alexlyk314 Mar 15 2023 at 11:32

Лемма Гаусса и теорема Эйзенштейна для многочленов

Medium

2 min

3.8K

Рассмотрим многочлен . Его можно также представить в виде . Такие разложения на множители бывают полезными в различных случаях. Например, с их помощью можно разложить дробь из многочленов в сумму простейших дробей:

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}= \frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}.$

Данное разложение используется при вычислении неопределённого интеграла:

$\int \displaystyle\frac{1}{x^2-1}\ dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx= \frac{1}{2} \ln(x-1) - \frac{1}{2} \ln(x+1).$

Разложение и соответствующее представление для дроби

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

позволяют найти сумму телескопического ряда:

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} =1$

Рассмотрим разложения других, более сложных, многочленов на множители:

$x^3+1=(2x+2)\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right).$

Как можно видеть, множители в этих разложениях имеют целые коэффициенты, за исключением последнего разложения. Но последний многочлен можно разложить и другим способом:

В этом разложении тоже целые коэффициенты. Возникает вопрос: существует ли многочлен с целыми коэффициентами, у которого есть разложение с дробными коэффициентами, но нет разложения с целыми? Лемма Гаусса говорит, что нет. Эта лемма применяется в компьютерной алгебре, теории чисел.

Теперь возникает вопрос: у каждого ли многочлена с целыми коэффициентами есть разложение? Попробуем разложить многочлены выше до конца:

$x^2+5x+5=\left(x + \frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(x + \frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right),$ $x^2-5x+5=\left(x - \frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \left(x - \frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right),$ $x^2+x+2=\left( x+ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i\right) \left( x+\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i\right),$ $x^2-x+1=\left( x- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \left( x- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right).$

У нас получилось это сделать, прибегнув к иррациональным, а иной раз и комплексным, числам. Нельзя ли обойтись обычными дробями (то есть рациональными числами)? Ведь если можно обойтись рациональными числами, то можно обойтись и целыми, как нам говорит лемма Гаусса.

Оказывается, частичный ответ на этот вопрос даёт теорема Эйзенштейна:

Пусть для многочлена $a_nx^n+\dots + a_1x+a_0$ с целыми коэффициентами есть такое простое число , что:

не делится на ;
остальные коэффициенты делятся на ;
не делится на .

Тогда этот многочлен нельзя разложить на множители с рациональными коэффициентами.

Например, теорема Эйзенштейна применима к многочленам и. Ещё её можно применить к многочлену - его также нельзя разложить в произведение многочленов с целыми коэффициентами.

Однако теорема Эйзенштейна покрывает не все неразложимые многочлены - например, многочлены , и также нельзя разложить над рациональными числами, так как у них нет рациональных корней (подумайте, почему наличие рационального корня необходимо для разложимости многочленов степени не выше трёх), однако к ним теорему Эйзенштейна применить нельзя.

Напоследок, предлагаем вам подумать над следующей задачей: докажите, что многочлен $P(x)=x^{n-1}+\ldots+x+1$ нельзя разложить в произведение двух целочисленных многочленов тогда и только тогда, когда число - простое. Подсказка: вам может пригодиться теорема Эйзенштейна для .

Авторы:

Лыков Александр, научный сотрудник мехмата МГУ, академический руководитель ШАД Хелпера.
Михаил Михеенко, студент пятого курса мехмата МГУ, куратор ШАД Хелпера.

Hubs:

Mathematics