Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйки которая будет совпадать с разностью. В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции, как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплатв качестве аргумента содержит случайный процесс. В силу того, что процессявляется ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания:*. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения, требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

где, - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения. В итоге получаем:

Если не забыть, что и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая сократится и останется:

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна, как , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на, срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: .

Опираясь на принципы рынка можно перейти к новому равенству:, гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением, а вместов правой части уравнения подставляем формулу.

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены. Делается это для того чтобы избавится от функцийи, которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

где

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену:, а далее подбираем коэффициентыитак, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

Частным решением уравненияявляется гауссиана:

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных,и подстановки их в уравнение.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функцииинтеграл:

зависящий от параметрови, будет также решением уравнения, на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравненияимеет вид:

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формулеследует найти функцию. Мы намереваемся доказать, чтодля любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что пригауссиана переходит в дельта-функцию Дирака и тогда:

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функциянепрерывна на отрезке, и при этом функцияне меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число, что:

Зададимся произвольно малым.

В виду свойств гауссианы при"хвосты" могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдемтакое, что

Так как, , то . В силу того, чтовыбрано произвольно малым, в пределе при , получаем. Окончательно имеем:

Следовательно,

Аналитическая формула БШ

Так как,при условии , то интеграл в правой частисводится к виду:

Дальнейшее интегрирование соотношенияпозволяет найти функцию , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как. Следовательно, нахождение решенияавтоматически позволит найти функцию.

Решение сводится к разделению интегралана разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

где, функция нормированного нормального распределения,волатильность за единичный период.

Список использованных источников

1. Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. — 376 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. — 560 с.

3. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М., ACADEMA, 2003. - 480 с.

4. Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. — 419 с.

5. Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 — 512 с.