Комментарии 44
Спасибо автору. Стало немного понятнее про мнимые и комплексные числа.
Например, если мы должны кому-то 16 м2 земли, то у нас есть мнимый участок размером 4 на 4 метра, потому что -16=4i*4i
Какая-то сказочная болтовня для гуманитариев.
Комплексные числа не "придумали" добавлением к числу типа несуществующей компоненты в виде корня из -1. И вы не сможете создать новые комплексные числа путем добавления к обычным числам других несуществующих компонент, типа деления на ноль, бесконечности или там неберущегося интеграла. Потому что этот мнимый корень там не из-за фантазии человека, а из-за обычной математики.
Комплексные числа "придумали" путем перехода от числовой прямой к числовой плоскости - когда число начинает предоставляться не одной, а двумя компонентами. В этом случае, из каждой точки на оси Х будет вверх торчать ось Y с дополнительной компонентой числа. Но эта компонента НЕ БУДЕТ СОДЕРЖАТЬ ТЕ ЖЕ САМЫЕ ЧИСЛА, что и ось Х - ну просто потому, что ось Х их уже содержит сама. Не может же у вас быть две одинаковых двойки, скажем? Поэтому числа на оси Y обозначили буквой i - вернее ей обозначили единичной длины шаг по этой оси. И поэтому любое число B на оси Y будет равно iB. Как видите, никаких мнимых чисел тут нет.
А чему равно само это число i ? Его можно вычислить в лоб по теореме Пифагора - и да, получится корень из -1. Почему так? Да потому, что новая числовая ось Y как-бы не существует в реальности старой оси X - т.к. эта ось одномерна и никаких "дополнительных" компонент на ней существовать не может. То есть мы просто выходим за рамки одномерной математики и начинаем работать с двумя измерениями - но из одного измерения это воспринимается как невозможная магия.
Точно также можно добавить вторую или третью числовую ось и получить кватернионы и вообще любые гиперкомплексные числа.
Не может же у вас быть две одинаковых двойки
Насколько мне известно в дуальных числах может быть сколько угодно много разных двоек, в том плане, что они все различны, но когда дело доходит до вычисления они все ведут себя как 2
Спасибо за разъяснение, я ничего не понял и во второй раз.
А вам какое понимание нужно, чтобы экзамен по матану сдавать или что? Про использование комплексных чисел на практике у меня есть отдельная статья.
Неужели, математики ещё не догадались добавить бесконечное число осей и перейти от плоскости к бесконечномерным числовым пространствам?
Гильбертовы пространства?
Догадались, добавили и доказали, что иметь больше трёх мнимых компонент не добавляет математике ничего полезного, чего нельзя сделать меньшим числом компонент. Поэтому на практике гиперкомплексные числа и не используют, разве что кватернионы - и то, скорее, для локального удобства вычислений в очень узких задачах.
Ну не надо, нет такого доказательства. Теорема Фробениуса - она, во-первых, про определённые свойства, такие как отсутствие делителей нуля, а во-вторых, про алгебраическую запись. Те же дуальные числа можно расширить таким образом, чтобы автоматически считать и 2-ую, и так далее производные - но алгебраически, через квадрат мнимых единиц, их уже не описать.
Вот только это не плоскость, а сфера, и у неё одна бесконечность, а не 2 как на прямой. Классический матан — сфера Римана.
Если уж на то пошло, обычных чисел тоже в природе не существует, это тоже абстракция, придуманная человеком)
На английском "мнимые" звучит более крышесносно - imaginary, воображаемые.
Типичный американский научпоп-стиль - максимально размазанный смысл с кучей воды.
Числа называются "комплексные", потому мы обращаемся с парой чисел так, как будто они одно целое. Векторы и матрицы - из той же оперы.
Определение 
как "корень из -1" давно устарело и некорректно, потому что 
в действительных числах действительно не определён. Определён он только в комплексных, то есть 
и имеет два решения к тому же. Корректное определение 
, из которого следует правило умножения, а сам символ 
просто удерживает мнимую часть комплексного числа в алгебраической записи, за счёт чего мнимую и комплексную часть можно писать в произвольном порядке, например что 
что 
одно и то же. А вот в векторной записи символ 
не нужен и порядок строго определён, [2,3] и никак иначе.
Вместо равенства 
можно взять 
и получим дуальные числа, где точно так же можно определить все функции над ними через разложения в ряд. Интересны они тем, что в мнимой части можно автоматически получать производную функции в численных вычислениях. Здесь также хорошо видно, что определение
смысла не имеет. Ну а чтобы не путаться, вместо 
используют другой символ, 
.
Возьмём 
- получим двойные (сплит-комплексные и кучу других названий имеют) числа, используются в некоторых физических моделях.
Добавим ещё парочку мнимых чисел - получим кватернионы, в 3D-пространстве с ними иногда удобнее работать, чем с матрицами.
Упакуем их в дуальные числа - получим дуальные кватернионы, и одно гиперкомплексное число будет нести информацию не только о положении точки в 3D, но и о скорости.
Можно вообще не определять возведение в квадрат, и тогда получим алгебру многочленов. Такой подход широко используется в комбинаторике и цифровой обработке сигналов. В частности, он позволяет описывать бесконечные последовательности чисел через производящие функции (путём разложения её в ряд в точке ноль). Например, последовательность натуральных чисел 
можно описать функцией 
.
А что плохого в американском научпоп-стиле? Почему-то более математичные и академические статьи с большим количеством формул и минимальным количеством текста не очень заходят? Не находите?
Извините, я мимокрокодильный скрипач. Правильно ли я понимаю из вашего объяснения, что комплекное число суть матрица?
Не совсем. Операции с комплексными числами можно выразить в терминах матричной алгебры, и кому-то (не мне) так намного интереснее. По аналогии, музыкальное произведение можно записать в нотах, в буквах (ре-до-ре...) или в табах для бас-гитары, которые на скрипку переносятся элементарно. Но это всё равно будет одно и тоже произведение.
Оффтоп: в табах тоже можно указать длительности нот, паузы, мелизмы и прочие подробности?
А как в табах различать например редиез и мибемоль? На скрипке они обычно поразному играются.
>Сначала появились табы для отдельно взятых инструментов, а затем уже ноты для приведения их к единому знаменателю
Эм, нет. Табы предполагают наличие ладов, а безладовые инструменты существенно древнее, не говоря уже о голосе. Так что сперва появились ноты (не равномерно темперированного строч, конечно, другие)
Ну среди математиков тоже есть апологеты идеи того, что математика первична по отношению к реальному миру. Но если углубиться в историю - увы, не было господа бога, давшего священное знание математики людям на скрижалях. С музыкой аналогично. Нотную грамоту придумали люди опираясь на что-то, то есть на практику. Ну а интернете легко нагуглить фотки клавишных инструментов, где до-диез не равен до-бемолю, то есть там чёрная клавиша поделена на две независимых друг над другом. Современная нотная грамота достаточно молодая, и при этом количество гитаристов, для которых она "слишком сложная" всё ещё в разы больше, чем способных читать (и писать) табы. Ну то есть среди моих лично знакомых гитаристов (непрофессиональных) владеющих нотной грамотой - ровно ноль.
UPD: до-диез не равен ре-бемолю, конечно же. Ну а примирить равномерную темперацию с натуральной некоторые теоретики музыки пытались увеличением количества ступеней в октаве вплоть до 53х. Что конечно же практикующие музыканты не сильно поддержали.
Мнимые числа пришлось вводить для решения кубических уравнений.
В формуле корней к. уравнения под знаком корня может оказаться отрицательное число.
И если для квадратного уравнения можно сказать, что оно не имеет решений, то для кубического это будет абсурдным заявлением.
профессор ответил просьбой, чтобы тот передал ему квадратный корень из минус одного куска мела
Подразумевается, что квадратный корень из плюс одного куска мела передать вполне реально?
Характеристики переменного тока меняются по синусоиде, которая легко считается. Автор говорит "сложно" и пошел дальше. Эти характеристики выдает вращающийся железный генератор.
Сложный банковские проценты. Да, Сводится к экспоненте. Где там корень из — 1 ?
И к чему сваливать Всё в кучу из физического мира в комплексную область ?
Кусок мела. Профессор всё-таки уделал Азимова, который стал сливаться — придумал действительную половину. Профессор прав, хоть не дожал идею — существует именно тот кусок меда, который точно, до последнего атома равен 2х-переданной половины. Победа профессора и дешевый позор Азимова.
Тут, думаю, вместо 1 должно быть a.
Фаза которого есть fi=arctg(b/a)
Странные числа странной вселенной