Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 107
Хорошую телегу развел главный инженер. А мог бы проще: мы используем ровно столько знаков, сколько влезает в тип double.
Если бы для необходимой точности типа double не хватало бы, то они бы ввели новый тип.
Согласен, не думаю, что если бы 15 знаков дали погрешность в несколько метров на орбите, использовали бы double. Взяли бы 128 бит
Увеличение битности не всегда хорошо, потому что вырастает время вычисления и энергозатраты.
Ну вы же понимаете, что в double у вас нет точности в 324 значащих знака после запятой, просто там больше бит под экспоненту, а точность — 15-17 десятичных знаков, а у decimal — 27-28.
У binary128 точность вообще 34 знака, а у 256-битного — 71.
У binary128 точность вообще 34 знака, а у 256-битного — 71.
Как-то скудно дана информация о представлении числа по стандарту IEEE 754, где возникают определённые проблемы с неконтролируемой точностью. На практике получается: если порядок целой части увеличивается, то точность представления числа (с плавающей точкой) уменьшается.
Проблемы с плавающей запятой возникают в редких случаях, когда посреди вычислений используются значения отличающиеся на много порядков друг от друга и от результата. Если мы оперируем числами порядка 10^40, то обычно нам не важно, что там после запятой. А если важно, есть типы с произвольной точностью.
По последней ссылке или я что-то неправильно понимаю, или просто бред написан. sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2) и sqrt((a+c)^2+(b+d)^2) это явно разные числа и эксель тут не виноват.
По последней ссылке или я что-то неправильно понимаю, или просто бред написан. sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2) и sqrt((a+c)^2+(b+d)^2) это явно разные числа и эксель тут не виноват.
Верно. Пример действительно бредовый. Моя ошибка, что не проверил.
С плавающей точкой очень часто получаем проблемы — в гейм деве, например, это вычисление длины отрезка от рядом стоящих точках в больших координатах, как результат — дёргающаяся камера, глючная физика, и т д.
Видел подобную проблему в промышленной автоматизации. Основной тип REAL — 32-х битное число с плавающей запятой.
Ребята на соседней установке не могли понять, почему не работает позиционирование, они применили следующий алгоритм: импульс энкодера они преобразовывали в перемещение в мм, да только беда в том, что импульсов у энкодера довольно много и перемещение оказывалось мизерным. А длина путей по которым ездила машина порядка 100м (измерения, повторюсь, шли в мм), и на краю батареи получалось, что к числу 100 000 прибавлялось 0,1 и… позиционирование вело себя не так, как хотелось ребятам.
Мы же изначально взяли абсолютный энкодер (что привело к другим проблемам и задачам).
Ребята на соседней установке не могли понять, почему не работает позиционирование, они применили следующий алгоритм: импульс энкодера они преобразовывали в перемещение в мм, да только беда в том, что импульсов у энкодера довольно много и перемещение оказывалось мизерным. А длина путей по которым ездила машина порядка 100м (измерения, повторюсь, шли в мм), и на краю батареи получалось, что к числу 100 000 прибавлялось 0,1 и… позиционирование вело себя не так, как хотелось ребятам.
Мы же изначально взяли абсолютный энкодер (что привело к другим проблемам и задачам).
Числа одного порядка (примеры приведены на сайте внизу раздела).
decimal — целочисленный тип с условным сдвигом точки (так же как тип money в других ЯП), double — с плавающей запятой, т.е. мантисса и порядок.
15 знаков потому что мантисса в double 52 бита, т.е. 2^52 ~= 4,5 * 10^15
15 знаков потому что мантисса в double 52 бита, т.е. 2^52 ~= 4,5 * 10^15
А, например, при численном интегрировании такая точность не может ли создать проблем?
Банальный пример — расчет орбиты или интегральная навигация — там ошибка накапливается с итерациями, и (теоретически) 15 знаков может оказаться не так уж и много.
Хотя, понятное дело, скажем, неопределенности измерений масс и ускорений — больше, и накапливаются они быстрее, и вносят вклад много больший, но тем не менее.
Банальный пример — расчет орбиты или интегральная навигация — там ошибка накапливается с итерациями, и (теоретически) 15 знаков может оказаться не так уж и много.
Хотя, понятное дело, скажем, неопределенности измерений масс и ускорений — больше, и накапливаются они быстрее, и вносят вклад много больший, но тем не менее.
Число pi обычно не суммируют «бесконечное» число раз, а за скобки выносят.
Если же речь о тригонометрии, в аргументах которой деление на Pi, то от неточного вычисления синусов/косинусов все равно никуда не деться.
Если же речь о тригонометрии, в аргументах которой деление на Pi, то от неточного вычисления синусов/косинусов все равно никуда не деться.
Ошибка при интегрировании накапливается. Писал код интегрирования орбит по методу Адамса, ошибка интегрирования накапливалась приблизительно пропорционально квадратному корню из числа итераций. Например за миллион итераций ошибка увеличивалась с 10-15 до 10-12. Но это при интегрировании планетных орбит в Солнечной Системе, т.е. без тесных сближений. При тесных же сближениях (например сближение астероида Апофис с Землей), ошибка накапливается намного-намного быстрее. Так что, на мой взгляд, Марк Рейман что-то недоговаривает.
Это потому что вы думаете с точки зрения математика.
С точки зрения физика там в любом случае будут другие погрешности, на фоне которых погрешность точности пи будет теряться еще в самом начале вычислении. В конце концов почти всегда закладывают возможность нивелировать ошибки (не говоря уже о погрешностях) путем запуска двигателей.
С точки зрения физика там в любом случае будут другие погрешности, на фоне которых погрешность точности пи будет теряться еще в самом начале вычислении. В конце концов почти всегда закладывают возможность нивелировать ошибки (не говоря уже о погрешностях) путем запуска двигателей.
В некоторых вселенных число пи может отличаться от 3.14
Например, в нашей :)
<irony>А в Манхэттене пи равно четырем.<irony/>
Число пи — это фундаментальная математическая константа, которая не зависит от того, как мы меряем расстояния. Никуда не денется ни коэффициент в формуле Стирлинга, ни коэффициент в нормированном преобразовании Фурье, ни значение суммы обратных квадратов, ни, в конце концов, наименьшее положительное значение a, для которого exp(ia)=1 (т.е. 2пи) — во всех этих случаях будет фигурировать одна и та же константа, и то, что она не будет являться отношением длины окружности (в каком-то смысле) к диаметру, никак не умаляет её важности.
Боюсь, что нет. Если у нас другое значение числа пи — значит, у нас кривизна пространства другая, и основание натурального логарифма уже не 2,718… Натуральный логарифм и отношение длины к окружности определяют массу взаимоотношений в реальности, именно поэтому пи и е — фундаментальные константы, а не случайная пара из бесконечного моря трансцедентных чисел.
А какое отношение основание натурального логарифма имеет к кривизне пространства? Натуральный логарифм — это просто первообразная для функции y=1/x.
Это только на первый взгляд удивительно. Из бесконечности математических законов люди больше всего ценят те, по которым в конечном итоге можно овец считать :)
Так вот, натуральный логарифм — это тот, который для числа a>1 равен площади под кривой f(х) = 1/x от 1 до a. Если кривизна пространства изменилась — площадь под кривой будет другая, и основание логарифма, которое мы найдём будет отличаться от 2,718…
Так вот, натуральный логарифм — это тот, который для числа a>1 равен площади под кривой f(х) = 1/x от 1 до a. Если кривизна пространства изменилась — площадь под кривой будет другая, и основание логарифма, которое мы найдём будет отличаться от 2,718…
Площадь под кривой считается в евклидовом пространстве, а не в том, в котором мы живём. Потому что только в этом случае получится операция, обратная взятию производной, а без этого свойства площадь под графиком — никому не нужная абстракция.
Как я уже писал выше, если количество каких бы то ни было "овец" выражается большим числом сочетаний, то адекватно оценить его можно с помощью формулы N! ~ sqrt(3.1415926...)sqrt(2N)(N/2.718281828...)^N, и что-то мне подсказывает, что константы, присутствующие в этой формуле, не зависят ни от какой кривизны. Значит, их обнаружат в любой Вселенной, где захотят исследовать асимптотику факториала.
Как я уже писал выше, если количество каких бы то ни было "овец" выражается большим числом сочетаний, то адекватно оценить его можно с помощью формулы N! ~ sqrt(3.1415926...)sqrt(2N)(N/2.718281828...)^N, и что-то мне подсказывает, что константы, присутствующие в этой формуле, не зависят ни от какой кривизны. Значит, их обнаружат в любой Вселенной, где захотят исследовать асимптотику факториала.
Боюсь, что площадь под кривой считается в евклидовом пространстве просто потому, что отличие нашего пространства от евклидового не так просто заметить. А от геометрии на самом деле зависит весьма многое.
Формула Стирлига использует натуральный логарифм. Вид той формулы, которую вы приводите, скорее всего не изменится, но там будут стоять другие пи и е — конечно, с почти тем же конечным результатом.
Формула Стирлига использует натуральный логарифм. Вид той формулы, которую вы приводите, скорее всего не изменится, но там будут стоять другие пи и е — конечно, с почти тем же конечным результатом.
Числа пи и е являются математическими константами и входят в тысячи различных формул. Заменить их на что-то другое нереально. Пространства отличные от евклидова тоже все строго описаны математически с использованием стандартных констант, только там уже по другому работают понятия расстояния, площади и т.п. Появляются понятия кривизна пространства и другие. Но когда мы смотрим, какие математические формулы лучше описывают реальный физический мир мы математику не меняем. Следует чётко разделять математику, основанную на аксиомах, определениях и теоремах, и физику, описывающую реальный мир. Физика должна максимально точно описывать материальный мир, для чего она использует математический аппарат, прямой обратной связи нет.
Но эти тысячи формул прекрасно работают и с другими постоянными. Постоянные взяты не из математики, а из тех самых окружности и экспоненты, которые изначально в окружающей реальности. Всё равно на первых этапах развития науки меряют окружность и рисуют экспоненту, а соотношения в них в "кривом" пространстве другие. Конечно, потом бы там появился свой Лобачевский и сказал бы "ребята, пространство может быть плоским!", но только рассмотрение этого пространства вели бы с константами, полученными в "кривом". Так же как и мы от своих пи и е при рассмотрении неплоских пространств не отказываемся.
Не могут они работать, ка вы у ряда или интеграла другое значение получите? Окружность записанная математически (x^2+y^2=1) даст пи, экспонента получается из элементарного дифференциального уравнения, и там тоже нет вариантов. В современной математике в принципе нет НИЧЕГО из окружающей реальности, она никак с ней не связана. Развитие математики связано с потребностями других наук, когда того, что в ней есть не хватает для комфортного описания, но что-то в ней изменить невозможно. Для описания неплоских пространств есть свои характеристики, которые никак не заменяют пи и е.
Вообще почитайте университетские курсы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии. Поищите что-то связанное с характеристиками реального мира. Все свойства взятые изначально из базовой геометрии в итоге можно доказать аксиоматически.
Вообще почитайте университетские курсы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии. Поищите что-то связанное с характеристиками реального мира. Все свойства взятые изначально из базовой геометрии в итоге можно доказать аксиоматически.
Если окружность не на плоскости, то её уравнение будет другим, и отношение радиуса к длине мы получим другое. Пи и е для жителей такого мира и будут теми самыми "характеристиками, которые никак не заменяют" то, что они получили у себя изначально. Формулы они в итоге получат близкие к нашим, но в их предпочтительных числах будет отпечаток их мира, так же как в наших — нашего.
Ну так пи не определяют через окружность… Жители мира получат там не пи… Все математические формулы у них будут одинаковыми с точностью до обозначений, физические — разными.
Хотел привести пример, как будет развиваться математика при пи=3, но экран слишком плоский для этого моей подготовки не хватает, чтобы в полной описать все ужасы тамошней математики и к чему она под конец придёт. Не могу даже сообразить, верна ли этом пространстве теорема Пифагора. Но тамошним математикам точно проще будет возводить в круг, чем в квадрат.
Если вы живёте в двумерном мире, а ваша вселенная находится на поверхности например сферы, то пи у вас вообще будет зависеть от радиуса, а на больших масштабах так и вообще сначала расти, а потом вдруг уменьшаться.
Т.е. если пространство не плоское, то пи будет отличаться от 3.14.
Т.е. если пространство не плоское, то пи будет отличаться от 3.14.
Но так та величина не будет пи. Число пи определено чисто математически, и от геометрии не зависит. Так же чисто математически доказывается, откуда пи берётся в формулах для окружности, круга, сферы и шара в евклидовом пространстве.
Простой пример: в классической механике если корабль плывёт относительно земли со скоростью 2 м/c, а человек идёт по кораблю со скоростью 2 м/c, то относительно земли человек движется со скоростью 2+2=4 м/c. "В реальности" же нужно учесть релятивистские эффекты, и "на самом деле" он идёт чуть медленнее. Но это не значит, что в нашей Вселенной 2+2 не равно 4, а значит только, что в данном примере для получения более точного результата нельзя использовать указанную математическую модель: сложение чисел.
Также и тут: пи — это абстрактный математический объект, определённый безотносительно к физическому миру, просто в других пространствах для подсчёта длины окружности нельзя будет использовать формулу 2пиR, а нужно будет делать поправку на кривизну.
Также и тут: пи — это абстрактный математический объект, определённый безотносительно к физическому миру, просто в других пространствах для подсчёта длины окружности нельзя будет использовать формулу 2пиR, а нужно будет делать поправку на кривизну.
355/113 неплохое приближение дает
Запомнить легко: пишем два раза первые три нечетных числа 113355, число из первых трёх цифр знаменатель, оставшиеся — числитель
Запомнить легко: пишем два раза первые три нечетных числа 113355, число из первых трёх цифр знаменатель, оставшиеся — числитель
По-моему, вполне ритмичное «три-четырнадцать-пятнадцать, девяносто два и шесть» запомнить проще и точнее.
И потом довольно нетрудно ещё добавить в конце «пятьдесят четыре» =)
это — 3 я — 1 знаю — 4 и — 1 помню — 5 прекрасно — 9 пи — 2 многие — 6 знаки — 5 мне — 3 лишни — 5 напрасны — 8 ;-)
Тоже по этому стишку сначала запоминал, потом добавил еще цифры, теперь помню просто как: три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть; пять, три; пять, восемь; девять, семь; девять, три (паузы больше там, где точки с запятыми — так ритмичнее). Иногда вспоминаю "два, три, восемь" в конце, но эти цифры в памяти хуже держатся почему то.
Особенно если срифмовать с "только бы запомнить это, без ошибки произнесть"
Проще поставить паролем на вайфай, чем запоминать стишки (:
Я так случайно в школе 40 знаков после запятой запомнил на всю жизнь… Вообще, сначала была линейка-калькулятор с 8-10 знаками, на которой часто приходилось пи использовать для тригонометрии. А спустя время, когда ее подзарядка от света настольной лампы закончилась расплавлением линейки, стал использовать телефон с очень удобным мощным калькулятором, где и были эти 40 знаков. Из него же и 15 знаков после запятой экспоненты «запомнилось».
Зачем? Специально накидал скрипт, грубо можно представить делением 9/3, чем больше числа, тем точнее, 355/113 не особо лучше соседних вариантов. Ценность такого метода, только историческая, читаем и умиляемся:
… ...1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что pi в точности равно 3.
Однако великими исследователями этого числа были древние греки, такие как Анаксагор, Гиппократ из Хиоса и Антифон из Афин. Ранее значение pi определялось, почти наверняка, с помощью экспериментальных измерений. Архимед был первым, кто понял, как теоретически оценить его значение. Использование описанного и вписанного многоугольников (больший описан около окружности, в которую вписан меньший) позволило определить, что pi больше 223/71 и меньше 22/7.
… ...1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что pi в точности равно 3.
Однако великими исследователями этого числа были древние греки, такие как Анаксагор, Гиппократ из Хиоса и Антифон из Афин. Ранее значение pi определялось, почти наверняка, с помощью экспериментальных измерений. Архимед был первым, кто понял, как теоретически оценить его значение. Использование описанного и вписанного многоугольников (больший описан около окружности, в которую вписан меньший) позволило определить, что pi больше 223/71 и меньше 22/7.
9/3 — неплохая оценка снизу. В качестве оценки сверху предлагаю 12/3.
Из интересного, предпоследний вариант дает на удивление высокую точность, следующее небольшое улучшение точности только у чисел больше на несколько порядков
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604
Вообще наилучшую точность обеспечивают подходящие дроби из непрерывных дробей. То есть, если есть иррациональное число, то его приближения подходящими дробями лучшие по точности. Это было известно ещё 2000 лет назад, и использовалась для приближения пи и различных квадратных корней.
Верно.
355/113 как раз получено отсечением хвоста у представления числа пи в виде непрерывной дроби и даёт наилучшее приближение для пи.
Наилучшее в смысле приближения к истинному значению пи, а не воспроизводства максимально длинной последовательности цифр в десятичной записи.
Дробью из четырехзначных или пятизначных чисел невозможно улучшить этот результат.
Следующая дробь, которая превосходит точность 355/113 — это 104348/33215.
355/113 как раз получено отсечением хвоста у представления числа пи в виде непрерывной дроби и даёт наилучшее приближение для пи.
Наилучшее в смысле приближения к истинному значению пи, а не воспроизводства максимально длинной последовательности цифр в десятичной записи.
Дробью из четырехзначных или пятизначных чисел невозможно улучшить этот результат.
Следующая дробь, которая превосходит точность 355/113 — это 104348/33215.
Уточнение.
В книге В.И. Арнольда Цепные дроби на странице 5 табличка.
Если уж брать дроби из 6-значных чисел, тогда вот эта лучшая: 833719/265381
В книге В.И. Арнольда Цепные дроби на странице 5 табличка.
Если уж брать дроби из 6-значных чисел, тогда вот эта лучшая: 833719/265381
Если быть точным — в Ветхом завете никакого божественного указания нет. В книге Царств рассказывается о круглом бассейне 10 локтей диаметром и 30 локтей окружностью — что можно легко обьяснить неточностью измерений или не совсем идеальной формой.
42/13.37
Более чем неплохое, написал перебор всех удачных цифр, но 22/7 и 355/113 вне досягаемости по удобству.
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604
…
3,4E-15%; 245850922/78256779
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604
…
3,4E-15%; 245850922/78256779
< 40 млрд км в диаметре, для которой мы хотим вычислить длину по формуле 2πR. Получается чуть больше 78 млрд км.
125.6 чуть больше 78-и. Или я что-то упустил?
125.6 чуть больше 78-и. Или я что-то упустил?
Если бы мы пожелали, например, вычислить длину земного экватора с точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне достаточно были бы взять всего 9 цифр после запятой в числе π. А взяв вдвое больше цифр (18), мы могли бы вычислить длину окружности имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0001 мм (в 100 раз меньше толщины волоса!).Я. И. Перельман, «Занимательная геометрия» (1925)
Чрезвычайно ярко показал абсолютную бесполезность даже первой сотни десятичных знаков числа π наш соотечественник, математик Граве. Он подсчитал, что если представить себе шар, радиус которого равен расстоянию от Земли до Сириуса, т. е. числу километров, равному 132 с десятью нулями: 132⋅1010, наполнить этот шар микробами, полагая в каждом кубическом миллиметре шара по одному биллиону 1010 микробов, затем всех этих микробов расположить на прямой линии так, чтобы расстояние между каждыми двумя соседними микробами снова равнялось расстоянию от Земли до Сириуса, то, принимая этот фантастический отрезок за диаметр окружности, можно было бы вычислить длину получившейся гигантской окружности с микроскопической точностью — до 1/1000000 мм, беря 100 знаков после запятой в числе π. Правильно замечает астроном Араго, что «в смысле точности мы ничего не выиграли бы, если бы между длиною окружности и диаметром существовало отношение, выражающееся числом вполне точно».
В реальных задачах навигации космического аппарата, думаю, точности особой не надо. Даже если мы подсчитаем, что для полета к Сатурну нужно, допустим, 27.4201445992345650513 кг топлива, то все равно никто не будет на таком принципе запускать ракету. Во-первых, все измерения физических величин имеют куда большую погрешность. 1% — это очень хорошая точность.
Во-вторых, гораздо лучше работает механизм отрицательной обратной связи, когда по мере приближения к цели мы немного корректируем параметры. Не удивлюсь, если для полета к Луне окажется достаточно 8 битной арифметики.
Единственная вещь, где нужна высокая точность — это предсказание движения астероидов на опасность встречи с Землей. Но и там, думаю, все упирается в огромные погрешности физических измерений.
Во-вторых, гораздо лучше работает механизм отрицательной обратной связи, когда по мере приближения к цели мы немного корректируем параметры. Не удивлюсь, если для полета к Луне окажется достаточно 8 битной арифметики.
Единственная вещь, где нужна высокая точность — это предсказание движения астероидов на опасность встречи с Землей. Но и там, думаю, все упирается в огромные погрешности физических измерений.
Стыковка например требует точности. Или GPS.
Мне кажется, стыковка — классический пример коррекции по обратной связи. Никто не прицеливается с Земли в несущуюся с огромной скоростью МКС.
Как-раз «прицеливаются», траектория запрограммирована заранее, а небольшая погрешность, в доли процента от полученной скорости, корректируется маневровыми двигателями.
Угу, как же, небольшая. Почитайте про советскую систему Игла. Наведение и сближение для стыковки начинается на дистанциях 20-30 километров.
"Пи=3
-Фу, как грубо!"
-Фу, как грубо!"
В каждой шутке, есть доля не шутки :)
… ...1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что pi в точности равно 3.
… ...1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что pi в точности равно 3.
Еще археологи где-то находили древние инструменты использующие пропорцию 22/7.
Хорошая пропорция, действительно, следующее уточнение только числом больше на порядок. Как и 355/113 очень хорошее представление числа pi. Точность в 0.04% для древних строителей могла быть недостижимой и 22/7 были просто аксиомой.
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604 (далее мелкие улучшения, ничего интересного)
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604 (далее мелкие улучшения, ничего интересного)
Самое главное, что пи в формулах и не нужно очень точное, потому что все остальные члены формул неточны. Коэффициенты для расстояний имеют точность всего 4-5 знаков. Редко больше. Время мы умеем измерять точнее, но тоже не больше 10 знаков (например, лунный месяц — 29.53058868 суток). Так что даже 15-16 знаков пи — перебор, хотя раз столько влазит в обычный double, столько и используется.
Ну и примечание. Точка в датах используется обычно в странах, где день идёт раньше месяца. 14.3 — ВТФ? Где пи? Лучше уж третьего января — 3.1. А знак дроби как раз используется в США, где месяц идёт раньше. 7/22 — ВТФ опять же! Четвёртого декабря, 12/4, получается точнее :)
Ну и примечание. Точка в датах используется обычно в странах, где день идёт раньше месяца. 14.3 — ВТФ? Где пи? Лучше уж третьего января — 3.1. А знак дроби как раз используется в США, где месяц идёт раньше. 7/22 — ВТФ опять же! Четвёртого декабря, 12/4, получается точнее :)
Интересно — используется ли фиксированная точка или плавающая?
так то без разницы, пи ограничивается в любом случае только разрядной сеткой.
ну или в некоторых случаях и того хуже, в зависимости от назначенной цены мл. разряда один и тот же угол в бинарном виде для фз что в радианах что в градусах одинаков.
ну или в некоторых случаях и того хуже, в зависимости от назначенной цены мл. разряда один и тот же угол в бинарном виде для фз что в радианах что в градусах одинаков.
"физически реалистичных вычислений". Очень расплывчатое понятие.
Пример, когда необходима высокая точность числа пи:
исследование стабильности и сходимости численного алгоритма по отношению к известному аналитическому решению. Часто, аналитическое решение вычисляется в quadrupule точности (четверной?). Или даже выше при помощи спец. библиотек.
Для вычисления некоторых спец. функций (например специальных сфероидных волновых) используются схемы, где даже для точности десять знаков после запятой приходится использовать нереальную точность остальных шагов. Или сидеть несколько месяцев в поисках асимпотических выражений и стабильных схем.
Пример, когда необходима высокая точность числа пи:
исследование стабильности и сходимости численного алгоритма по отношению к известному аналитическому решению. Часто, аналитическое решение вычисляется в quadrupule точности (четверной?). Или даже выше при помощи спец. библиотек.
Для вычисления некоторых спец. функций (например специальных сфероидных волновых) используются схемы, где даже для точности десять знаков после запятой приходится использовать нереальную точность остальных шагов. Или сидеть несколько месяцев в поисках асимпотических выражений и стабильных схем.
Ещё стоит добавить численные расчёты сингулярностей. Необходимая точность в окрестности особых точек в том же численном интегрировании резко растёт, особенно если есть колебания. И если эта особая точка к примеру пи/2, то необходимость в дополнительных 5-10 знаках пи возникает сразу, чтобы ответ был с необходимой точностью.
А у меня вопрос:
Речь об аккаунте Хабра или же копипаста? :)
На этой неделе мы получили от одного из подписчиков Facebook вопрос
Мы направили этот вопрос
Речь об аккаунте Хабра или же копипаста? :)
Вспомнил байку, как, кажется на физтехе, объясняли, что пи это примерно 3, а не 3,141592654..:
Рассчитайте длину проволки образующей кольцо диаметром 0.75 см.
Готово?
Сколько? 23.562 мм?
Держи проволку, отрежь мне столько.
Рассчитайте длину проволки образующей кольцо диаметром 0.75 см.
Готово?
Сколько? 23.562 мм?
Держи проволку, отрежь мне столько.
Маленькое замечание, день числа пи начали отмечать только в прошлом году 3/14/15 (по принятой там традиции месяц/день/год). Но так как пи равно 3,14159… то округление до этого года (3/14/16) правильное.
А до прошлого года никто и не вспоминал, потому что 3,14 и правда очень грубо.
А до прошлого года никто и не вспоминал, потому что 3,14 и правда очень грубо.
«Кто и шУтя и сразу пожелает Пи узнать число, уж знает»
Хорошо ответил, приятно. Интересно что бы наши ответили.
Вероятно наши ответили бы примерно так:
" — Буду краток. Вы знаете, буквально на днях я был в Российской Академии
Наук, провёл беседу со многими учёными, в том числе молодыми, кстати,
очень грамотные ребята. Так вот мы обсудили, в частности и данный
вопрос, поговорили о текущей экономической обстановке в стране; они
также рассказали о своих планах на будущее. Конечно, в первую очередь
их волновала проблема востребованности; не менее остро встал и вопрос по
ипотечным кредитам, но могу заверить, все эти проблемы решаемы и мы
направим все усилия, чтобы решены они были в самом ближайшем будущем. В
том числе это касается и количества знаков в числе Пи, затронутого в вашем вопросе."
А я бы ещё поинтересовался про g (которое 9,81)
Да-да, почти "пи-квадрат". Занимательная нумерология.
Ну есть еще планетарная нумерология:
Но до сих пор ломаются копья по поводу ряда закономерностей, которым подчиняется небесные тела. Так еще с 1776 года остается неясным эмпирическое правило Тициуса-Боде или закон планетных расстояний.
rn=0,4+0,3*2^n
где rn — среднее расстояние от Солнца до планеты;
n — число, принимающее значения — (0; 2; 3; 4; 5;… Для Земли n = 1)
Более того, не все даже признают реальность этой последовательности чисел, выражающих расстояния от планет до Солнца, считая ее надуманной. И основания для этого есть, так как это правило довольно грубое и при достаточно точных значениях больших полуосей орбит не соблюдается.
Но интригует то, что отнесенные к некоторой величине эти полуоси дают практически целочисленный ряд. Это свидетельствует о дискретности структуры Солнечной системы. Иначе говоря, Солнечная система квантована.
Но до сих пор ломаются копья по поводу ряда закономерностей, которым подчиняется небесные тела. Так еще с 1776 года остается неясным эмпирическое правило Тициуса-Боде или закон планетных расстояний.
rn=0,4+0,3*2^n
где rn — среднее расстояние от Солнца до планеты;
n — число, принимающее значения — (0; 2; 3; 4; 5;… Для Земли n = 1)
Более того, не все даже признают реальность этой последовательности чисел, выражающих расстояния от планет до Солнца, считая ее надуманной. И основания для этого есть, так как это правило довольно грубое и при достаточно точных значениях больших полуосей орбит не соблюдается.
Но интригует то, что отнесенные к некоторой величине эти полуоси дают практически целочисленный ряд. Это свидетельствует о дискретности структуры Солнечной системы. Иначе говоря, Солнечная система квантована.
Помогите разобраться.
ПО информации из Википедии:
«Сопутствующее расстояние до самого удалённого наблюдаемого объекта — поверхности последнего рассеяния реликтового излучения — составляет около 14 миллиардов парсек или 14 000 Мпк (46 миллиардов или 4,6 × 1010 световых лет) во всех направлениях...»
И далее в том же абзаце:
"… Известно, что полная Вселенная простирается далее границ наблюдаемой Вселенной. Радиус наблюдаемой Вселенной 13,7 млрд световых лет".
Что взаимоисключает друг друга.
Так в чем же правда?
ПО информации из Википедии:
«Сопутствующее расстояние до самого удалённого наблюдаемого объекта — поверхности последнего рассеяния реликтового излучения — составляет около 14 миллиардов парсек или 14 000 Мпк (46 миллиардов или 4,6 × 1010 световых лет) во всех направлениях...»
И далее в том же абзаце:
"… Известно, что полная Вселенная простирается далее границ наблюдаемой Вселенной. Радиус наблюдаемой Вселенной 13,7 млрд световых лет".
Что взаимоисключает друг друга.
Так в чем же правда?
Лучше Сергея Попова никто не объяснит.
Пока свет шел до нас 14 миллиардов лет, Вселенная успела расшириться.
А сколько знаков после запятой использует РосКосмос?
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Сколько десятичных знаков числа пи использует НАСА