • 0
                                                                                              Совершенно верно, но преподаватель не обязан уметь делать это быстро. Скажу даже так: преподаватель, из года в год обучающий плохих студентов, неизбежно потеряет способность отвечать на нестандартные вопросы быстро.
                                                                                              • +6
                                                                                                Тот факт, что преподаватель взял время подумать и сдержал обещание, так как потом продолжил дискуссию, характеризует его только с положительной стороны. Преподаватель не стал отнекиваться от вопроса, на который сходу не знал ответа, а подумал над ним и дал аргументированный ответ студенту.

                                                                                                А отвечать на вопросы студентов не обязательно нужно сразу. Во первых, преподаватель не робот и всего помнить или мгновенно анализировать не может, по этому почему-бы и не взять паузу, главное после этого не забыть обещание и сдержать его. Ну а во вторых такая пауза и положительный эффект несет — если студенту вопрос действительно интересен, то он и сам над ним подумает и ко времени, когда преподаватель будет готов дать и/или обсудить ответ, ответ будет дан не в пустоту.
                                                                                            • +1
                                                                                              Я считаю, что в математике слово «очевидно» следует понимать как «точное и исчерпывающее доказательство данного утверждения можно сформулировать в течение минуты (с учётом времени на обдумывание, написание и разъяснение)». Я не считаю, что для предподавателей всё в дисциплине, которую они преподают, априори считается очевидным, чтобы от них требовать подобных разъяснений в тот же момент, когда возникает вопрос.
                                                                                          • +16
                                                                                            В оригинальном определении говорится, что начиная с какого-то номера разность между любыми двумя элементами будет меньше эпсилон. В Вашем «переделанном определении» говорится, что начиная с какого-то номера все члены последовательности будут отличаться от него не более, чем на эпсилон. Для метрики выполняется неравенство треугольника, поэтому из того, что все элементы отличаются от одного конкретного не более, чем на эпсилон, следует, что любые два будут отличаться не более чем на 2эпсилон. Обратное тоже очевидно. Ясен пень, эти определения эквивалентны.
                                                                                            Мне как студенту 3 курса мехмата МГУ непонятно лишь одно: почему преподавателю потребовалось больше 3х минут на то, чтобы это понять? Это же совсем очевидно.
                                                                                            • –5
                                                                                              Ну, выходит — не совсем. Может быть в регионах не настолько сильные умы, а может — мгушные понты детектед :)
                                                                                              • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
                                                                                            • +3
                                                                                              Я в доказательство верю. Правда можно было немного прокомментировать смысл определений.

                                                                                              Ваше определение не-фундаментальности говорит, что ткни в любой элемент последовательности, дальше найдется еще один, который отстоит от первого на расстоянии > eps. Определение препода — откинь сколько хочешь первых элементов, и я все равно найду два таких, что между ними расстояние > eps.

                                                                                              Суть доказательства:
                                                                                              (1) -> (2) Откинули k элементов. Для следующего по определению (1) найдется элемент, отдаленный на eps.
                                                                                              (2) -> (1) Взяли k-ый. После него найдутся два элемента, между которыми расстояние > eps. Ну значит, хотя бы до одного из них от k-ого расстояние будет eps / 2.

                                                                                              P.S. Я, правда, не знаю, стало ли понятней… Но мне это видится так.

                                                                                              • –3
                                                                                                Мне кажется определение «первокурсника» изначально неверное и не отражает критерия Коши сходимости последовательности. В определении первокурсника он говорит, что существует такой эпсилон, что для любого К будет существовать такой индекс п, разница между которым и к меньше эпсилона.

                                                                                                Это неверно.

                                                                                                Привожу пример последовательности:

                                                                                                5 3 2 5 3 2 5 3 2…

                                                                                                Возьмем эпсилон 4, да даже 3, 2, 1 или даже 0,001

                                                                                                Для любого К я могу найти такой П что расстояние между К и К+П будет меньше моего Эпсилона, но при этом последовательность не сходится! Хотя удовлетворяет условию.

                                                                                                Определение Коши в точности наоборот звучит — для ЛЮБОГО эпсилон СУЩЕСТВУЕТ к0 такой, что расстояние между ЛЮБЫМ к1 и к2 больше к0 будет меньше эпсилон
                                                                                                • –3
                                                                                                  Соответственно обсуждать все остальные доказательства бессмысленно потому что они исходят из неверной предпосылки.

                                                                                                  Исправления препода ошибочно, он должен был исправить вообще все определение
                                                                                                  • –3
                                                                                                    А, первокурсник оказывается написал что разница между К+П и К Больше эпсилона!

                                                                                                    Это еще проще, вот вам последовательность

                                                                                                    1 2 4 8 16 32 64 128…

                                                                                                    Берем эпсилон 1, для любого К я вам легко подбегу такой П, что |Хк+п — Хк| > э, и что теперь эта последовательность сходится?
                                                                                                    • –3
                                                                                                      Посыпаю голову пеплом. С утра недочитал что нужно было дать определение НЕ фундаментальной последовательности :-)

                                                                                                      Тогда все верно да, если последовательность не фундаментальная то очевидно что мы можем брать любой эпсилон, а значит и ограничение на К0 не имеет никакого смысла
                                                                                                      • 0
                                                                                                        Так дальше-то он взял отрицание отрицания и получил другое определение, чем исходное.
                                                                                                    • 0
                                                                                                      вообще-то как раз тот-факт, что последовательность удовлетворяет моему условию нефундаментальности(первая картинка) и говорит о том, что последовательность не сходится, будьте внимательнее.
                                                                                                    • +2
                                                                                                      Победа над учителем, наверное, да. Но вот, в математике…
                                                                                                      Советую ознакомиться все же с каким-нибудь учебником Анализа хотя бы до 1960-го года выпуска. Тогда все мигом встанет на места, откуда тут некая точка отсчета для других k подназванием k0. А слушать зрителей — лучше не надо.
                                                                                                      • +6
                                                                                                        А я бы наоборот посоветовал автору ознакомиться с современным учебником анализа, в котором прослеживается связь с топологией. Зорич, например. Или Дьёдонне. И тогда станет ясно, откуда взялось k0 (из понятия направленности или предела по фильтру его уже нельзя будет выкинуть).
                                                                                                      • –1
                                                                                                        По ходу, вы правы. Тем более, что в Википедии даётся другой критерий Коши: без сложения индексов (оттуда и > ).

                                                                                                        Но ваше доказательство, по крайней мере, B->A — неочевидно (хотя и интуитивно ясно). К примеру, в k = k0 + q вы вводите 2 свободные переменные. И где гарантии, что вы таким слабо формализованным доказательством не доказываете не A, а утверждение типа «для любого наперёд заданного k0 для любого epsilon для любого p > k0 модуль разности значений элементов < epsilon» (утверждение, наверняка, НЕ следует из B — это просто следствие отсутствия формализма при доказательстве)?

                                                                                                        Проблема в том, что на том этапе, на котором в курсе мат. анализа даётся это определение, требуется максимально ясное доказательство всех связанных вещей. И множество выведенных из аксиом сущностей весьма мало, так что многие интуитивно ясные переходы трудно расписать формально. К примеру: в случае последовательности: «42, 42, 42, 42… », k из утверждения B можно выбрать равным 1 и как его разложить по сумме на НАТУРАЛЬНЫЕ k0 и q????? Если вы в своём доказательстве это очевидно и непротиворечиво покажете, то молодец. :)
                                                                                                        • 0
                                                                                                          Вы, по-видимому, не совсем поняли доказательство. Мы берем произвольный k > k_0, т.е. k = k_0 + q, где q натурально, где k_0 выбрано из утверждения B по eps (с точностью до переобозначения). И доказываем, что для всех натуральных p справедливо утверждение из первого определения.

                                                                                                          P.S. О Principia Mathematica слышали? В стремлении за формализмом можно дойти вот до такого абсурда.
                                                                                                          • 0
                                                                                                            Ну, в обратном стремлении тоже можно в любом доказательстве написать «очевидно, чтд» — и доказывать тем самым всё, что угодно. :)

                                                                                                            И я понимаю, что доказательство автора можно формализовать, что бы сделать его наглядным и очевидным, просто я указываю на то, что в текущем виде доказательство весьма не очевидно. В такого рода доказательствах легко перепутать порядок кванторов. Хорошо, если можно своё доказательство запихнуть куда-нибудь типа Хабра для проверки «толпой» (которая, строго, ничего не гарантирует), а если не получается? Нужно, что бы даже с бодуна ты не сомневался в доказательстве используемой тобой теоремы.

                                                                                                            Когда вы расписали — мне стало ещё более понятным, почти очевидным. Хорошо бы ещё правда расписать B в переобозначении и отдельно варианты с epsilon/2.
                                                                                                            • +2
                                                                                                              Формальный != наглядный и очевидный, простите. Мне на первом курсе было крайне тяжело понять эти «формальные» доказательства со всякими «возьмем дельта равным эпсилон делить на пятнадцать пи в квадрате».

                                                                                                              За формальными манипуляциями теряются мысль и идея, которые в математике первичны. Когда я читаю доказательство, мне хочется осознать его идею, а не разбираться в выкрутасах с кванторами и эпсилонами.

                                                                                                              Согласен, курс матанализа должен учить формализовывать идеи, излагать их строгим языком. Но это должно происходить так, чтобы не возникало ощущения, что математики только тем и занимаются, что символы переставляют.
                                                                                                        • 0
                                                                                                          Топик 2014 года на Хабре, по-моему :) Вместе с комментариями.
                                                                                                          • –1
                                                                                                            добавьте в последовательность пару бесконечностей.
                                                                                                            • +1
                                                                                                              предыдущий комментарий игнорируйте, просмотрел бегло условия, воспринял не так как написано (текст не читал, грешен).
                                                                                                            • +1
                                                                                                              Определение ваше эквивалентно определению Коши. Но «избыточное» определение Коши прижилось не просто так. Для дальнейших рассуждений оно обычно удобнее — в нём прямо говорится, что начиная с номера k0 любые два члена последовательности мало отличаются друг от друга, а из вашего определения это ещё вывести нужно.
                                                                                                              • –2
                                                                                                                A -> B. k = k0 + 1

                                                                                                                По сути k0 — порядковый номер последовательности (k0 = 1,2,3..N), тогда k = 2,3,..N.

                                                                                                                Другими словами, k может начинаться только со второго элемента последовательности, это нужно указать в определении автора.

                                                                                                                Если это не указать, то определение B будет соответствовать измененному определению Коши: для любого k больше или «равному» k0.
                                                                                                                Поэтому либо требуется дополнительно доказать «возможность» изменить первое неравенство на нестрогое в определении Коши (что не очевидно), либо утверждение ошибочно.
                                                                                                                • 0
                                                                                                                  k из первого определения и k из второго — это совершенно разные k, не стоит их путать.
                                                                                                                • –2
                                                                                                                  Пусть во втором определении вместо k будем использовать m, чтобы не было путаницы.

                                                                                                                  Для доказательства A ->B (A = верно, выводим из него B), тогда будет использоваться выражение: m = k0 + 1
                                                                                                                  В итоге m может начинаться только со второго элемента (как бы «выпадает» начальный элемент).

                                                                                                                  Еще раз определение (B) скорее эквивалентно определению по «Коши» в котором будет «для любого k>=k0», вместо для любого «k>k0».

                                                                                                                  • +1
                                                                                                                    Если утверждение верно для любого k>=k0, то оно верно и для любого k>k0. Что не так?
                                                                                                                    • –2
                                                                                                                      В том-то и дело, что неочевидно следующее — «Если утверждение верно для любого k>=k0, то оно верно и для любого k>k0».

                                                                                                                      Во-вторых нужно для эквивалентности доказать в обе стороны.
                                                                                                                      Если верно для любого k>=k0 (авторское), то верно для k>k0 (Коши), и наоборот если для k>k0 верно (Коши), следовательно для k>=k0 (авторское) тоже верно, что не тривиально доказать.

                                                                                                                      В-третьих, чтобы внести ясность, тут хотел указать об «уязвимости» именно в доказательстве (об истинности самого утверждения судить не хочу). Перефразируя свой первый комментарий — утверждение может быть верным, но доказательство ошибочным или же само утверждение неверно.

                                                                                                                      Чтобы устранить некорректность, самый простой способ «быстрым хаком» внести корректировку на область определения k из B (на всякий случай сделать +1 от начала) до тех пор пока не будет доказана замена справедливость замены k>k0 на k>=k0. С другой стороны такой фикс, смотрится не очень красиво.

                                                                                                                      В целом, тут конечно тонкий момент… На самом деле, проблема-то не в выкладках с эпсилон пополам, неравенстве треугольника и т.д., там всё просто, скорее отвлекает внимание. Суть моего комментария именно об использование в доказательстве простого выражения k=k0 + 1, что автоматически накладывает ограничения на k.

                                                                                                                      На практике же, если брать программирование, то подобного рода простые «неточности» в области определения приводят иногда к "-1" в индексе массива, иногда неучтенность нулевого элемента списка и т.д… Многие программисты «нутром чуют» такие засады и возможно поэтому в предыдущих комментариях также прослеживаются аналогичные обсуждения.
                                                                                                                      • +1
                                                                                                                        Как — неочевидно? Вы о чем вообще?

                                                                                                                        Множество { k0, k0+1, k0+2, k0+3… } включает в себя { k0+1, k0+2, k0+3… }. Поэтому любое утверждение, верное для всех k из первого множества, верно и для всех k из второго.
                                                                                                                        • –1
                                                                                                                          То что множество включает в себя другое множество, не означает, что любое утверждение верное для элементов более широкого множество автоматически справедливо для другого множества (подмножества)! Другими словами в общем случае, Ваши высказывание неочевидно (хотя это звучит немного странно).

                                                                                                                          Например. Множество M = {5,4,3,2,1}. Утверждение «множество содержит 5» для М верно, для подмножества N = {4,3,2,1} — утверждение не верно.

                                                                                                                          На практике, по аналогии, у вас может быть например решение в действительных числах быть, а в рациональных не быть. Хотя множество действительных чисел, содержит множество рациональных чисел.

                                                                                                                          Поэтому в конкретном этом случае, следует доказывать явно применимость такого перехода, что сделано не было.
                                                                                                                          Плюс ко всему, я об этом писал, нужно показать справедливость в другую сторону, что довольно не просто.
                                                                                                                          • +1
                                                                                                                            Я говорил не об утверждении для множества, а об утверждении для всех его элементов.

                                                                                                                            Например. Множество M = {5,4,3,2,1}. Утверждение «все элементы меньше 10» для М верно, для подмножества N = {4,3,2,1} — утверждение тоже верно.
                                                                                                                            • –1
                                                                                                                              Всё верно, Ваше утверждение заведомо верно и для множества M и для N (подмножества). Посмотрите в другую сторону.
                                                                                                                              Например утверждение вида «для всех элементов из М найдется больший или равный ему элемент и при этом он будет > 4 и т.д.».

                                                                                                                              Для подмножества N = {4,3,2,1} это уже не справедливо.
                                                                                                                              Для подмножества N = {1,2} это еще более очевидно.

                                                                                                                              Поэтому еще раз «Если множество… включает в себя… Поэтому любое утверждение, верное для всех k из первого множества, верно и для всех k из второго» — неочевидно, хотя и звучит очень-очень логично.

                                                                                                                              • 0
                                                                                                                                Вы опять говорите что-то странное.

                                                                                                                                Полностью ваше утверждение звучит так: «для всех элементов из М найдется больший или равный ему элемент из M и при этом он будет > 4». При замене «для всех элементов M» на «для всех элементов N» второе вхождение M не заменяется.

                                                                                                                  Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

                                                                                                                  Самое читаемое
                                                                                                                  Интересные публикации