Дадим краткое пояснение ряда терминов, используемых в заглавии данного подраздела:

1. «Точечный» означает, что хотя реактор и представляет собой пространственный объект, тем не менее кинетика (изменение во времени) нейтронов может быть условно описана «материальной точкой», имеющей такие же свойства (в динамическом плане), что и реальный реактор т.е. пространственные размеры (диаметр, высота) не учитываются.

Такое допущение вполне корректно для большинства реакторов: дляреакторов малой энергетики, лодочных (транспортных) реакторов, а с некоторым допущением идля больших реакторов (ВВЭР, PWR, BWR, HTGR и т.д.).

2. «Нулевой» означает, что либо мощность (энерговыделение) реактора незначительна и поэтому ее изменение не влияет на нейтронно-физические характеристики, либо хотя мощность и немала, но внутренние обратные связи (обусловленные различными эффектами реактивности, например, мощностным, температурным, плотностным и т.д. эффектами) не учитываются.

3. «Кинетика» практически тождественно слову «динамика», но в теории управления ядерными реакторами принято называть нестационарные режимы в балансе нейтронов в реакторе без обратных связей термином кинетика. Если учитываются обратные связи (внутренние и внешние), то тогда используется термин динамика ядерного реактора.

Прежде чем выводить уравнения кинетики нейтронов сделаем еще ряд допущений (к вышеописанным 1 и 2 допущениям):

•  будем считать, что на кинетику влияют в основном тепловые нейтроны т.е. используемодногрупповое приближение;

• будем считать, что запаздывающие нейтроны могут быть описаны одной эффективной группой, хотя обычно запаздывающие нейтроны подразделяются на 6 групп со своими постоянными распада ядер-предшественников запаздывающих нейтронов.

Из физики ядерных реакторов известно, что доля мгновенных нейтронов, рождаемых от деления ядра, составляет 99%, т.е. доля запаздывающих нейтронов составляет 0.25% 0.7% от общего числа порождаемых нейтронов.

Запаздывающие нейтроны вылетают из осколков через относительно большое время после деления ядра: обычно от сотых долей секунды до сотен секунд, в то время как мгновенные нейтроны через 1 мс( или еще быстрее, например, через 10 100 мкс).

Известно следующее нестандартное уравнение баланса нейтронов в реакторе в одногрупповом (по энергии нейтронов) приближении:

где:
- порождение мгновенных нейтронов первичными нейтронами;
- порождение запаздывающих нейтронов за счет распада ядер-предшественников з.н;
- поглощение нейтронов;
- утечка нейтронов из реактора за счет диффузии, где: – коэффициент диффузии,  - геометрический фактор (параметр);
- внешний источник нейтронов;
- порождение ядер – предшественников запаздывающих нейтронов;
- распад ядер - предшественников запаздывающих нейтронов;
- плотность нейтронов, или ;
- поток нейтронов, или
- сечение деления, или ;
- сечение поглощения, или
- средняя скорость нейтрона в реакторе (в одногрупповом приближении);
– концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, или ;
- средняя числое нетронов на акт деления;
- постоянная распада ядер предшественников.

После подстановки составляющих в систему (3.11.1):

Для реактора в стационарном состоянии, когда количество нейтронов вызывающих деление в первом поколении, равно количеству нейтронов вызывающих деления во втором и последующем поколения, и мощность реактора постоянна. В этом случае:

- доля мгновенных нейтронов во втором поколении;
- доля запаздывающих нейтронов во втором поколении.

Введем новые обозначения:

Эффективный коэффициент размножения:

Реактивность:

Время жизни мгновенных нейтронов без учета утечки из реактора:

Квадрат длинны дифузии:

Время жизни мгновенных нейтронов с учетом утечки:

Примем для простоты, что внешнего источника нет и Преобразуем 1-е уравнение системы (2.13.2):

Окончательно получаем:

Для стационарно работающего реактора

      Выполняя аналогичные преобразования для 2-го уравнения системы (3.11.2), имеем:

и окончательно:

Для стационарно работающего реактора

Объединяя уравнения (3.11.3) и (3.11.5) в систему, получаем систему уравнений кинетики нейтронов:

Учитывая, что 1, то вместо «точной» системы (3.11.7) удобнее использовать «приближенную» систему (3.11.8):

Систему уравнений (3.11.8) - систему 2-го порядка – можно представить структурно так:

Причем 2-е уравнение (2.13.5) – линейное, а 1-е – нелинейное, т.к. есть член уравнения пропорциональный величиен .

Найдем условия статики критичного реактора (стационарного состояния):

Если или . Тогда получаем:

где n₀  - равновесная плотность нейтронов; с₀ – равновесная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, и тогда:

      Дальнейшие преобразования выполним со следующими целями:

1. Перейти к безразмерным переменным;

2. Линеаризовать 1-е уравнение системы 3.11.8;

3. Получить передаточную функцию, описывающую кинетику нейтронов в переменных «вход-выход»;

4. Получить систему уравнений в форме Коши.

   Введем новые безразмерные переменные:

Учитывая, что и в станционаре , то переменная является безразмерной.

      Подставляя новые переменные  и  в 1-е уравнение системы (3.11.8), получаем:

В итоге, после исключения слогаемого второго прядка малости и сокращения с использованием уравнения стационарного состояния получаем следующую систему уравнений:

3.11.10      это система уравнений в форме Коши, т.е. в переменных состояния. Таки образом получена линеаризованная система уравнений для безразмерных переменных  и описывающих кинетику нейтронов в реакторе. 

      Приведем описание кинетики нейтронов к стандартному виду в переменных «вход-выход».

Это можно сделать 2-мя способами.

1-й способ перехода к переменным "вход - выход"

Выразим заначение из первого уравнения системы 3.11.10

Выполним диференцирование первого уравления системы 3.11.11

Вставим производную из второго уравнения системы 3.11.10

Подставим значения из выражения 3.11.11:

Перенося слагаемые с и в разные часть уравнения получаем:

поскольку значения и можно упростить и окончательно уравнение выглядит так:

Используя преобразование Лапаласа:

      Уравнение кинетики в изображениях:

Передаточная функция «точечного» реактора с «нулевой» мощностью:

2-й способ перехода к переменным "вход - выход"

Перейдем к изображениям в системе 3.11.10

из второго уравнения системы

подставляем в перовое уравнение:

поскольку значения и можно упростить и окончательно уравнение выглядит так:

Передаточная функция «точечного» реактора с «нулевой» мощностью:

данное выражение совпало с выражением (3.11.13)

      Хотя традиционной переходной характеристикой любого (почти любого) звена, объекта САР и т.д. является переходная функция h(t) (реакция на 1(t)), в данном случае такое (количественно большое) воздействие по реактивности недопустимо, т.к. величина  (зависит от вида ядерного топлива и типа реактора), и поэтому величина воздействия по реактивности, превышающая делает реактор критическим (точнее надкритическим) на мгновенных нейтронах, что недопустимо из соображений ядерной безопасности, т.к. таким реактором управлять практически невозможно. Это особенно наглядно видно из системы уравнений 3.11.10 (линеаризованной):

Если сумма 1-го и 3-го слагаемых 1-го уравнения отрицательна, то «разгон» реактора идет за счет 2-го слагаемого, для которого характерные времена определяются из 2-го уравнения системы. Характерное время сек.

Если , то разгон будет определяться, в основном, 3-им слагаемым в 1-ом уравнении, следовательно характерная постоянная времени , т. е. порядка 10^-3 сек (и меньше), а это в условиях реального реактора практически мгновенно, т.е. означает взрыв!

      Поэтому рассмотрим реакцию не на единичное ступенчатое воздействие, а на ступенчатое воздействие:

Примем, что где - реакция на мгновенный «скачок» реактивности.

Найдем оригинал изображения разложением изображения на элементарные дроби:

Корни знаменателя : .

Приравниывя коэффициенты многочленов с соответсвующими степнями s получаем систему уравнений:

Из 3-го уравнения

подставляя во 2-е уравнение получаем:

из 3-го уравнения получаем:

Используя таблицу основных преобразования Лапласа получим оригинал изображания для и подставим формулу для

Подставляя значения А,В,С,  при t > 0 получаем выражение для переходной функции:

или учитывая что

Весовая функция получается путем диференцирования перходной функции:

при

при

Для сопоставления переходных процессов в ядерных реакторах при различных временах жизни мгновенных нейтронов при  целесообразно привести уравнения кинетики к новому виду:

введем безразмерное время и, таким образом исследовать поведение в поколениях мгновенных нейтронов;

безразмерное возмущение по реактивности ;

тогда уравнения кинетики имеют следующий вид:

АФЧХ кинетики точечного реактора нулевой мощности

Значение обычно положительное для ядер распотраненного топлива значения приблизительно следующие:

• Доля запаздвающих нейтронов во втором поколении

• Постоянная распада ядер предшественников ;

• Время жизни мгновенных нетронов .

Соответвенно

Рассмотрим зависимость АФЧХ при различных значениях

1. Если - идеальное интегрирующее звено:

2. Если , но - идеальное усилительное звено:

3. Если

   - апериодическое звено 1-го порядка:

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ):

Пример модели реактора

Для демонстрации работы модели реактора в виде передаточной функции создадим модель и сравним ее с более «продвинутой» моделью «точечная кинетика» из стандартной библиотеки блоков.

Расчетная схема модели сравнения представлена на рисунке 3.11.19

Рассмотрим воздействие на модель скачка реактивности, в виде ступеньки на 1 секунде расчета. Результаты работы блоков выведем на один график, а также построим АФЧХ для каждого из блоков.

Для параметров модели стандартного блока возьмем значения по умолчанию. Параметры «по умолчанию» подразумевают 6-групповое приближение для запаздывающих нейтронов. Дело в том, что в реальном процессе деления образуется целый спектр изотопов (ядер-осколков, каждый из которых имеет свою постоянную распада). В стандартном блоке весь спектр осколков делится на группы, в каждой из которых принимается средняя по группе постоянная распада. 

Таким образом, рассмотренную в лекции модель можно назвать 1-о групповой моделью для запаздывающих нейтронов, а эталонная модель является 6-и групповой.

Свойства «эталонного блока» представлены на рисунке 3.11.20.

Чтобы получить сопоставимую модель, проведем осреднение постоянных распада по группам в главном программном скрипте проекта. В этом же скрипте зададим параметры входного воздействия – скачок реактивности – величиной 0.01 от (см. рис. 3.11.21) 

Рассчитанные значения и заданные константами параметры модели подставляем в блок «Передаточной функции общего вида», который и станет модель точечного реактора, передаточная функция которого выведена в лекции.

Сравним Годограф и ЛАХ для двух звеньев (см. рис. 3.11.23). Видно, что графики похожи по форме, но все-таки не полностью идентичны. Что не удивительно, поскольку модели разные, хотя и описывают один и тот же процесс. 

Посмотрим насколько отличаются модели по приходному процессу.

В качестве численного эксперимента подадим возмущения в размере 0.1 от . И выполним сравнение двух моделей на одном графике. (см. рис. 3.11.24)  

Видно, что поведение моделей примерно совпадает в начальный момент до 3 секунд переходного процесса.

На данном графике видно, что несмотря на то, что цепная реакция деления идет с нарастанием, скорость увеличения мощности достаточно медленная, и система является управляемой. Увеличим величину скачка на 1 секунде до 0.5 от  . Результат моделирования переходного процесса представлен на рисунке 3.11.25

Видно, что при таком скачке реактивности графики расходятся значительно раньше уже на 2 секунде расчета. И «эталонная модель» обеспечивает большую скорость разгона.

Для демонстрации превращения реактора в бомбу введем скачок реактивности равный 1  от .

Результат представлен на рисунке 3.11.26 Для «эталонной» модели рост мощности на 15 секунде  в 75 миллионов раз. Наглядная демонстрации превращения реактора в бомбу. При этом если увеличить масштаб (см. рис. 3.11.27), видно, что даже в случае бомбы, наша простая модель при скачке реактивности ведет себя похоже на "эталонную модель" до 0.1 секунды после скачка.

Модель для самостоятельного изучения можно взять здесь.

Более подробный разбор точечной модели ядерного реактора в виде лабораторной работы МГТУ им. Н.Э. Баумана можно посмотреть здесь.

Другие лекции:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1  Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2 Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3 Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4 Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5 Колебательное звено. 3.6 Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7 Форсирующее звено. 3.8 Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9 Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. 
4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).
6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.
7. Точность систем автоматического управления. Часть 1 и Часть 2
8. Качество переходного процесса. Часть 1 и Часть 2
9. Синтез и коррекция систем автоматического регулирования (САР).
10. Особые линейные системы. Часть 1