Приветствую Вас! Сегодня мы поговорим об интересной кривой, у которой есть своё название — суперэллипс.
Оглянитесь вокруг. Какие фигуры вы видите? Скорее всего, большинство фигур имеет либо прямые (острые, тупые) углы либо эллипсоидные (не всегда идеально круглые) границы. Однако, существуют и гибриды. Суперэллипсы — это семейство кривых, которые лежат где‑то между эллипсами и прямоугольниками.
Для начала вспомним, что из себя представляет обычный эллипс — кривую второго порядка:
Коэффициенты a и b определяют «приплюснутость» эллипса по горизонтали и вертикали соответственно:
Но что, если вторые степени заменить чем‑то другим? Если возвести в куб, в четвертую степень и т.д?
В 1959 году в шведском Стокгольме был объявлен конкурс на проектирование кольцевой развязки одной из городских площадей. Этот район находился там, где две широкие магистрали пересекались в центре города, поэтому требовалось не перекрыть транспортные потоки, да еще и обеспечить пешеходную зону уровнем ниже:
Архитектор Пит Хейн искал наиболее эстетичную, но и эффективную форму, о чем писал:
Человек — это животное, которое рисует линии, о которые он сам потом спотыкается. Всегда цивилизации наблюдались две тенденции: одна — к прямым линиям и прямоугольным узорам, а другая — к круговым линиям. Для обеих тенденций есть причины, механические и психологические. Вещи, сделанные с помощью прямых линий, хорошо сочетаются друг с другом и экономят место. И мы можем легко перемещаться — физически или мысленно — по предметам, сделанным с круглыми линиями.
Но мы в смирительной рубашке, вынуждены принимать то одно, то другое, когда часто какая‑то промежуточная форма была бы лучше. Рисовать что‑то от руки — например, многоуровневое дорожное кольцо, которое они пробовали в Стокгольме, — не годится. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а что‑то среднее. Тем не менее, она фиксирована, она определенна — в ней есть единство.
Уравнение суперэллипса в общем виде записывается следующим образом:
В зависимости от соотношения параметра n можно получить целую россыпь фигур.
Когда n приближается к нулю, кривая вырождается в две прямые пересекающиеся линии вдоль осей.
При 0<n<1 получаете ромб с вогнутыми сторонами.
Когда n = 1, вы получаете ромб с вершинами на осях координат.
При 1<n<2 получаете ромб с выпуклыми сторонами.
Когда n = 2, вы получаете эллипс (или, если a и b равны - окружности).
Если значение n > 2, у вас получается суперэллипс. (при проектировании площади, о которой я говорил выше, использовался параметр 2,5).
По мере приближения n к бесконечности получаем прямоугольник.
Стоит отметить, что, хотя суперэллипсы могут выглядеть так, как будто у них прямые стороны, соединенные кривыми, на самом деле они изогнуты по всему периметру. Даже там, где сегмент выглядит прямым, он на самом деле слегка изогнут, а кривизна изменяется повсюду непрерывно.
Если вы повернете суперэллипс вокруг главной оси, получится суперяйцо, которое устойчиво относительно своих биологических аналогов:
Форму суперэллипса имеют архитектурные объекты, предметы интерьера, логотипы брендов и команд:
Однако подавляющее число людей впервые увидело суперэллипс...когда взяли в руки Iphone! Дело в том, что начиная c шестой версии iOs, дизайнеры перестали использовать прямоугольники с закруглением, а перешли к суперэллипсам:
По ощущениям здесь используется суперэллипс с коэффициентом n = 5..7. Если и этого недостаточно, то знайте, что супСуперэллипс — фигура, которую многие видят каждый день, но не догадываются об этомерэллипс фигурировал в статье «Геометрическое моделирование и гидродинамический анализ плавающих сперматозоидов», жаль только, что этой публикации нет в открытом доступе.
Больше математики в Telegram - "Математика не для всех"
