7. Точность систем автоматического регулирования (ч.1)
7.1 Общие понятия о точности процесса управления
Как отмечалось в разделе 6, интегральная оценка управления складывается из 3-х основных понятий:
устойчивость САР;
точность САР;
качество переходного процесса.
Очевидно, что главным является устойчивость САР (или запас устойчивости). Если САР не устойчива или очень мал запас устойчивости, то говорить о точности (неустойчивая САР) или о качестве переходного процесса (малые запасы устойчивости) не имеет смысла.
Если САР устойчива и запасы устойчивости достаточны по величине, то понятие точность САР является весьма важным показателем.
Точность определяют по отработке САР следующих видов воздействий:
ступенчатое внешнее воздействие (управляющее или возмущающее) часто называется постоянным внешним воздействием;
линейное внешнее воздействие т.е. линейно изменяющееся внешнее воздействие (управляющее или возмущающее);
гармоническое воздействие, т.е. ;
медленно меняющееся произвольное внешнее (управляющее или возмущающее) воздействие;
другие воздействия (параболическое, импульсное и т.д.).
Наиболее часто для оценки точности САР используются постоянное (ступенчатое) и линейное воздействия.
Различают статические и астатические САР:
Данные графики будем относить к следующей структуре САР:
По установившейся ошибкой понимают:
Если входное воздействие
Если входное воздействие
Различают астатизм по управляющему воздействию, а также астатизм по возмущающему воздействию, причем наличие того или иного астатизма определяется по-разному (см. следующие подразделы).
Главной задачей системы автоматического регулирования является точная и быстрая (но плавная) отработка управляющих воздействий, причем учитывая требования качества САР – точность очень важная «характеристика».
Наиболее часто точность САР оценивают по отработке управляющих воздействий. Рассмотрим последовательно различные виды управляющих (задающих) воздействий.
7.2 Точность при постоянном задающем воздействии. Постоянные ошибки
Для упрощения дальнейших преобразований будем считать, что структура САР приведена к стандартному виду (см. п.5 Передаточные функции и уравнения динамики система автоматического регулирования):
Примем, что отсутствует возмущающее воздействие
Рассмотрим единичное ступенчатое воздействие
Считая, что замкнутая САР устойчива, найдем
Примем, что свободные коэффициенты в полиномах
Используя передаточную функцию замкнутой САР (см. раздел 5) для ошибки можно записать выражение:
где:
согласно 1-й предельной теореме (см. раздел 2)
Учитывая, что единичное ступенчатое воздействие в отображениях:
Т.е. если полином
Величина
В случае если полином
Если
Из соотношения 7.2.3 очевидно, чем выше k - коэффициент усиления, тем меньше ошибка (для статических САР). Выводы: необходимо повышать общий коэффициент усиления разомкнутой САР, для сокращения ошибки.
Однако увеличение
Цитата:
"Необходимо отметить, что для разомкнутой САР, имеющей
годограф похожий на рис. 6.5.5 левый вариант, устойчивость системы (замкнутой) нарушится только с увеличением общего коэффициента усиления К. (Дейстивительно при увеличении коэффициента K увеличится длинна вектора и он может охватить точку -1). "
Поэтому при проектировании САР необходимо «решать» «оптимальную» задачу, т.е. выбрать оптимальное значение , обеспечивающее удовлетворительную точность и неплохое качество переходного процесса.
В последнее время практически все САР проектируются как астатические, что легко достигается за счет использования астатических регуляторов (например ПИ-регуляторов (пропорционально-интегрирующих).
В этом случае говорить о постоянной ошибке нет смысла, т.к.
Пример 1:
Определить установившуюся ошибку, если входное воздействие
Необходимо заметить, что прямое использование формулы (7.2.3) в данном случае не проходит, т.к. статическая ошибка
Прежде чем определять статическую ошибку
Характерестический полином эквивалентной передаточной функции:
Для определение устойчивости критерий Гурвица (см. раздел 6):
Все главные определители матрицы Гурвица больше нуля
Перейдя к изображению
Подставляем значения
7.3 Точность при линейном воздействии. Скоростные ошибки
В данном подразделе рассмотрим САР замкнутую единичной обратной связью (если обратная связь не единична, то с помощью структурных преобразований ее можно привести к единичной, подробнее об этом смотри раздел 4 Структурные преобразования систем автоматического регулирования)
где
В соответствии со своим назначением устойчивая САР обязана «отслеживать» (с какой-то степенью точности) управляющее воздействие.
Воспользуемся первой предельной теоремой:
Рассмотрим различные варианты САР: статическую и астатическую (1-го и 2-го порядка)
Статическая САР
Передаточная функция
где полниномы
Отклонение в отображениях:
Где
Изображение входного воздействия
Вывод: Cтатическая САР не способна «отслеживать» линейное воздействие.
Астатическая САР со степенью астатизма 1
Для САР со степенью астатизма 1 полином
Примечание: Степень астатизма равна количеству нулевых полюсов полинома
В этом случае установившиеся статистическая ошибка:
Вывод: Если разомкнутая САР имеет астатизм первого порядка (имеет один нулевой полюс), то установившияся ошибка для замкнутой САР
Ошибка в астатической САР (1-го порядка) называется скоростной ошибкой, а общий коэффициент
Анализ формулы (7.3.3) показывает, что чем выше
Астатическая САР со степенью астатизма 2
Для САР со степенью астатизма 2 полином
В этом случае установившиеся статистическая ошибка:
Очевидно, что если степень астатизма
Модели из статьи можно взять здесь...
В предыдущих сериях:
1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления регулирования. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.
4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).
6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.
В следующих сериях