Комментарии 15
Мне очень понравилась статья. Во многих местах резонирует с моими личными размышлениями.
Колмогоров дал аксиоматику теории вероятностей (абстрактная теория, нормированная мера). И дал неформальную «схему Колмогорова», при каких условиях можно применять теорию вероятностей на практике. Там два условия. Первое: при большом числе испытаний (бросков монеты) частота обычно стремится к вероятности. Вероятность ведь можно оценить до опытов, из соображений симметрии. Если монета правильная, симметричная, вероятность одна вторая. А второе условие такое: событиями малой вероятности можно пренебрегать, считать невозможными. И вот первое условие (частота обычно стремится к вероятности) во многих случаях можно обосновать, на эту тему есть наука «эргодическая теория». А второе условие не обосновывается никак. На эту тему есть популярная книжечка Бореля «Вероятность и достоверность», всем рекомендую.
Насколько я знаю, Колмогоров сам не то чтобы остался удовлетворен своей теорией. Да, это был большой шаг вперед, но осталось много трудностей. Например: по начальному участку последовательности, хоть какой длинны, невозможно однозначно сказать, сходится эта последовательность, или — нет.
Благодаря Вашему комментарию я понял, что не уделил в своей статье должного внимания проблеме редких событий. Попытаюсь наверстать упущенное.
Скажите, Вы готовы пренебречь событием, вероятность которого меньше, чем 1 на 10 в тридцатой степени, и считать, что оно невозможно? Предположим, что да.
Возьмем симметричную монетку. Любая конкретная последовательность из 100 орлов и решек имеет вероятность случится меньше заявленной выше, поэтому если бы предположение было допустимым, монетка не смогла бы падать иначе как на ребро. Однако последнее утверждение не то чтобы хорошо согласуется с опытом.
Скажите, Вы готовы пренебречь событием, вероятность которого меньше, чем 1 на 10 в тридцатой степени, и считать, что оно невозможно? Предположим, что да.
Возьмем симметричную монетку. Любая конкретная последовательность из 100 орлов и решек имеет вероятность случится меньше заявленной выше, поэтому если бы предположение было допустимым, монетка не смогла бы падать иначе как на ребро. Однако последнее утверждение не то чтобы хорошо согласуется с опытом.
Видимо, мы оцениваем мат.ожидание прибыли или потерь (вероятность, умноженную на прибыль или убыток). Если риск большой, учитываем даже малую вероятность. Но, повторю, это никак не обосновано, это просто наблюдение, как мы поступаем на самом деле (а почему, неизвестно).
Тут лучше спрашивать не "возможно такое событие или нет", а "вероятность этого события больше другого, влияющего сильнее, или меньше". Например, при генерации случайного идентификатора есть вероятность коллизии и тогда может произойти потеря данных. Регулируя число бит в идентификатора можно регулировать эту вероятность и сделать её сколь угодно малой. С другой стороны, если множество других причин потери данных, вероятность которых нам не подвластна. Так вот, если вероятность коллизии существенно меньше вероятности порчи данных по какой-либо иной причине, то вероятностью коллизии можно просто пренебречь.
очень крутая статья. Автор провел даже очень глубокий анализ
Спасибо за лестный отзыв. Надеюсь я дал Вам повод и для улыбки тоже
Мы живем в эпоху когнитивной революции, когда ментальные феномены исследуются прямо в мозге, включая, связанные с основами математических способностей, и самой математики.
Зарезервируем два слова: «является_прямой» и «является_точкой» — для одноместных формальных отношений и еще два слова: «принадлежит» и «совпадает_с» — для двуместных отношений нашей теории....«Точка» и «прямая» уже отсылают к опыту. Поэтому ваши утверждения исходно содержательны. Эти абстракции идеализации реальных геометрических прототипов. Что самое интересное, если вы определите точку и прямую даже в некотором искусственно сконструированном пространстве, отсылка все равно будет идти к привычным нам точкам и прямым. Так устроила мозг эволюция, это показали когнитивные исследования с нейровизуализацией и моделированием с помощью ИНС. Правда, полностью это проделано для чисел, но ситуация для геометрических примитивов та же, даже проще. Чтобы не писать много дам ссылку на комент в др. теме, с подробным объяснением и ссылками на исследования.
Причину такой странной ситуации вряд ли стоит искать в дефектах абстрактной теории вероятностей: есть все основания полагать, что эта математическая дисциплина как раз-таки непротиворечива. Другое дело, что любая теория, построенная на философии однозначных «Да» и «Нет», абсолютной «Истины» и «Объективной реальности», вряд ли сможет соответствовать нашему интуитивному пониманию, что такое «вероятность» и как ее измерять. Нет даже полной уверенности, что это понятие реально, а не является упрощением какой-то еще не открытой концепции (Как было когда-то с «Небесной сферой» или «Эфирным ветром»).Точно также, как числа происходят из чувства численности, вероятность, скорее всего, из чувства случайности (вероятности). Но в отличии от происхождения чисел, счета, и арифметики, для вероятности исследования только начинаются, это более сложная тема. Как пример, сравнительное исследование на аборигенах, без образования. Здесь популярно с переводом. Исследования на детях (1, 2, 3), и на животных пока противоречивы, но у приматов уже обнаружены области реагирующие на статистический выбор. Также, как с обнаружением нейронов числа, проще будет исследовать на приматах, а не на людях. У нас с ними очень похожее устройство мозга. Далее будет возможным моделирование на нейросетях глубокого обучения, со структурой подобной той, что отвечает за интуитивную статистику в мозге. Все остальные определения вероятности будут обобщениями этой базовой в новых контекстах, выходящих за рамки биологического, связанного с выживанием видов. Можно еще на wiki глянуть, там тоже ссылки на источники имеются.
Спасибо, что поделились Вашими мыслями. То что статистика «работает» — это «понятно». Я уверен, что даже какие-нибудь атлантические селедки уже используют вероятностные оценки, увертываясь от хищников.
Про отсылки к опыту: для не математика, наверное, — да. Однако параграфом ниже я привел модель плоскости из трех цветных шариков. Вряд ли кто-то в своем личном опыте обращался с шариками как с прямыми и точками.
Про отсылки к опыту: для не математика, наверное, — да. Однако параграфом ниже я привел модель плоскости из трех цветных шариков. Вряд ли кто-то в своем личном опыте обращался с шариками как с прямыми и точками.
Про отсылки к опыту: для не математика, наверное, — да. Однако параграфом ниже я привел модель плоскости из трех цветных шариков. Вряд ли кто-то в своем личном опыте обращался с шариками как с прямыми и точками.Не… математики ничем не отличаются от других людей в плане физиологии) странности с мышлением да) но это больше миф, кот. поддерживают сами математики. Как только вы сказали «точка» или «прямая», в мозге идет отсылка к их геометрическому смыслу, соответствующей семантике, не зависимо от контекста употребления. Это как код действует. С числами, приводил ссылки на исследования, прямые нейровизуализационные доказательства, плюс клинические случаи нарушений — акалькулии. Ситуация с геометрическими примитивами ничем не отличается, так же, как и любых других абстракций. Если вы в любом контексте употребите слово «собака», то всегда будет идти отсылка к мохнатому, виляющему хвостом, с мокрым носом созданию) Часто нужно прикладывать сознательные усилия, чтобы в новом контексте, это базовое знание не мешало новому пониманию. Вот таким специфическим усилием воли, люди с математическим складом ума, видимо и отличаются от других людей. Но связь по прежнему остается. Это законы естественного языка и семантических связей, которые передаются в культурном слое. На полное изменение смысла может уходить столетия, пока не вымрут все носители, и не сгниют связанные с ним артефакты. К базовым математическим понятиям это не относится. Расширяется только их толкование, благодаря обобщениям, в новых возникающих контекстах. Другое дело формальные переменные X, Y, Z, и тд. Да, пока не припишем им конкретный смысл, они просто буквы. Но стоит сказать, что X это точки, как, в мозге активируется соответствующие структуры связанные с семантикой точки.
Математика наука точная. Поэтому для формальных систем она привела математическое док-во связи с практикой в виде теорем Геделя о неполноте. В арифметике, как формальной системе, есть недоказуемые утверждения. Откуда же они взялись в реальных теориях, в той же арифметике? Из практики, и ее обобщения.
А, вообще, математика конечно восхищает своими возможностями и красотой!
Спасибо, что поделились Вашими мыслями.Это не мои мысли, это данные когнитивной психологии. Эта такая современная наука, которая использует экспериментальный метод, и математическое моделирование на базе ИНС. В этом плане она не отличается от той же физики. Не путайте с классической психологией, с ее странными методами, типа психоанализа.
Насколько понимаю, модель всегда останется моделью, а реальность останется реальностью. Карта местности не может полностью совпадать с местностью, а лишь обозначать какие-то важные для человека места.
К тому же человек получает намного больше сигналов из внешнего мира, чем могут позволить принять простые модели.
К тому же человек получает намного больше сигналов из внешнего мира, чем могут позволить принять простые модели.
Я тоже об этом думал, но кажется есть выход. Если присоединить к рассуждениям допустимые ошибки измерения, то в отношении высказываний о том, что Вы назвали реальностью, вполне себе получается использовать обычную логику.
Обратите внимание, что у математиков и у физиков слово «модель» имеет чуть ли не противоположные значения. В своей статье под материальными моделями я подразумеваю всегда некоторые явления реального мира, а в физике — наоборот «моделями» именуются абстрактные теории, которыми они «интерпретируют» действительность.
Обратите внимание, что у математиков и у физиков слово «модель» имеет чуть ли не противоположные значения. В своей статье под материальными моделями я подразумеваю всегда некоторые явления реального мира, а в физике — наоборот «моделями» именуются абстрактные теории, которыми они «интерпретируют» действительность.
В теории математической физики при одинаковых начальных условиях результат выпадения монетки детерминирован и значит всегда одинаков. Это можно увидеть и на практике, если взять монетку потяжелее и побольше — скажем весом в килограмм и диаметром в полметра. Следовательно, разброс значений в результатах экспериментов по бросанию монетки связан либо с разными начальными условиями, либо с влиянием возмущения окружающей типа колебаний воздуха, а сама монетка тут выполняет скорее роль индикатора, чем является объектом эксперимента.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Эмпирическая вероятность