Комментарии 199
Выберите ответ на этот вопрос случайно. Какова вероятность того, что вы выберете правильный ответ?
Так выбрать случайно или ответить на вопрос? Давай тогда 2 голосования. В одном я тыкну случайно, в другом скажу, что в первом вопросе я могу оказаться прав с 25% вероятностью.
Это один и тот же вопрос — в этом и вся соль :)
Как он может быть одним и тем же. 2 разные фразы, 2 разных задания.
Заданный критерий правильности - случайность, соответственно любое подлинно рандомное тыканье будет правильным "ответом", вне зависимости от легенды этого варианта.
Все ответы не могут быть правильными, они же друг другу противоречат. Не может же одновременно число быть равно 0% и 25%?
Так-то и ответы не должны противоречить вопросу (какого цвета яблоко? а) большое б) круглое в) гнилое), но противоречат же.
Попробуйте ответить на вопрос "есть ли правильный ответ среди предложенных?" Это же четко сформулированный вопрос с возможными ответами да или нет, правильно?
А вот это уже совсем другой вопрос ;-) Теперь вернемся к изначальному вопросу, вернее заданию и вопросу. Задание: выберите случайный вариант ответа. Вопрос: выберите правильный вариант ответа. При этом возможны 2 условно-верных варианта ответа: 1 – 100% (выберите случайный вариант ответа), 2 – неизвестно (выберите правильный вариант ответа при отсутствии собственно вопроса). ИЧСХ, обоих этих вариантов нет среди возможных.
Вы, вероятно, имели в виду, что правильный вариант ответа – 50%, потому что правильным ответом (на неизвестный вопрос) может быть только один вариант, а в ответах 2 одинаковых варианта, но это никак не следует из вопроса, поскольку он не сформулирован, следовательно, правильный ответ неизвестен (как неизвестно и сколько вариантов ответа могут быть правильными). Кроме того, не из чего не следует, что ответ 25% – это правильный вариант ответа (это лишь одинаковый вариант).
А это зависит от критерия правильности. От смысла слова "правильный".
В же сами сказали, что правильный - в рамках вашей задачи - означает "выбранный случайно". С "величиной" ответа это никак не связано, поэтому и противоречия нет.
Не та процедура, не та модель :-)
В задании не говорится, что я должен выбрать именно правильный ответ. Ответ я выбрал. Случайно. Задание выполнено. Вероятность 100.
Но вопрос — с какой вероятностью выбранный ответ правильный. Если 100% то получается все ответы правильные? Но они друг другу противоречат(
Что такое - "правильный" ответ?
В этой задаче "правильный" ответ — это такой, который совпадает с реальной вероятностью того, что вы его случайно выберете. То есть, вы выбираете один из четырёх вариантов наугад, и если вероятность выпадения этого варианта совпадает с тем значением, которое он сам утверждает — значит, это "правильный" ответ
вы выбираете один из четырёх вариантов наугад, и если вероятность выпадения этого варианта совпадает с тем значением, которое он сам утверждает — значит, это "правильный" ответ
Доп.вопрос. Вероятность выбора 25% - 1/4 или 1/2?
Вероятность 25% — одна вторая, поскольку если случайно выбирать ответ, мы будем попадать на него в половине случаев
Спасибо, тогда ни один из четырех ответов не является правильным. Но только это никакой не парадокс в теории вероятностей, как и в ситуации с предыдущими примерами.
Хорошо, но если ни один из ответов не является правильным, то какая вероятность попасть в правильный ответ, выбрав его случайно?
Нулевая, но это "другой" ноль. Не тот, что в условии задачи.
Если вероятность ноль, то на вопрос правильный ответ на вопрос "Какова вероятность того, что вы выберете правильный ответ?" определенно в)
В этом и есть парадокс — утверждение "среди вариантов ответа есть правильный" по сути означает свое отрицание (как утверждение "это утверждение ложно") и любое предположение о его истинности приводит к противоречию
Только это не парадокс в теории вероятностей. И даже не в мат.логике. Он просто словесный и ненаучный. Как тот вопрос: а может ли всемогущий бог создать такой тяжелый камень, что сам поднять не сможет? Или бога нет, или вопрошающего, которого бог испепелит во гневе :)
Вы, по сути, правы — это не парадокс в теории вероятностей в строгом смысле. Это, конечно, шутка в конце статьи, а не формальный объект исследования. И да, по духу он действительно ближе к «камню, который Бог не может поднять»
Но именно так и работают парадоксы самореференции: они не ложны и не истинны, а подсвечивают ограничения языка, которым мы пользуемся. Это скорее повод задуматься о границах формального мышления.
Все тоже самое можно сказать про парадокс лжеца. С точки зрения математики он важен, потому что подчеркивает, что не любому утверждению можно присвоить значение истинности, хотя обычно математики это нежно подразумевают (например используя рассуждения от противного).
Вдогонку:
В этом и есть парадокс — утверждение "среди вариантов ответа есть правильный"
Это откуда такое утверждение взялось?
в этой задаче не может быть правильного ответа т.к. сам факт нашего выбора изменяет правильный ответ делая выбранный нами неправильным
Вариант 0% (в) приводит к парадоксу: если он верен, то вероятность его выбора — 25%, что делает его неверным.
Таким образом, возникает логическая петля, где ни один ответ не является непротиворечивым. Однако вариант 0% косвенно указывает на невозможность корректного выбора, что делает его условно правильным в рамках парадокса.
У вас в опросе альтернативно сформулированный парадоксе лжеца:
Я лгу?
(a) Да
(b) Нет
У мистера Джонса двое детей, старшая — девочка. Какова вероятность, что оба ребенка — девочки?
У мистера Смита двое детей. Известно, что хотя бы один из них — мальчик. Какова вероятность, что оба — мальчики?
Оба вопроса одинаковые. То, что девочка старшая, вообще никак не влияет, и эта информация должна быть отброшена. Обе задачи полностью эквивалентны.
Решение второй задачи некорректно.
В постановке вопроса ничего не говорится о порядке, следовательно, пары мальчик/девочка, девочка/мальчик должны приниматься как эквивалентные.
По сути, у нас три возможных пары, а не 4, как он утверждает:
- мальчик/мальчик,
- мальчик/девочка - девочка/мальчик,
- девочка/девочка.
И правильный ответ 1/2, т. к. мы не должны рассматривать мальчик/девочка и девочка/мальчик как разные сущности. Поэтому я не согласен с Мартином Гарднером и ответом 1/3, не вижу тут никакой красоты. Вижу только неправильное решение.
черт.... , вспомнил про парадокс Монти Холла и признаю, что я неправ, вероятность действительно 1/3
Задача становится понятнее если её переформулировать:
Один раз выпала решка (неизвестно при каком броске, может первый, а может второй). Результат другого броска я не знаю. Какая вероятность что у меня выпало две решки?
РР
РО
ОР
Результат 1/3
Да, это похоже на Монти Холла, или на парадокс трех узников
Да нет, все верно с 1/2. В задачах в посте заведомо известно что один из детей - мальчик.
Да, но и в комментарии заведомо известно, что выпала решка. Аналогия прямая — в нашем воображаемом городе пол ребенка определяется броском монетки, если выпал орел рождается девочка, решка — мальчик.
После выпавшей одной решки вероятность - 1/2. Пространство вариантов заведомо не включает в себя двух орлов
Да, но остается три варианта — две решки, орел+решка и решка+орел. Мы же не знаем что решка выпала первой! Если бы знали попали в условие задачи, где известно, что старшая — девочка, там действительно 1/2
Мы по условию заведомо знаем что она выпала. Первой или второй - в данном случае как раз неважно, мы каким-то образом уже узнали что решка там есть, можно ее считать первой, раз эта часть результата известна
Переосознал задачу. Вопрос "можем ли бы изолировать наблюдение про одну решку от результата". Если можем - тогда 1/3.
Но с детьми она все еще не накладывается. Мы произвольно ввели дополнительную категорию для упорядочивания, условие задачи не должно меняться. Тогда бы в обеих задачах должно быть 1/3, потому что категория никак не связана с полом
Разница в задачах не в поле, а в том, что в первой задаче известно, что дочь — старшая. Тогда для младшего ребенка реально только два варианта
В любом случае для второго ребёнка возможно два равновероятных варианта. Всё остальное это про перемудрили
Все так, но оказывается что они не равновероятны. Представьте (или сгенерируйте на компьютере) выборку из 1000 семей с двумя детьми, отсейте те, в которых нету мальчика, и посчитайте долю семей с двумя мальчиками. Ответ будет не одна вторая!
Ответ будет сильно зависеть от того как генерировать.
Если сначала генерировать имитацию первого ребенка, а потом к полученной выборке сгенерировать второго (не меняя первую), то результат будет один. И он будет сильно отличаться от того, который получится если генерировать одновременно пару значений (родилась двойня).
Там ниже в комментах с таблицами очень убедительно показывается что 1/3.
Но всё равно это хрень.
Пол ребёнка не зависит от пола других детей (очень редкий вариант с однояйцевыми близнецами не рассматриваем).
И как вы там не крутите условия наблюдения, соотношение 50/50 никуда не денется.
а если взять младшую сперва?
А какая разница кто старший? Если один мальчик, то второй может быть либо мальчик либо девочка. Откуда берётся третий вариант?
Да, но в такой постановке у этих вариантов разная вероятность, потому что разнополая пара детей может появиться в семье двумя способами (сначала родился мальчик, потом девочка, либо наоборот), а два мальчика только одним. Если учитывать порядок, то все эти три случая равновероятны
Что если ввести понятия старший/младший (или первый/второй). И может быть два равновероятных случая: в качестве сына упоминался старший либо младший ребёнок.
50%, что предъявили старшего. Тогда из 4 исходных комбинаций подходят 2: мальчик/мальчик, мальчик/девочка.
50%, что предъявили младшего. Тогда из 4 исходных комбинаций так же подходят 2: мальчик/мальчик, девочка/мальчик.
(50%*50%) + (50%*50%) = 50%.
Иначе говоря, если девочка/мальчик и мальчик/девочка считаются по какой-то причине разными случаями, то и мальчик/мальчик должны рассматриваться как два случая. Нам могли как бы упомянуть первого, а могли — второго (младшего).
Замоделировал численно
from random import choice, shuffle
GIRL, BOY = 0, 1
# исходы для обеих задач
# (дети в парах по убыванию старшинства)
def outcome1():
# для первой задачи:
# первый - девочка, второй - ?
return [GIRL, choice([GIRL, BOY])]
def outcome2():
# для второй задачи:
# один - мальчик, другой - ?, порядок случайный
tmp = [BOY, choice([GIRL, BOY])]
shuffle(tmp) # перемешиваем, следуя букве условия (но что это меняет?)
return tmp
# проверка исхода на "оба - девочки" и "оба - мальчики"
def both_girls(outcome):
return sum(outcome) == 0
def both_boys(outcome):
return sum(outcome) == 2
N = 1000000 # миллион случайных исходов
outcomes1 = [outcome1() for _ in range(N)]
girls_only = [1 for outcome in outcomes1 if both_girls(outcome)]
probability1 = len(girls_only) / N
outcomes2 = [outcome2() for _ in range(N)]
boys_only = [1 for outcome in outcomes2 if both_boys(outcome)]
probability2 = len(boys_only) / N
print(f"Задача №1: {probability1}")
print(f"Задача №2: {probability2}")
Вывод:
Задача №1: 0.499951
Задача №2: 0.50002
Ну, понятно, чуть туда, чуть сюда, закон больших чисел, ответ для обеих задач стремится к 0.5. Если действительно для второй задачи ответ должен быть 0.33333..., то, значит, с определением функции outcome2 я просчитался, но где? Вроде, всё сделал самым наитупейшим образом, строго "в лоб", следуя букве условия вопреки здравому смыслу.
Проблема в том, что outcome2() не выбирает случайную семью с двумя детьми, а принудительно вставляет одного мальчика, к которому добавляется случайный второй ребёнок.
В результате вы моделируете не «все семьи с хотя бы одним мальчиком», а только те, где к одному мальчику добавили его сиблинга случайного пола. Это как раз второй метод сбора статистики, о котором я говорю в тексте, и он дает ответ 1/2.
Сравните с https://habr.com/ru/articles/912270/comments/#comment_28346778
Правильно будет сперва сгенерировать популяцию случайных пар детей, потом выбрать из неё для первой задачи те пары, где старшая - девочка, для второй - где есть хотя бы один мальчик и, приняв размер выборки для каждой задачи за 1, уже оттуда выбрать подмножество, удовлетворяющее второму критерию? Я, честно говоря, всё ещё не вижу разницы...
Но компьютер видит
from random import choice
GIRL, BOY = 0, 1
def outcome0():
# случайная пара детей
return (choice([GIRL, BOY]), choice([GIRL, BOY]))
# проверка исхода на "оба - девочки" и "оба - мальчики"
def both_girls(outcome):
return sum(outcome) == 0
def both_boys(outcome):
return sum(outcome) == 2
N = 1000000 # миллион случайных исходов
population = [outcome0() for _ in range(N)]
outcomes1 = [outcome for outcome in population if outcome[0] == GIRL]
girls_only = [1 for outcome in outcomes1 if both_girls(outcome)]
probability1 = len(girls_only) / len(outcomes1)
outcomes2 = [outcome for outcome in population if BOY in outcome]
boys_only = [1 for outcome in outcomes2 if both_boys(outcome)]
probability2 = len(boys_only) / len(outcomes2)
print(f"Задача №1: {probability1}")
print(f"Задача №2: {probability2}")
Вывод:
Задача №1: 0.5007268254500726
Задача №2: 0.3322241975783202
Однако. Несколько лет назад я так же замоделировал "парадокс Монти-Холла", там было всё прямее и проще, понимание приходит ещё до запуска программы, где-то на этапе формализации исходов. Тут как-то более хитровыделанно...
В общем, понятно: дело в том, что в данном случае, по-сути, производятся две последовательных выборки, и первая перекашивает результат второй. В исходной популяции у нас поровну случаев "М, М", "Д, Д", "М, Д", "Д, М".
В первую выборку для первой задачи идут "Д, Д" и "Д, М", из них выбираются случаи "Д, Д", их половина.
В первую выборку для второй задачи идут "М, М", "М, Д" и "Д, М", из них выбираются случаи "М, М", их треть.
Какая-то мутнота присутствует в формулировке задачи, раз приходится делать предположения, выходящие за рамки этой формулировки. Пояснения выше, что "становится понятнее, если бросать монеты" меня что-то, наоборот, запутали.
Можно конечно пары мальчик/девочка и девочка/мальчик считать эквивалентными, но только тогда варианты не будут равновероятными.
Я бы добавил добавил "парадокс двух конвертов". Этот парадокс принципиально отличается от тех, что в статье
Неконструктивная математика вообще антинаучна. Само по себе утверждение, что мы "МОЖЕМ выбрать элемент из множества", бесполезно, не имеет практической (статистической!) ценности. Важно предоставить алгоритм выбора элемента. Это позволяет избежать парадоксов.
В задаче про 4 мальчика и девочку, если сперва выбрать мальчика, то эта модель будет противоречить условию задачи, в котором выбирается сразу пара знакомых детей. Это совершенно разные алгоритмы.
Модели в задаче с конвертами некорректны. При фиксированном Х нет никаких оснований считать, что любой У равновероятно окажется с одной из сторон. Но опять же, условия задачи неконструктивны без процедуры выбора числа, а значит, неполны и некорректны. Также как и последняя задача, безосновательно утверждающая существование правильного ответа на неё.
Математики считают неконструвность чем-то полезным, а соответствующие парадоксы - интересным. Беда не в том, что они обманывают сами себя, но они обманывают окружающих!
Спасибо за подробный комментарий! В каком-то смысле, вы формулируете главную мысль всей статьи — что без модели считать нечего. А модели могут быть устроены по-разному, и если не договориться заранее, можно получить сразу несколько «правильных» ответов.
Иногда кажется, что вся теория вероятностей — это попытка сделать вид, что мы знаем, откуда берётся случайность. Мы придумываем правила выбора, только чтобы поверить, что за ними скрывается нечто объективное. Но возможно ли построить теорию вероятностей, не договорившись, что именно мы выбираем и как?
В каком моменте, по-вашему, модель перестаёт быть инструментом — и становится самообманом?
В большинстве приведённых примеров проблема не в том, что "неоднозначный выбор модели среди равнозначных приведёт к разным правильным результатам", а в том, что модели, приводящие к "парадоксальным" результатам, необоснованны и попросту некорректны.
В данной публикации акцент сделан на неоднозначность выбора моделей (хотя само это понятие не достаточно раскрыто). Но не говориться о первопричинах такого рода проблем, а они известны уже больше века.
Обман происходит тогда, когда гипотеза истинности утверждения подменяется убеждённостью. При этом незаметно вытягивается из рукава "очевидное" свидетельство истинности - в данных примерах, некорректные "модели". Самый фундаментальный пример такой гипотезы - это неконструктивная (антинаучная!) аксиома выбора, к которой фактически и сводятся все задачи из публикации.
Практическую ценность имеет лишь конструктивная математика, где доказательством истинности следствия ответа из начальный условий является (конструктивный!) алгоритм получения этого ответа. Т.е. когда говорят "какова вероятность выбора нужной хорды?", то уже предполагается существование конкретного способа выбора хорды. Но тогда с конструктивных позиций в условии должен присутствовать какой-то алгоритм выбора. Иначе и вопрос получается беспредметный.
Думаю, что причина подобных обманов кроется в упомянутых вами платонистских взглядах на математику, мол, "царица наук" имеет самостоятельную объективную ценность... Отсюда и берутся все эти восхищающие математиков "сферические задачи в вакууме", оторванные от реальности и потому полные парадоксов. В задачах реального мира просто не бывает подобных неоднозначностей приводящих множеству противоречивых "правильных" результатов - в реальном контексте всегда присутствуют уточнения, снимающие неоднозначности. В приведённых же задачах контекста определённо недостаточно.
Но аксиома выбора тут никак не участвует, если работать в теории множеств без нее, все утверждения в тексте останутся верны. Я же не говорил про парадокс Банаха-царского — специально, по тем же причинам, о которых вы пишите. У меня была очень практическая цель — объяснить что перед тем, как решать задачу, надо ее корректно сформулировать, а не использовать слово "случайность" как будто оно все объясняет
Аксиома выбора тут везде неявно присутствует, так как во всех задачах подразумевается существование алгоритма выбора случайного значения. Вот только слепое знание о таком "существовании" неконструктивно - оно просто бесполезно, если не предоставлен сам алгоритм.
Всё верно, правильно сформулированная задача - это уже 80% от её решения. Я же хочу обратить внимание на причину возникновения таких "парадоксов". Она заключается не в ложной "всёобъясняющей случайности", а в том, что заложенная в приведённых задачах аксиома выбора предполагает существование алгоритма выбора, но по факту не предоставляет его, обманывает!
И опять же, эти все задачи - чисто "математические", оторванные от реальности, придуманные математиками только ради демонстрации таких вот "забавных", но абсолютно бесполезных парадоксов.
Когда говорят про случайный выбор, имеют ввиду, что каждый вариант равновероятен. Число вариантов от алгоритма их перебора не зависит. Есть просто некорректные алгоритмы дающие по сути неравномерное распределение на интересующем нас множестве вариантов. Например, в случае с детьми, мы говорим либо о случайной выборке среди неупорядоченных пар полов (ММ, МД, ДД) и получаем 1/2 для ММ после отсечения ДД, либо упорядоченных (ММ,МД,ДМ,ДД) и получаем 1/3. Вообще, говорить про конструктивность в применении к недетерминированной операции - несколько странно.
"Недетерминированной операция" - это и есть признак неконструтивности. Это равносильно задаче "У меня есть функция - вычисли её". При этом сама функция не предоставляется. "Конструктивность" - это когда о существовании чего-то можно говорить, лишь когда предоставлено "свидетельство" этого существования. В данных примерах - та самая операция выбора. Т.е. ещё раз, проблема большинства этих задач - в неконструктивности условий.
Что же до второй задачи про мальчиков/девочек, то утверждение о равновероятности неупорядоченных пар некорректно - оно не соответствует реальности. Т.е. выбранная "модель", приводящая к ответу 1/2, ошибочна.
Теория вероятностей принципиально не конструктивна, что не делает её бесполезной.
Выбор множества равновероятных событий - не вопрос реальности, а вопрос нашего выбора. Собственно, используя разные алгоритмы выборки мы и обеспечиваем выбранную нами сложную "модель" из более простых.
Не стану утверждать про неконструктивность теории вероятности,. Математическая статистика лежит в основе научного метода вообще. Получаемые результаты перепроверяемы алгоритмически. Поэтому признаков неконструктивности не наблюдаю.
Если мы выбираем априорные вероятности (и модель в целом) в отрыве от реальности, значит результат, полученный в такой модели, также не будет иметь отношения к реальности.
Математика - исполнительная служанка, полезная лишь тогда, когда она решает задачи из реального мира, а не копается в выдуманных моделях.
Я не выбираю вероятности априорно, а привожу примеры, когда разные жизненные ситуации могут приводить к разным вероятностям. Если на это не обращать внимания и неаккуратно использовать слово "случайность", можно ошибиться — об этом и статья.
Если мы выбираем априорные вероятности (и модель в целом) в отрыве от реальности, значит результат, полученный в такой модели, также не будет иметь отношения к реальности.
Математика - исполнительная служанка, полезная лишь тогда, когда она решает задачи из реального мира, а не копается в выдуманных моделях.
Про это как раз последний раздел моего текста
Мне показалось, что nin-jin утверждает, при решении задачи мы вольны свободно выбирать модель. Поэтому я и написал, что имеют значение лишь модели, согласующиеся с условиями задачи и реальностью.
Да и по статье серьёзных претензий нет)) Спасибо, кстати, полезный материал, и многие считают также! Просто в комментариях решил дополнить про важность причин появления подобных парадоксов и "обманов".
Подобные т.н. парадоксы не более, чем софистика, подкреплённая вычислениями для придания важности. Использование логических уловок не имеет ничего общего с математикой. Такое вот имхо
А что тогда имеет отношение к математике? Где для вас проходит граница между «софистикой» и «настоящей» задачей?
Наличие или отсутствие субъективной интепретации
Да, ровно это я и хотел подчеркнуть: математика начинается после того, как выбрана модель. А вот сам выбор — вещь субъективная. Решение, что считать случайным, что — известным, и как устроено наблюдение, — не выводится из теории, а задаётся извне. И именно на этом этапе рождаются все неоднозначности, о которых идет речь.
На самом деле субъективность в математике — это очень интересный вопрос и тема для отельного поста. Хотя я, как и многие, придерживаюсь платонистских взглядов — то есть предполагаю, что математика представляет собой некую объективную часть воображаемой, недоступной нам напрямую реальности, которую мы можем исследовать и открывать. Математика на Земле такая же, как математика на Луне.
Но с другой стороны, я вижу что в том, как математика живёт и развивается, огромную роль играют представления о красоте, приложениях, моде, популяризации, способности связать одно с другим, объяснить, почему эта математика интересна.
Большую часть современной математики занимает не только доказательство утверждений, но и развитие ее языка. Мы вводим определения, уточняем понятия, создаём термины. И в итоге те утверждения, с которыми работает математика, невозможно сформулировать иначе, чем на языке, который придумали конкретные люди — наши современники.
Если из истории выкинуть какого-то одного математика, осыплется всё вокруг него — терминология, конструкции, связи. Теоремы, которые сегодня считаются центральными, окажутся в этой альтернативной вселенной просто недоступны — или, как минимум, не будут выглядеть красивыми, ясными, достойными внимания. Они не станут тем, чем они стали — кирпичиками для следующего шага.
Но это конечно отступление в сторону)
не помню точно експеримент с частицей, с какой вероятностью фотон на решетке волна а с какой частица или сразу оба состояния, можно ли частицы распутать, еще смотрел какой-то видос на ютубе там обсуждалось что-то про частицы двойники. можно ли по 1 частице найти её копию тут же, это вероятность или константы?
Для второй задачи Гарднер рассуждал так: всего возможных пар четыре — мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик и девочка/девочка. Мы знаем, что в семье есть мальчик, так что остается три варианта, из которых подходит только один. Значит, вероятность ⅓.
но здесь разве верно?
что я вижу.
если мы говорим, что "в семье есть мальчик, то остаётся три варианта"
очевидно, предполагается что мальчик/мальчик, мальчик/девочка и девочка/мальчик?
но раз порядок не определён, то мальчик/девочка и девочка/мальчик = это один и тот же вариант. Мальчик у нас уже есть, потому оба варианта отбрасываем, как не подходящие (они УЖЕ выпали)
и остаётся выбирать из двух: мальчик-мальчик либо девочка-девочка
но последний выпасть не может (по причине что мальчик уже выпал) и следовательно последний тоже отбрасываем и выходит что вероятность мальчика у нас 100%.
этот абсурд показывает, что выбирать вероятность, учитывая уже выпавший вариант, некорректно
соответственно нужно вернуться к классическому: каждый опыт выбирает одного (а не двух), следовательно в результате опыта у нас 1/2 и точка.
Кстати та же байда с первой девочкой.
или с другого бока заходим
известно, что рождение ребёнка всегда имеет вероятность 1/2. Так можно говорить о ВСЯКОМ неизвестном ребёнке.
-- какой пол у случайного ребёнка?
-- или мальчик или девочка
-- Если в семье двое детей, один из них мальчик, то кто второй?
-- или мальчик или девочка!
вероятность 1/2. И НЕ ВАЖНО как мы узнали. Так же не важно, если нам уточнят, что ребёнок родился первым, в понедельник, в четверг и так далее.
рассматривать множества ММ МД ДМ ДД против простого множества Д или М запрещает нам бритва Оккама.
Вот как это выглядит на практике:
Код на питоне
import random
Симулируем 100 экспериментов по броску двух монет
n_trials = 10000
pairs = []
for in range(ntrials):
first = random.choice(['H', 'T']) # H = heads (орел), T = tails (решка)
second = random.choice(['H', 'T'])
pairs.append((first, second))
Отбираем пары, в которых хотя бы одна монета — орёл
at_least_one_heads = [pair for pair in pairs if 'H' in pair]
Из них — сколько таких, в которых обе монеты — орёл
both_heads = [pair for pair in at_least_one_heads if pair == ('H', 'H')]
Результаты
total_with_heads = len(at_least_one_heads)
total_both_heads = len(both_heads)
percentage = (total_both_heads / total_with_heads) * 100
total_with_heads, total_both_heads, percentage
Результат
(7555, 2501, 33.10390469887492)Я провёл эксперимент: 10 000 раз бросил две монетки. В каждом случае записывал, что выпало — орёл или решка. Потом отобрал только те пары, где выпал хотя бы один орёл, и посмотрел, в каком проценте из них обе монеты оказались орлом.
🔢 Всего таких «отобранных» пар оказалось 7555
🟡 Из них в 2501 паре оба броска дали орла
📊 Это ≈ 33,1% — то есть примерно одна треть
Именно это и есть тот самый «парадокс двух детей» в действии: если модель устроена так, что мы случайно выбираем семью и знаем, что в ней есть мальчик, то вероятность, что второй ребёнок — тоже мальчик, действительно 1/3.
Суть не в том, что это «правильный» ответ, а в том, что это ответ конкретной модели. Если бы мы, например, выбирали случайного ребёнка, а потом узнавали про второго — результат был бы другим. Всё зависит от конструкции эксперимента.
так если программу написать по конкретному алгоритму, то конкретный результат и получится
давайте ещё раз: множество МД, ДМ, ММ, ДД режется бритвой Оккама в пользу Д и М
-- какой пол у случайного ребёнка?
-- или мальчик или девочка-- Если в семье двое детей, один из них мальчик, то кто второй?
-- или мальчик или девочка!
Программа буквально описывает, как в семьях в нашем воображаемом городе рождаются дети — каждый раз подбрасывается монетка и случайно определяется пол. Я моделировал город, и в нем 7555 семей с мальчиком, а среди них примерно треть — с двумя.
Но эксперимент можно проводить и по другому, и тогда получится другой ответ — об этом тоже написано в статье. Тут я совершенно согласен, просто в рассуждении Гарднера тоже есть смысл.
Более того, рассуждение Гарднера соответствует тому, чему учат на курсе теории вероятности, где обычно предполагается, что на конечных множествах распределения равновероятные. Но я пытался объяснить, что иногда разумно рассматривать и другие модели — например, когда мы выбираем случайное ребро в графе
Программа буквально описывает
ну неправильный посыл. давайте по другому зайдём (если Вам хочется именно от пар МД-ДМ заходить).
Итак, все варианты: МД, ДМ, ММ, ДД
если М - первый ребёнок, то вероятность второго М - 1/2
если М - второй ребёнок, то вероятность первого М - 1/2
Почему так? потому что фиксируясь строго на первом, вы отсекаете неприемлемый второй вариант. Но когда вы говорите "первый-второй = неизвестно", то Вы почему-то второй (негодный) вариант приатачиваете к первому, хотя он обязан быть удалён.
То есть, если М - неизвестный по счёту ребёнок, то возможен выбор строго МЕЖДУ двумя случаями (описанными выше). Что из этого следует?
что сбывается ИЛИ первый случай, ИЛИ второй, но никакая не смесь.
то бишь вероятность другого ребёнка с полом М - снова 1/2 и никакая не 1/3
Вы правы: если опрашивать мальчиков, какого пола их сиблинг, и так собирать статистику — ответ 1/2. Если опрашивать отцов, у которых есть сын, есть ли у них второй — 1/3. Два разных способа — два разных ответа. Мне как раз и хотелось такой пример привести
Если опрашивать отцов, у которых есть сын, есть ли у них второй — 1/3
вот этот посыл я не понимаю: мы не имеем права учитывать противный случай - иначе получается смешение несмешимых вероятностей
Допустим, мы хотим узнать, как люди будут голосовать на выборах. Мы не можем опросить всех, поэтому выбираем случайных прохожих и спрашиваем:
Вы пойдёте голосовать?
Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем:
За кого будете голосовать?
Из этого формируется выборка, по которой мы считаем долю голосов. Мы считаем, что это и есть вероятность того, что случайно пришедший на участок избиратель проголосует за того или иного кандидата. Мы не смотрим на всех подряд — только на тех, кто пойдёт голосовать. Это фильтр — и он влияет на то, как считать вероятности.
Теперь задача про двух детей. Представьте, что мы ходим по улице в воображаемом городе, где в каждой семье два ребенка, и спрашиваем взрослых:
— Среди ваших детей есть хотя бы один мальчик?
Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем:
— А второй ребёнок — тоже мальчик?
Я сгенерировал такую выборку. Мы собрали 7555 случаев, где точно есть хотя бы один мальчик. И среди них 2501 где оба мальчики. Отношение примерно 1/3, и этот результат можно было предсказать без всякого моделирования, просто посмотрев на 4 элементарных равновероятных исхода для семьи, среди которых мы рассматриваем только 3, в свою очередь среди которых ровно 1 соответствует двум мальчикам.
Если бы мы ходили по городу и опрашивали мальчиков
— У вас есть брат?
и так собирали бы статистику — тот же самый город дал бы выборку из 10556 мальчиков (ровно столько раз выпал орел), среди которых у 5002 есть брат (это те 2501 семья с двумя мальчиками), то есть доля примерно 1/2
— Среди ваших детей есть хотя бы один мальчик?Если нет — идём дальше. Если да — спрашиваем:— А второй ребёнок — тоже мальчик?
Мне кажется проблема здесь в том, что теория вероятностей работает с опытами.
А здесь мы де-факто опыты не ставим, а просто вычисляем долю в обществе: было тысяча, удалили триста, сколько осталось?
Здесь нет этого, как его, коллапса волновой функции - коробки с котом - места, где подбрасывается монетка, вероятности.
Все опыты проведены заранее а потом их результаты делятся (уже сознательно) на доли.
Возьмем все семьи с двумя детьми. Вы утверждаете, что в 1/3 будет два мальчика, в 1/3 две девочки, и в 1/3 мальчик + девочка?
Варианты те же, генеральные совокупности разные.
Вы поднимаете очень важный момент — именно на этом месте у большинства начинается ощущение абсурда.
Но здесь есть одно ключевое недоразумение: пары «мальчик-девочка» и «девочка-мальчик» — это не одно и то же, если порядок в семье считается частью модели. То есть «мальчик старший, девочка младшая» — это одна семья, а «девочка старшая, мальчик младший» — другая. Если мы предполагаем, что все такие семьи равновероятны, то эти случаи считаются по отдельности.
Когда вы говорите, что «это уже выпало» или «эта комбинация одна и та же» — вы, по сути, меняете модель. Это совершенно допустимо, но тогда и расчёты будут другими. Проблема не в том, что кто-то считает неправильно, а в том, что без уточнения модели сама задача неоднозначна — и именно это делает её интересной.
Кстати, ваше ощущение, что «так считать нельзя», — это очень полезный сигнал. Оно показывает, что где-то в формулировке «недостаточно условий». И вы совершенно правы: прежде чем что-то считать, нужно понять, что именно мы моделируем.
Моя любимая задача (по тому, какой срач она развивает в комментах) -- про дождь в Сиэтле.
Вы летите в Сиэтл и хотите узнать, брать ли вам зонт. Вы звоните трем живущим там друзьям и спрашиваете, идет ли дождь. Все трое отвечают "да". Но, как вы знаете, они шутники, и один раз из трех любят соврать. Какова же вероятность дождя?
Т. к. все трое ответили одно и то же, то либо с вероятностью 1/9 все трое соврали, либо с вероятностью 8/9 все трое сказали правду.
Вопрос был о дожде...
Играть в игры "у меня где-то там спрятана хитрая под2.7бка", а, тем более "угадайте, что я имел ввиду, а вот и не угадаете, бе-бе-бе" желания нет совершенно, извините. Но могу анекдот в тему рассказать:
Учительница: "По небу летят два крокодила, один зелёный, другой коричневый, один со скоростью 50 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Вопрос: сколько мне лет?"
Вовочка (тянет руку): "Вам 24 года."
"Правильно, Вовочка. Как ты узнал?"
"Мой папа называет меня полудурком, а мне 12 лет."
А почему 1/9?
Фублин. И действительно. 1/27 и 8/27. Прикол, типа, в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов не равна 1?
Вообще, сдаётся мне, что если все трое говорят одно и то же, то эти события перестают быть независимыми, и нужно не считать произведение вероятностей, а рассматривать их как триединую сущность, врущую с вероятностью 1/3 и говорящую правду с вероятностью 2/3. Обосновать, впрочем, не могу.
Видимо, в этом и задача! Я бы попробовал смоделировать ее тоже, мне кажется это хороший способ что-то понять
Я что-то не улавливаю точки приложения моделирования. Брутфорсить все возможные варианты-то бессмысленно, рассматриваются только два частных случая.
Попробуйте, попробуйте, d1-d5 дело говорит.
У меня получилось как-то так...
from random import choice
def sample(n):
# (идёт ли дождь, что сказал первый друг, второй, третий)
# дождь идёт с априорной вероятностью 1/n
rain = choice([True] + [False] * (n - 1)) # идёт либо не идёт
answers = (rain, rain, not rain) # две правды и одна ложь
return (rain, choice(answers), choice(answers), choice(answers))
def probability(n_rain, N_samples):
samples = [sample(n_rain) for _ in range(N_samples)]
# выбираем все случаи, где трое сказали "да"
samples2 = [x for x in samples if x[1] and x[2] and x[3]]
# выбираем из них все случаи, когда дождь идёт
samples3 = [x for x in samples2 if x[0]]
p = len(samples3) / len(samples2)
return p
n = 100 # число априорных вероятностей, для которых моделируем
N_samples = 1000000 # число испытаний для каждой вероятности
for n in range(1, 100):
p = probability(n, N_samples)
print(f"Априорная: 1/{n}")
print(f"По опросу: {p}\n")
Вывод
Априорная: 1/1
По опросу: 1.0
Априорная: 1/2
По опросу: 0.8894085960092104
Априорная: 1/3
По опросу: 0.7996206509174386
Априорная: 1/4
По опросу: 0.7274877810361682
Априорная: 1/5
По опросу: 0.6658936353757045
...
Априорная: 1/96
По опросу: 0.07856023456852536
Априорная: 1/97
По опросу: 0.07950073936690143
Априорная: 1/98
По опросу: 0.07607433217189315
Априорная: 1/99
По опросу: 0.07514465472370316
Т. к. дофига, нарисовал графики
Не знаю, какие выводы из этого полагается сделать. Это если ещё с кодом нигде не налажал.
Ну хорошо, вы вводите понятие априорной вероятности. Какие выводы делаете вы (тем более, что этот ваш пост идет вразрез с предыдущими)?
Не понял претензий. А в чём ошибка? А надо как? А как вообще можно моделировать нечто, исходя только из незнания, что это такое?
Причем тут претензии? Просто ваш пост, как мне кажется, противоречит вашему же предыдущему посту. И вывода тоже нет, так что я не понимаю, какое из рассуждений и как оценивать.
Чтобы было понятнее, "при чём тут претензии", давайте зафиксируем то состояние вашего предыдущего комментария, на которое я отвечал, а то вы его так почикали, что вообще смысла не осталось:
sample(n) моделирует нечто исходя из нашего "знания" того, что вероятность дождя 1/n. При этом вы скармливаете этой функции все значения от 1 до 100. Пытаясь узнать вероятность дождя, вы исходите из того, что вы уже знаете что-то о дожде, причем эмулируете его вероятность так же спорно, как в примере выше мы выбирали случайную хорду.
Идут дожди с какой-то вероятностью от 1 до 0. Сгенерируем миллион случаев для каждой вероятности. Уже спорно или ещё нет? В чём "спорность"?
К каждому случаю из каждого миллиона добавим по три ответа от респондентов, соответствующих действительности с вероятностью 2/3. Теперь спорно? В чём спорность?
Выберем все случаи, когда все три ответа "да, идёт дождь", из них все случаи, когда дождь действительно идёт, поделим размер второго на размер первого, получаем статистическую вероятность. Спорно? В чём?
Вывод пока у меня получается только такой, что этот "опрос друзей" позволяет повысить точность прогноза, если нам известна "объективная" вероятность дожда, а если неизвестна, то опрос малоценен (вообще ли он бессмысленен в этом случае - чо-то не соображу).
Прикол, типа, в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов не равна 1
Так не бывает. Какой-то исход обязан случиться, пусть и в формате "Ничего не произошло".
То есть у нас два возможных исхода - есть дождь и нет дождя, и сумма этих вероятностей равна единице.
Потому что 2/3 вариантов отсекаются условием "все ответили одинаково", а оставшиеся распределяются в соотношении 1:8.
(1/3)^3 все трое соврали
(2/3)^3 все трое сказали правду
Вероятность дождя = (2/3)^3/((2/3)^3+(1/3)^3) = 8/9
Не тот форум для срача на эту тему.
В ваших рассуждениях присутствует ошибка.
Хех.
Ладно второй подход к штанге.
Дождя нет, значит все трое должны соврать, 1/27
Дождь есть, значит все трое должны сказать правду, 8/27
Другие варианты исключены, т.к в них ответы будут разные.
Вероятность дождя = (Вероятность дождя)/(Все возможные вероятности) = (8/27)/(8/27+1/27) = 8/9
В чем ошибка просветите. Или прием состоит в том чтобы сказать что ответ с ошибкой независимо от ответа и ловить срачег? Или проблема в недостаточном обосновании ответа?
Но вероятность того, что все трое сказали правду (с учётом того, что все трое ответили одинаково) разве не является уже искомой вероятностью дождя?
Ну, во-первых, откуда вы взяли "интуитивную" формулу, где и в числителе, и в знаменателе вероятности?
Во-вторых, "дождя нет, значит все трое должны соврать": кто кому чего должен? Рекомендую задуматься над таким вопросом: что первично, дождь или желание соврать? Отвечают ли друзья вначале глянув за окно, или как придется? Совет d1-d5 про моделирование очень полезен: начнете моделировать, почувствуете, что все не просто.
Если человек отвечает "идет дождь", то вероятность дождя 2/3. Итого у нас три человека сообщили, что вероятность одного и того же дождя 2/3. Вероятности не складываются. Итого 2/3.
P.S. Интереснее было бы, если бы 2 сказали - дождь, третий - нет.
Нет-нет-нет, ваш случай как раз интереснее. И вот его как раз легче смоделировать. И именно на случае с одним респондентом начинаются непонятки с моделированием.
И именно на случае с одним респондентом начинаются непонятки
Да, поторопился. Тогда, пожалуйста, уточните, что означает " один раз из трех любят соврать"?
Если идет дождь, то вероятность ответа "да, идет дождь", 2/3, "нет, не идет" 1/3, а если не идет, то наоборот, 1/3 и 2/3.
Вы спрашиваете одного приятеля (много раз прилетая), идет ли дождь и в этом случае вероятность того, что идет дождь при положительном ответе 2/3.
Третий вариант?
В задаче не хватает данных - какова априорная вероятность дождя в Сиэтле? Если она 100% (ну вот всегда там идет дождь, что поделать), то и ответ задачи будет 100%
Почему же не хватает? Вы всегда можете ввести новый параметр p и решить с ним. Замечу, остальных участников дискуссии отсутствие данных об априорной вероятности почему-то не смутило :)
Могу ввести - тогда ответ будет не конкретным числом, а некоей функцией от p.
Например, если p - константная 100%, то ответ задачи - 100%. Если p - константа 0%, то ответ задачи 0%. Ну и в промежутке есть нюансы. Согласно теореме Байеса / формуле полной вероятности (в которой эта самая априорная p и присутствует).
Почему это не смутило других - не берусь утверждать.
Смутило, я и с одним приятелем без нее не смог. Но я молчу, потому что ответ подсмотрел, после того, как понял, что без нее вероятность не вычислить. Ну и не хочу уже упомянутой тут блондинке уподобляться.
А причем тут блондинка?
Так в подсунутом мне решениии 50% априорная вероятность тоже была с ходу предложена.
Из Википедии:
Несмотря на то, что Сиэтл находится в пределах дождевой тени Олимпийских гор, у него создалась репутация города, где часто идут дожди. Эта репутация основана на количестве осадков, выпадающих осенью, зимой и ранней весной. В среднем, более 0,3 мм осадков выпадает 150 дней в году. 201 день в году наблюдается облачность и ещё 93 дня — частичная облачность.
Как минимум, предположение о 50% априорной вероятности дождя нужно озвучить при решении. Но вообще говоря, оно неверное.
На самом деле, как мне кажется, в задаче есть две изюминки. Первая -- это сообразить, что без априорной вероятности дождя тут нечего делать, и либо явно об этом сообщить, либо ввести параметр. Давать сходу числовой ответ без параметра -- это пойматься в первую ловушку. Вторая изюминка состоит в том, что не имея априорной вероятности многие пытаются вывернуть наизнанку каузальность. То есть прямая каузальность -- это когда друг смотрит на улицу, узнает о наличии дождя, потом решает, есть ли у него настроение шутить, и как следствие двух факторов выше выдает ответ да/нет. При прямой каузальности без априорной вероятности не обойтись. Но в попытке ее выбросить многие прибегают к обратной каузальности -- это когда друг просыпается в подвале, о погоде ничего не знает, и выдает ответ "да" наобум, потом решает, нужно ли ему шутить, только затем он выходит на улицу и узнает о наличии дождя. Поскольку он не может нарушить свой принцип шутить один раз из трех, он берет с собой бубен и начинает моделировать погоду, чтобы она была в соответствии с условиями задачи. Описать обратную каузальность с тремя респондентами я уже не берусь. Так вот в случае обратной каузальности априорная вероятность не важна, т.к. погода зависит только от настроения шутников и их идеальной способности вызывать или останавливать дождь.
Ну, все-таки не давать все данные, необходимые для решения, не очень хорошо, хотя в реальной жизни, увы, бывает.
Почему "увы"? Реальная жизнь -- это не квадратное уравнение. И намного хуже -- выдавать численный "ответ" без попытки анализа. Кроме того, эта задача очень подходит к статье о парадоксах. Собственно для меня парадоксом является то, с какой пеной у рта люди начинают доказывать правильность своего численного ответа. Что интересно, обычно различных ответов дают около десятка, но что еще интереснее, эти группы адептов различных численных ответов мало спорят друг с другом, но готовы все вместе разодрать любого, кто им намекает на нестыковки в их аргументации.
могу с точностью до 1(тоесть даже не 50%, 1%, потомучто предпологаю)) процента сказать что вероятность это подмножество кватерниона(крутить) или двойного кватерниона(крутить и двигать как раз оно самое) потомучто он может быть и 1 и -1 и даже есть формула)
собственно монетка это тоже доказывает (она крутиться в воздухе и это минимум, а она еще и двигается)
Задание опроса содержит формально-логическое противоречие. В таких условиях любой ответ не имеет смысла. Если вспомнить школьную «Алгоритмику», исполнитель обязан ответить «Не понимаю.».
Только мне кажется, что при построении хорды Способ 1 и Способ 3 на самом деле не являются полностью случайными?
В Способе 1 рассматриваются только такие треугольники, сторона которых параллельна хорде, в то время как существует множество других треугольников у которых ни одна из сторон не параллельна хорде.
В Способе 3 ограничения замаскированы более хитро. Первоначальный выбор точки внутри круга однозначно определяет направление хорды - перпендикулярно радиусу к точке, в то время как через данную точку вообще-то можно провести хорду в любом направлении. То есть тут из построения убирается одна из степеней свободы, а именно, угол между хордой и радиусом к случайной точке внутри круга. Ну да, круг симметричен и для любой хорды можно найти перпендикулярный ей радиус, но я не могу просто на вскидку как-то строго показать, что множество всевозможных точек и углов равномощно множеству одних только точек.
если углы между двумя точками то углов меньше, если вершина угла точка только одна, их равное количество 1000% В)
предположил что в окружности бесконечность точек, если на 1 угол 2 точки то углов половина бесконечности количества точек наверно
Добрый день! Спасибо за вопрос, эту часть почти никто не обсуждает
В Способе 1 рассматриваются только такие треугольники, сторона которых параллельна хорде,
Все равносторонние треугольники, вписанные в окружность, имеют одну и ту же сторону. Поэтому мы можем зафиксировать треугольник как угодно — например, с одной вершиной в конце хорды — и сравнивать хорду с ним. Это не создаёт дополнительного ограничения.
через данную точку вообще-то можно провести хорду в любом направлении
Мы выбираем случайную точку внутри круга, и хотим чтобы она была центром хорды. Через любую такую точку действительно можно провести бесконечно много хорд, но ровно одна из них будет иметь эту точку в центре. Мы сознательно выбираем именно такой способ — и он корректно определяет распределение хорд (другое, но вполне математически осмысленное).
Для второй задачи Гарднер рассуждал так: всего возможных пар четыре — мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик и девочка/девочка. Мы знаем, что в семье есть мальчик, так что остается три варианта, из которых подходит только один. Значит, вероятность ⅓.
Автор хотел "на пальцах" объяснить про виды "пространства элементарных событий" в "урновых схемах" Бернулли.
В итоге написал много букв, а то что бывают пространства событий "с учётом порядка" и "без учёта порядка", но толком объяснить так и не смог, судя по комментариям.
Пробуйте ещё...
Да, вы правы — в комментариях обсуждение ушло в сторону урновых схем и пространства событий с учётом порядка или без. Но если честно, это немного не та история.
Цель статьи была не в том, чтобы классифицировать все типы вероятностных пространств. А в том, чтобы показать: в некоторых задачах естественно появляются несколько разных вероятностных моделей, и все они логично описывают одну и ту же формулировку. Просто в ней не хватает уточнения — какой именно эксперимент мы себе представляем.
Когда речь идёт о бесконечных множествах, вроде парадокса Бертрана, это хорошо известно. Но когда множество конечно, почти всегда по умолчанию берут равномерное распределение. И вот как раз найти задачу, в которой два нерожденных распределения — оба естественны — не так-то просто. Мне удалось построить один пример (с ребром в графе), и он стал основой раздела. В нём два разных способа задать "случайную пару" — и два разных ответа. Именно это мне показалось интересным и достойным обсуждения. Еще там есть задача про пары друзей, которая придумана специально для статьи.
Если у вас есть другие примеры ситуаций, в которых естественно появляются несколько различных вероятностных распределений — я буду очень благодарен, если вы ими поделитесь) Если бы я что-то красивое придумал, может быть и не вставлял бы раздел про парадокс братьев, цели подробно объяснять его у меня не было. Я скорее ориентировался на читателей, которые и так уверены, что ответ 1/3, и будут спорить со мной, что 1/2 нельзя получить.
Мне кажется касательно "парадокса братьев", что если мы уже встретили пару с сыном, то исход "девочка-мальчик" нужно исключать.
Если у вас есть другие примеры ситуаций, в которых естественно появляются несколько различных вероятностных распределений — я буду очень благодарен, если вы ими поделитесь)
Спасибо за комплимент, конечно, но недостаточно подготовлен для этого)
"Девочка-мальчик" соответствует ситуации, когда старшая девочка, мальчик младший. Если мы встретили на улице отца с сыном у него же может быть старшая сестра. Так что исключить этот случай нельзя
Мы же - о первом парадоксе?
Парадокс двух детей Вы встретили на прогулке соседей с сыном. Известно, что у них двое детей. Какова вероятность, что второй — тоже мальчик?
Там же нет в условии упоминания о возрасте детей как критерии упорядочивания исходов.
Вот именно, в условии про это ничего про это не сказано. Так что в реальности у нас может быть три равновероятны ситуации, когда в семье есть мальчики: (первой родилась девочка, вторым мальчик), (первым родился мальчик, второй девочка), (первым родился мальчик, вторым мальчик). По этому вероятность 1/3
Или я не правильно понял ваш вопрос?
В таком случае Вы упрощаете, мне кажется.
В условии ведь ничего нет и о цвете глаз и цвете волос детей.
Значит по Вашей логике нужно ещё и эти условия учесть в решении?
Почему только возраст как критерий упорядочивания?
Представьте тысячу семей с двумя детьми. Сколько среди них будет семей с двумя мальчиками? Двумя девочками? Девочкой и мальчиком?
Мы в этой задаче предполагаем что дети рождаются так — каждый раз бросается монетка, и результат определяет пол.
Вы решаете уже другую задачу?
Потому что с этой:
Парадокс двух детей Вы встретили на прогулке соседей с сыном. Известно, что у них двое детей. Какова вероятность, что второй — тоже мальчик?
все ясно в принципе:
Вы встретили на прогулке соседей с сыном
Событие номер один - не вероятностное, а детерминированное. Один ребенок в семье - мальчик с матожиданием равным единице.
Известно, что у них двое детей. Какова вероятность, что второй — тоже мальчик?
Нам предлагают вычислить вероятность второго исхода "Второй ребенок - мальчик" из двух возможных:
Второй ребенок - девочка.
Второй ребенок - мальчик.
Казалось бы - вероятность 1/2 и дело с концом.
Ан - нет!
Где в условии сказано, что рождение мальчика или девочки - "равновероятные события"?
И "рождённые дети" - не равно "дети в семье сейчас".
Так что вопросы к условию есть, но они не сводятся тупо к условной вероятности.
Эти ваши парадоксы основаны на следующей ошибке. (Прошу не обижаться: слово «парадокс», выбранное вами для заголовка добровольно, для меня, в этом и в любом другом случае, всегда означает наличие скрытой ошибки и весёлую игру по её поиску). Теория вероятности — математическая теория*. А вы с Гарднером натягиваете её на физические процессы. Делать этого ни в коем случае нельзя. Физическая теория обязательно включает в себя критерии, по которым надо отбирать для рассмотрения как произошедшие** события, так и принципиально возможные. Математическая теория делать это не обязана, поскольку не привязана ни к каким конкретным физическим законам. В ней в этом месте оставлен вполне сознательный пробел. Заполняя его по своему усмотрению (как именно считать мальчиков-девочек) можно получить несколько разных ответов, только один из которых будет корреспондировать с реальностью. Парадокс именно в этом.
Важные оговорки:
* Теория вероятности в том виде, в котором она обычно преподаётся, не является чисто математической теорией. Когда мне читали её курс, то постоянно ссылались на монетки и кубики, не делая никаких оговорок по поводу их физической квантовой природы. Тем не менее, по существу это именно математическая теория.
** Произошедшие во всём мультиверсе, это принципиально.
Если же взять физическое объяснение происходящего… Я предлагаю MWI, но можете выбрать конкурирующее объяснение, будет интересно сравнить и обдумать. Главное — объяснение должно объяснять, а не отмораживаться в уголке, как «копенгаген», делая вид, что его это не касается, и что «задавать такие вопросы нельзя» (реально в одном из изложений видел процитированную фразу!). Так вот, в рамках MWI узнать о том, что старший ребёнок — девочка, можно только в таком типе вселенных, которые в дальнейшем разделяются по вопросу неоднозначности пола детей на два типа, встречающихся одинаково часто***. А не знать это можно в тех вселенных, которые в дальнейшем разделяются на три типа. Если вы знаете, что старший ребёнок — девочка, вы можете понять, к какому из исходных типов вселенных принадлежите, и так и определяется физическая вероятность. Игнорировать этот факт нельзя, и свободно задаваться тем, что считаем, а что нет — тоже.
*** Это очень сильное упрощение во многих аспектах. Оно подходит, чтобы не путать математику и физику, но не годится для построения полной физической картины. Во-первых, и это очевидно, вас могут просто обмануть. Обман — это физический процесс, хотя и очень высокоуровневый (эмерджентный), поэтому физический аппарат его не рассматривает.
Во-вторых, разделение происходит на вселенные не двух типов, а множества. Вы должны задаться диапазоном значений для всех параметров, которые согласитесь считать «одинаковыми во всех остальных отношениях». Если в одной вселенной бабочка летит слева направо, а в другой — справа налево, не влияя на пол ребёнка, это один случай или разные? А если бабочка, летящая налево, приведёт к власти фашистов, и они убьют и девочку, и вас прямо в процессе вычислений? Далее, как вообще может быть такая штука как «вселенные, одинаковые во всех остальных отношениях»? Это просто невозможно. Например, если соседский ребёнок любит младшую, а в другой вселенной младшая — младший, то либо соседский ребёнок в другой вселенной её не любит, либо имеет там другую ориентацию. Считать ли равнодушного соседа и соседа-гея за один случай?
В-третьих, физика оперирует такими понятиями как протяжённость процесса во времени (что, по некоторым теориям, само по себе упрощение) и спонтанные реакции. Пока вы считали, младший(ая) мог сменить пол хирургически или в результате спонтанных превращений атомов. Физика на то и физика, что она говорит: хирургическая смена пола должна рассматриваться в рамках физически совместимой эмерджентной науки (какого-нибудь обществоведения), а спонтанным превращением атомов в большинстве случаев можно пренебречь.
В-четвёртых, квантовые явления не просто так относят к микромиру. Спин может быть истинно случайным (давать производные вселенные строго двух типов, встречающихся со строго равной частотой), а вот его измерение — уже нет. Нет никакой возможности построить идеальный квантовый микроскоп (того самого кота), выносящий случайность на макроуровень без искажений. Обычно при измерении пола мы об этом не думаем (и опять же, физика объясняет, почему), но вообще фотоны могут дать искажённую информацию, или она может исказиться непосредственно в мозгу.
В-пятых, и, пожалуй, главное: мы делаем слишком много допущений, основываясь на том, что девочек и мальчиков рождается примерно поровну. Если есть другие причинно-следственные связи (например, мальчики на многие порядки агрессивнее, и рождение каждого нового мальчика нелинейно приближает мировой апокалипсис), тот факт, что вы вообще задаётесь парадоксами, может говорить о том, во вселенной какого типа вы находитесь с большей физической вероятностью. Утверждение «мальчики на многие порядки агрессивнее» не кажется истинным, но могут быть иные связи, как в качественном, так и количественном отношении.
Вот пять пунктов, и наверняка я ещё что-то упустил. Может быть даже, что что-то намного более важное.
Для второй задачи Гарднер рассуждал так: всего возможных пар четыре — мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик и девочка/девочка. Мы знаем, что в семье есть мальчик, так что остается три варианта, из которых подходит только один. Значит, вероятность ⅓.
Нет никаких четырёх/трёх вариантов. В семье точно есть один мальчик, что схлопывает совершенно невозможные вероятности и остаются всего лишь два равновероятных варианта — мальчик/мальчик и мальчик/девочка, 50/50.
мальчик/девочка, девочка/мальчик
Математики действительно витают в облаках. В реальном мире это один и тот же случай.
Сгенерируйте на компьютере 1000 случайных семей из двух детей, отберите среди них те, где есть мальчик и проверьте, среди скольких из оставшихся будет двое мальчиков. Ответ вас удивит)
остаются всего лишь два равновероятных варианта — мальчик/мальчик и мальчик/девочка, 50/50.
А вот совершенно не равновероятных. Вероятность рождения мальчика завсегда заметно выше (таков уж наш физический мир).
Конечно, вы правы! Никто не обращает внимания, но тут можно поговорить о том, что модель весьма условна. Конечно правильнее говорить про бросок симметричной монетки, но с детьми задача выглядит приближеннее к реальному опыту
Откуда Вы взяли слово "равновероятных"?
В условии этого нет.
"Блондинку спрашивают, какова вероятность того, что, идя по улице, в самый обычный день она совершенно случайно встретит динозавра. Блондинка отвечает: вероятность пятьдесят процентов. Либо встречу, либо нет." (С) Анекдот
Для второй задачи Гарднер рассуждал так: всего возможных пар четыре — мальчик/мальчик, мальчик/девочка, девочка/мальчик и девочка/девочка. Мы знаем, что в семье есть мальчик, так что остается три варианта, из которых подходит только один. Значит, вероятность ⅓.
Многие "парадоксы" получаются, когда пытаются решить коряво заданное условие. И получают корявый ответ. Вместо того чтобы сказать -"Мы облажались", гордо говорят -"Мы обнаружили парадокс"
Чтобы корректно решить данную задачу, надо выяснить, чем различаются пары "мальчик/девочка" и "девочка/мальчик". И различаются ли вообще? Потому что, если различаются, то покупательная способность пары "рубль и одна копейка" будет отличатся от покупательной способности "одна копейка и рубль". Что вряд ли возможно в реальном мире.
Для меня есть только три варианта: "двое детей одного пола - мальчики", "двое детей одного пола - девочки" и "двое детей разного пола".
Вы меня извините, но кажется, что вы или не до конца разобрались в теме, или, скорее всего, намеренно (!) делаете подмену понятий для громкого заголовка и для обсуждений в комментариях. Указанные вами примеры не являются парадоксами по своей сути.
Задачи с детьми, как вам уже указывали в других комментариях, это 2 разные задачи. В одной учитывается порядок, в другой нет. В одной множество исходов из 2 элементов (ДД / ДМ), в другой из 3 (ДД / ДМ / МД). Где же тут парадокс?
Задача про девочку и 4 мальчиков проще всего решается геометрически через возможные варианты выбора ребер. Верный ответ как вы и указали 1/2. Решение через полную вероятность у вас неверно, т.к. оно не учитывает нюанса, что мы НЕ можем выбрать противоположные вершины графа.
К слову, если эту задачу про девочку и 4 мальчиков подправить и сделать полный граф связей, тогда и геометрическое решение и решение через полную вероятность будет одинаковым (2/5).
Вы задаете хороший вопрос, и в какой-то мере я с вами согласен: конечно, никакой «математической катастрофы» в этих задачах не происходит. Теория работает. Но именно в этом и состоит суть — эти примеры не про слом математики, а про то, как много в ней зависит от выбора модели.
Когда мы говорим «выберем случайный объект из множества» — вы, как и многие, автоматически предполагаете, что речь идёт о равномерном распределении. Это удобно, этому учат в школе, и в большинстве учебных задач именно так всё и устроено.
Но в жизни равномерное распределение не даётся по умолчанию. Оно возникает только если модель и эксперимент специально это предполагают. В задачах, подобных тем, что я разбираю в статье, как раз и возникает ситуация, где вполне естественно возникают два разных способа определить “случайный выбор”. Например, в задаче с графом: мы можем выбирать либо случайное ребро напрямую, либо сначала вершину, потом одно из рёбер, которые из нее торчат. Оба способа разумны — и дают разные ответы.
Такое расхождение — не ошибка, а повод задуматься: что именно мы называем случайным?
Да, слово «парадокс» здесь используется не в смысле логического противоречия. А в том смысле, в котором оно принято в теории вероятности: как ситуация, в которой корректные рассуждения приводят к неожиданному или неоднозначному выводу. На этом языке и Монти Холл — парадокс. И задача про двух детей — тоже.
В общем, я не подменяю понятия. Я просто показываю, что интуитивная очевидность — часто результат заранее принятой, но не проговорённой модели.
Надеюсь ответил на ваш вопрос
Так нет же.
Задачи про детей: 1) когда старший ребенок Д, и 2) когда один из детей Д - это 2 разных задачи. В одном случае добавляется информация о порядке событий. Для обывателя задачи могут показаться одинаковыми, но это ведь не так. Здесь нет парадокса.
Задача про граф, как я уже упоминал не содержит 2 разных ответа. Ответ там один: 1/2. Просто в вашем решении через полную вероятность ошибка - события зависимые и нужно добавлять условную вероятность. Увы сходу я вам здесь не подскажу, тер.вер. был у меня четверть века назад. Надеюсь, более внимательные комментаторы вам подскажут.
Если в той же задаче про граф принять, что все ребра на месте, то результат будет одинаковым как и при графическом способе решения, так и при решении через полную вероятность.
Пар друзей всего восемь. Четыре из них — два мальчика, четыре — мальчик и Даша. Значит, если просто выбирать случайную пару, шанс — 1/2
А теперь выберем ребенка, а потом его друга. Если это Даша пара точно разнополая. Если мальчик — с вероятностью 1/3. Получается: 1/5 + 4/5 × 1/3 = 7/15.
Ответ, очевидно, 1/2. Пара - это "2 ребёнка", а не "1 ребёнок и ещё 1 ребёнок". Соответственно, второй ответ строится на ошибочном способе решения, который противоречит условию задачи.
Математически это, видимо, связано с тем, что у Даши 4 знакомых, а у каждого мальчика по 3, поэтому если мы случайно выбрали Дашу как первую часть пары, то это вносит неравенство. Если бы все дети были знакомы между собой, то у каждого было бы по 4 знакомых и этой проблемы бы не было.
К задаче с хордами это тоже относится. Случайная хорда напрямую строится только в первом варианте решения. Во втором и третьем строится что угодно, но только не случайная хорда. Это подгонка решения под неправильный ответ.
Сначала про хорду
К задаче с хордами это тоже относится. Случайная хорда напрямую строится только в первом варианте решения. Во втором и третьем строится что угодно, но только не случайная хорда.
На самом деле все три способа строят случайную хорду — просто по-разному задают процедуру случайного выбора. И в каждом случае в результате может получиться любая из возможных хорд (посмотрите на эти конструкции внимательно!), но с разной вероятностью. Именно это и есть суть парадокса.
В первом способе — да, мы явно выбираем две точки на окружности.
Во втором — случайное расстояние, и проводим хорду на этом расстоянии от центра.
В третьем — случайную точку внутри круга, и она становится центром хорды.
Каждая процедура порождает своё распределение на множестве хорд. Все они корректны, просто описывают разные эксперименты.
А вопрос “что значит выбрать хорду случайно” — и есть центральный вопрос парадокса Бертрана. Именно это и интересно
Да, действительно речь о том, что считать случайной хордой.
На мой взгляд, если говорить упрощенно, то случайность должна подразумевать равновероятность получения хорды. Хорда суть отрезок, соединяющий точки на окружности, поэтому случайно = поставить две случайные точки и их соединить. В этом плане похоже на первый способ. А 2 и 3 способ задают более специфическую вероятность получения заданной хорды.
Утрируя способ 2 (но можно и под способ 3 модифицировать):
0. Допустим, что радиус круга = 1.
1. Выберем случайное число от 0 до 1 (x).
2. "Случайная хорда" на расстоянии x^N от центра будет удовлетворять условию, если x^N < 1/2
3. Выбираем N и получаем любую "вероятность", что "случайная хорда" длиннее стороны вписанного правильного треугольника.
Ответ, очевидно, 1/2. Пара - это "2 ребёнка", а не "1 ребёнок и ещё 1 ребёнок". Соответственно, второй ответ строится на ошибочном способе решения, который противоречит условию задачи.
Математически это, видимо, связано с тем, что у Даши 4 знакомых, а у каждого мальчика по 3, поэтому если мы случайно выбрали Дашу как первую часть пары, то это вносит неравенство. Если бы все дети были знакомы между собой, то у каждого было бы по 4 знакомых и этой проблемы бы не было.
Вы абсолютно правы, если рассматривать задачу так: у нас есть 8 пар друзей, из них 4 — разнополые. Значит, если мы просто выбираем случайное ребро графа, то вероятность получить разнополую пару — 1/2. Это корректное решение — и оно именно так и устроено в первом способе.
Но в статье описан и другой способ выбора случайной пары друзей. Мы сначала выбираем ребёнка, а потом случайного друга этого ребёнка. Это тоже валидный способ задать случайную пару. Только распределение на множестве рёбер получается другим: у Даши 4 друга, у каждого мальчика — по 3, и значит, вероятность выбрать “пару с Дашей” оказывается выше.
Математически это два способа выбирать ребро в графе:
Выбираем ребро напрямую — равновероятно из всех восьми. Тогда ответ — 1/2.
Выбираем вершину, потом случайное ребро из неё. Тогда рёбра “неравны” по шансам, и получается ответ 7/15.
Оба способа описывают корректные вероятностные модели. Они просто соответствуют разным экспериментам. И в этом вся суть парадокса
На мой вкус, второй способ ближе к реальным ситуациям: в жизни мы чаще наблюдаем вершину (ребёнка) и его связи, чем имеем полный список всех рёбер. Но это уже вопрос контекста. Главное — понимать, что расхождение возникает не из-за ошибки, а из-за неоднозначности самой процедуры случайного выбора.
Мы сначала выбираем ребёнка, а потом случайного друга этого ребёнка. Это тоже валидный способ задать случайную пару.
Нет. Мой комментарий именно об этом. Пара - это не ребёнок и ещё ребёнок. Пара - это связь между двумя детьми. Соответственно, чтобы выбрать случайную пару, мы должны выбрать случайную связь (ребро графа). Выбор сначала одного ребёнка, а потом другого - это некорректный способ взятия случайной пары.
Считается, что вероятность пропорциональна площади.
Зафиксируем радиус круга. Выбираем на нём случайную точку и проводим хорду перпендикулярно радиусу. Впишем в круг правильный треугольник так, чтобы одна из его сторон была параллельна хорде. Сторона вписанного треугольника делит радиус пополам: если точка ближе к центру, хорда длиннее стороны. Это происходит в 1/2 случаев.
Радиус-то она делит пополам, а вот площадь - нет.
Имеется ввиду "многомерная площадь" — на прямой это длина, на плоскости площадь, в пространстве объем.
В этом способе рассматривается такое распределение на хордах — выберем случайном образом число от 0 до радиуса окружности (равномерно) и проведем хорду на этом расстоянии от центра. Тогда если число меньше половины радиуса, хорда будет длиннее стороны треугольника, если больше — короче.
С какой вероятностью случайное число от 0 до R меньше R/2? Одна вторая
Подскажите, никак не могу понять почему в задаче про пятерых детей и вероятность выбрать разнополую пару формула 1/5 + 4/5 × 1/3 = 7/15.
С 1/5 понятно, у нас 5 человек нужно выбрать 1 из 5
4/5 Тоже понятно
А почему дальше умножается на 1/3? Ведь из пяти человек мы взяли 1 парня, теперь нужно выбрать 1 девушку из 4. Или где я ошибся?
Беда в том, что краткие небрежные формулировки задач подразумевают совершенно разные ситуации.
Например, если в семье есть только один ребенок - мальчик, ждут второго, то какова вероятность того, что следующим тоже родится мальчик?
Здесь всех возможных исходов всего два - девочка/мальчик, они равновероятны, поэтому вероятность 1/2.
На условном примере с выборками это означает, что в городе 1000 семей с двумя детьми. Тогда 250 из них имеют двух девочек, 250 - двух мальчиков, 250 - мальчика + девочку, 250 - девочку + мальчика (смотря кто родился первым). Всего 2000 детей, по 1000 мальчиков и девочек.
Пока что все интуитивно понятно. Например, если спросить, какова вероятность иметь двух девочек, ответ будет 250/1000 = 1/4.
Но когда мы формулируем "встретили соседей с сыном", то это уже сразу означает: "Из тех 1000 семей возьмем выборку в 750 семей, имеющих хотя бы одного мальчика, а именно: 750, из которых 250 имеют двух мальчиков, и 500 девочку и мальчика".
И дальше спрашивается, какова вероятность в этой выборке нарваться на двух мальчиков ("...что и второй ребенок будет мальчиком"). Таких 250, и поскольку выборка всех возможных вариантов у нас теперь не 1000, а 750, то вероятность будет 250/750 = 1/3.
В остальных задачах трудности тоже в основном именно лингвистического, а не математического плана. Если сформулировать их четко в таблицах, они становятся гораздо понятнее.
Про сына: напомнило задачу про 3 двери. За одной из них приз, и ведущий знает, за какой. Вы выбрали первую. Ведущий показал, что за второй дверью ничего нет. Поменять свой выбор на третью дверь или остаться на своём?
В чём нюанс
Исходная вероятность угадать: 1/2.
Ведущий может выбрать, какую из дверей открыть. Он выберет случайно между 2 и 3, только если приз за 1 (вероятность 1/3). В других 2 случаях — у него нет выбора. Значит, надо менять свой выбор на 3, вероятность успеха 2/3.
Так же и с сыном: нам предъявляют младшего или старшего ребёнка на свой выбор (в зависимости от того, кто из них сын). Если оба сына, то без разницы, кого предъявить. Получается, 1/3, что оба сына.
Если помнить, что вероятность событий должно рассматриваться на множестве событий, то в некоторых случаях можно не путаться в парадоксах
Пост из разряда "вероятность встретить динозавра в наше время = 50%". Человеки очень любят искать смысл там, где его не особо много, но и с другой стороны философствование в математике - двигатель прогресса как отдельно взятого человека, так и общества в целом. Так что вероятность найти смысл в моем комментарии тоже около ½
Что не так? Три парадокса теории вероятностей