Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Большая витрина: от крупнейших школ до частных авторов. Сравнивайте по цене, длительности, формату и выбирайте самый подходящий курс!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 37
Когда читаю про подобные приёмы, всегда вспоминаю рассказ Азимова «Чувство силы».
В 80-х годах, когда калькуляторы в школах были редкостью, в моей школе в программу обучения математике входили уроки устного счета. Нужно было за отведенное время произвести в уме операции над данными числами и записать результат на персональной дощечке. Тогда этого не говорилось, но теперь я вижу, что те приемы счета, что на них давали, основывались на приемах Рачинского.
Я дико извиняюсь, но числа, заканчивающиеся на 5, возводятся в квадрат много проще. Надо отбросить 5, оставшееся число умножить на само себя, увеличенное на 1. К результату приписать 25. Все.
195^2 = (19*20)_25 = 38025
195^2 = (19*20)_25 = 38025
Теперь я вижу, что мой пример не совсем удачный. Зато, благодаря вашему комментарию, узнала ещё один способ =)
Тот пример не совсем удачный ещё и потому, что
195 = 200 — 54
195^2 = (200 — 5)^2 = 40000 — 2*5*200 + 25 = 40000 — 2000 + 25 = 38025
195 = 200 — 54
195^2 = (200 — 5)^2 = 40000 — 2*5*200 + 25 = 40000 — 2000 + 25 = 38025
Может я что то не понял но почему например это не работает как с примером 48 x 42 = 2016.
48 х 41 = 1968, хотя по этой схеме должно быть 4х5 = 20 и 8х1=08, то должно быть 2008.
По аналогии с 99 x 91 = 9009, 98х91=8918, а не 9008.
Видно забыли уточнить, что не только равное число десятков, но и единицы должны давать 10, тогда работает.
Например 66х64=4224.
Ах, да, извиняюсь. Там же написано про это выше! Глупая моя голова…
48 х 41 = 1968, хотя по этой схеме должно быть 4х5 = 20 и 8х1=08, то должно быть 2008.
По аналогии с 99 x 91 = 9009, 98х91=8918, а не 9008.
Видно забыли уточнить, что не только равное число десятков, но и единицы должны давать 10, тогда работает.
Например 66х64=4224.
Ах, да, извиняюсь. Там же написано про это выше! Глупая моя голова…
«Но не так-то просто умножить в уме 62 на 63...» (с)
Если у нас трёхзначное число AB5, то чтобы возвести его в квадрат, делаем так:
К числу AB прибавляем (B+1). Сумму умножаем на А. Произведение умножаем на 1000 и прибавляем (B5)^2 (если оно трёхзначное — то просто приписываем).
Например, 735^2:
73+4=77
77*7=539
35^2=1225
539000+1225=540225
Если у нас трёхзначное число AB5, то чтобы возвести его в квадрат, делаем так:
К числу AB прибавляем (B+1). Сумму умножаем на А. Произведение умножаем на 1000 и прибавляем (B5)^2 (если оно трёхзначное — то просто приписываем).
Например, 735^2:
73+4=77
77*7=539
35^2=1225
539000+1225=540225
Схема x^2=(x+y)(x-y)+y^2
На эту тему есть замечательная книга — «Техника счета», если не изменяет память, автор Сорокин
Благодаря всей этой фигне я окончательно разучился считать в уме, потому что давно вместо простого перемножения занимаюсь выдумыванием облегчающих жизнь приёмов, которые по факту ничего не облегчают.
BTW, перемножать двузначные числа легко:
xy * zt = (x * y)00 + (x * z + y * t)0 + yt
здесь, x, y, z, t — цифры, запись "(x * y)00" читать как «приписываем два нуля к выражению в скобках».
BTW, перемножать двузначные числа легко:
xy * zt = (x * y)00 + (x * z + y * t)0 + yt
здесь, x, y, z, t — цифры, запись "(x * y)00" читать как «приписываем два нуля к выражению в скобках».
Тогда можно просто выучить таблицу умножения всех 2-значных чисел :)
Да не, таблица умножения 2-значных чисел только кажется большой. Первые 100 чисел мы учим в школе — это обычная таблица умножения до 10*10, квадраты 11*11, 12*12, 13*13 и т.д. со временем тоже запоминаются. Умножения на 10, 20, 30, 40, 50 — тоже легко. Чуть сложнее с умножением на числа, кратные 5 (но можно же и вышеописанным трюком воспользоваться), а остальное почти и не нужно. Для прикидок достаточно, а точные числа лучше на калькуляторе получать.
BTW, xy * zt = (x * z)00 + (y * z + x * t)0 + y * t
(10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2)/365 = ( (12-2)^2 + (12-1)^2 + 12^2 + (12+1)^2+(12+2)^2 ) / 365 = (5*12^2+1+1+4+4)/365^2 =
= 5*(12^2+2)/(5*73) = 146/73 = 2
= 5*(12^2+2)/(5*73) = 146/73 = 2
Не совсем по теме, но в числителе довольно занимательная сумма (кажется, так и называется «Ряд Рачинского»).
Дело в том, что сумма первых трех слагаемых равна сумме последних двух слагаемых и равна она в точности 2*365. Эта особенность была известна Рачинскому, о чем было написано в небезызвестной книге Перельмана об арифметике.
Но и это еще не все. Вместе с рядом Рачинского мы уже знаем как минимум два подобных тождества:
— 3^2 + 4^2 = 5^2;
— 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2.
Если взять за N количество слагаемых слева от знака равенства, а за X первое слагаемое, то, решив полученное уравнение, получим два решения:
1. X1 = -N;
2. X2 = (N-1)(2N-1).
Первое решение тривиальное, и, по сути, говорит нам, что любой ряд такого плана будет тождеством:
(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1^2 + 2^2
А вот второе решение уже интереснее. Из него мы получим такие тождества:
— N=1: X = 3 => 3,4 = 5;
— N=2: X = 10 => 10, 11, 12 = 13, 14;
— N=3: X = 21 => 21, 22, 23, 24 = 25, 26, 27;
…
Честно говоря, не помню, как называются эти ряды, но Рачинский как раз на этом и строил решение предлагаемой им задачи. Вообще, математика удивительная вещь. Вроде бы ее придумали люди, но потом уже она стала диктовать свои правила придумавшим же ее людям. :-)
Дело в том, что сумма первых трех слагаемых равна сумме последних двух слагаемых и равна она в точности 2*365. Эта особенность была известна Рачинскому, о чем было написано в небезызвестной книге Перельмана об арифметике.
Но и это еще не все. Вместе с рядом Рачинского мы уже знаем как минимум два подобных тождества:
— 3^2 + 4^2 = 5^2;
— 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2.
Если взять за N количество слагаемых слева от знака равенства, а за X первое слагаемое, то, решив полученное уравнение, получим два решения:
1. X1 = -N;
2. X2 = (N-1)(2N-1).
Первое решение тривиальное, и, по сути, говорит нам, что любой ряд такого плана будет тождеством:
(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1^2 + 2^2
А вот второе решение уже интереснее. Из него мы получим такие тождества:
— N=1: X = 3 => 3,4 = 5;
— N=2: X = 10 => 10, 11, 12 = 13, 14;
— N=3: X = 21 => 21, 22, 23, 24 = 25, 26, 27;
…
Честно говоря, не помню, как называются эти ряды, но Рачинский как раз на этом и строил решение предлагаемой им задачи. Вообще, математика удивительная вещь. Вроде бы ее придумали люди, но потом уже она стала диктовать свои правила придумавшим же ее людям. :-)
В ProjectEuler есть задача на более общие тождества такого же вида (сумма m+1 последовательных квадратов слева равна сумме m последовательных квадратов справа), когда нет ограничения, что последовательность справа продолжает последовательность слева, под номером 261 (русский перевод).
Например: 1082 + 1092 + 1102 = 1332 + 1342.
Например: 1082 + 1092 + 1102 = 1332 + 1342.
Ага, главная проблема не разложить, а удержать в голове все эти слагаемые и ничего при этом не забыть.
Не думаю что это простое совпадение в примере.
Правильно заметили =) Рачинский чуть ли не индивидуально для каждого ученика придумывал задания. Чтобы заинтересовать математикой давал примеры с забавными результатами. Например,
111*91 = 10101
126*81 = 10206
285*73 = 20805
всё-таки с применением (10+x)^2 считать гораздо проще:
10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 = 5*10^2 + 2*10*(0+1+2+3+4) + 1 + 4 + 9 + 16 = 500 + 200 + 30 = 730
тут нет необходимости помнить наизусть квадраты чисел, больше 10, а самой «сложной» частью вычисления становится сумма квадратов от 0 до 4.
10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 = 5*10^2 + 2*10*(0+1+2+3+4) + 1 + 4 + 9 + 16 = 500 + 200 + 30 = 730
тут нет необходимости помнить наизусть квадраты чисел, больше 10, а самой «сложной» частью вычисления становится сумма квадратов от 0 до 4.
Вангую неделю перепечаток из Перельмана
Ну надо же, меня мама так учила считать в уме, когда я был маленький. А её научили этому ещё в школе, в глухой деревеньке.
До сих пор так считаю. Даже не подозревал, что для кого-то это будет открытием — для меня это было и есть норма жизни)
До сих пор так считаю. Даже не подозревал, что для кого-то это будет открытием — для меня это было и есть норма жизни)
Я еще знаю одну хитрость при умножении двузначного на 11.
Нужно просуммировать цифры первого множителя, если число вышло меньше 10, то просто вставить это число, т.е. уже цифру в середину, это и будет ответом, если число больше 10, то нужно 1ую цифру множителя увеличить на 1, а вторую цифру ответа также вставить в середину.
Примеры:
Нужно просуммировать цифры первого множителя, если число вышло меньше 10, то просто вставить это число, т.е. уже цифру в середину, это и будет ответом, если число больше 10, то нужно 1ую цифру множителя увеличить на 1, а вторую цифру ответа также вставить в середину.
Примеры:
27*11 = 2_(2+7)_7 = 297
38*11 = 3_(3+8)_8 = (3)_(11)_8 = (3+1)_1_8 = 418
76*11 = 7_(13)_6 = 836
Вы еще помните, как умножать и делить «столбиком», на бумаге, без калькулятора?
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Эффективный счёт в уме или разминка для мозга