Комментарии 16
А если не использовать углы близкие к 180 градусам? Для своей работы использую триангуляцию Делоне, как понимаю она позволяет избегать острые углы.
При триангуляции объёмов или плоскостей помимо углов, можно использовать параметр соотношение сторон: для треугольника это соотношение площадей треугольника к площади равностороннего треугольника вписанного в окружность в которую вписан оцениваемый треугольник. В идеале 1. Если он будет сильно близок к нулю, при решении каких либо задач в пакетах численного моделирования могут быть проблемы.
Шикарно. Мне нравится смотреть как становилась математика и как допускались ошибки. Шикарный пример также с гипотезой Ампера, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. Сейчас это называется гипотеза. Я очень хотел понять, как формулировал сам Ампер когда это публиковал. Есть оригинал публикации Ампера 1806 года http://www.ampere.cnrs.fr/bibliographies/pdf/1806-P005.pdf но он на французском. И я не нашёл старых переводов ни на русский ни на английский. В 1861 Риман высказал сомнения, без четкого доказательства, и тольо 1872 году Вейерштрасс предъявил миру такую всюду недифферинциремую функцию. Сейчас все пишут исходя из того, что Ампер в своей гипотезе не прав, а что писали тогда, с 1806 по 1861, считалось ли это тогда истиной или гипотезой? Я не смог найти внятных публикаций про это именно тех времён.
считалось ли это тогда истиной или гипотезой?
Это же математика. Пока теорема не доказана она не может считаться истиной даже потому, что её сформулировао Ампер.
так это сейчас сказали что она тогда была не доказана. Есть мнение что Ампер не высказывал гипотезу, а доказывал своё утверждение. Для этого нужно найти перевод на английский или русский язык выполненный до 1861 года. Тогда мы сможем понять что имел ввиду Ампер и как это тогда воспринимали, как доказательство или как гипотезу.
Есть мнение что Ампер не высказывал гипотезу, а доказывал своё утверждение
Тогда это тоже не истина, а теорема. Да, доказательство могло быть ошибочным, но вероятность этого не особо велика.
Вот учебник Франкера 1840 года, перевод с Французского 4го издания, выдержки
Единственную оговорку я нашёл
Что имхо говорит что может и есть отдельные точки где производной нет, но в остальных иксах производная есть, для любой функции. И мне кажется что до того, как Риман в 1861 усомнился в дифференцируемости любой функции, существование производной было научным консенсусом и считалось либо доказанным, либо не требующим доказательства утверждением. Именно поэтому я хочу прочитать как писал сам Ампер.
Учебник, если что тут:
https://cat.gpntb.ru/?id=FT/ShowFT&sid=00a813070c1835d8252a61404b30663b&page=443&squery=
На мой взгляд там явно утверждается существование производной для любой функции
Коши, в переводе Буняковского, 1831 год. Не требует ничего, кроме непрерывности для существования производной.
Математика в 19м веке была несколько не та, что в 20м. Классические теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, вот это всё) в оригинале начинались со слов "пусть есть непрерывная функция", а доказательство строилось так, как будто функция дифференцируемая. Что началось после публикации контрпримера Вейерштрасса... :)
В то время еще не было строгого формализма и "доказано" значило "ну кажется должно быть так". При этом "кажется" было естественно весьма субъективным - о чем уж говорить, если до второй половины 19 века банально отрицательные числа далеко не всеми математиками принимались. Да, это не шутка и не оговорка - именно отрицательные, а не комплексные)
Так оно и сейчас продолжается, просто в какой то момент уже забили и зафиксировали ВУЗовский матан в том состоянии, в котором он был на начало XX века. В XVIII веке всем было пофиг на аксиоматику, доказывалась всё на пальцах, потом решили, что это какой то позор, и раз уж древние греки смогли геометрию аксиоматизировать, то чем мы хуже, и Лагранж с Коши и компанией придумали матан с его определениями и теоремами. В XIX веке писали "функция непрерывная" потом после Вейерштрасса стали писать "функция непрерывная и дифференцируемая сколько угодно раз", большинство теорем пришлось переработать, а потом математики понаоткрывали новые контрпримеры, но все дружно сказали "Довольно!" и не стали переписывать учебники для ВУЗов, ибо те и так уже стали перегружены формализмом, за которым уже трудно уловить суть теоремы. Ну т.е. матан продолжает развиваться, но только в научных статьях, а в учебники эти новые открытия уже не попадают, из педагогических целей, чтобы студенты совсем не офигели и хоть что то поняли.
Да ладно, всё там есть, везде эта дифференцируемость требуется и каждый раз когда что-то решаешь её надо отдельно доказывать. Во всяком случае на ВМК надо.
Вы их как будто немножко журите и ставите на место.
Но в чем практический смысл пытаться взять производную у функции, которая натужно выдумана и описана так, чтобы быть без производных?
Производные были придуманы для физики, причем классической. В классической физике есть такая штука, как ошибка измерения. Существуют ли примеры недифференцируемых функций при наличии ошибки измерения?
Скульптор Noah Deledda сапоги Шварца из пивных банок делает, оч красивые скульптуры:
У Фихтенгольца, что ли, я этот пример видел... Вот что он называется "сапогом Шварца", не знал.
Сапог Шварца — парадоксальный «цилиндр», который может иметь бесконечную площадь