Существование треугольника Шарыгина — это настоящее математическое чудо

Сегодня я хочу рассказать об удивительном геометрическом объекте, впервые рассмотренным советским математиком Игорем Федоровичем Шарыгиным.

Оригинал задачи (доступно через WebArchive) - здесь

Для начала посмотрите на рисунок ниже. Что Вы на нём видите?

Объясняю: слева заштрихован треугольник, вершины которого образованы основаниями медиан (делят сторону пополам), а справа - основаниями высот. Если большие треугольники не являются равнобедренными, то и заштрихованные равнобедренными быть не могут, это доказанный факт.

Но, погодите, есть же еще биссектрисы!

И тут становится интересно! Оказывается, и это показал Игорь Федорович, полученный из биссектрис треугольник может быть равнобедренным! Более того, есть одно очень тонкое условие: угол такого треугольника должен попадать в диапазон от 102,663 до 104,478 градусов!

Откуда такие странные цифры?

Дальнейшие разборки - дело для настоящих ценителей вкуса. Итак, мы предположим, что треугольник, показанный синим цветом на рисунке выше, является равнобедренным. Геометрическая часть доказательства сводится к поиску подобных треугольников и в итоге приводит к следующему выражению:

Геометрическое решение в силу сложности я опускаю. Очень подробно расписано - здесь

Затем это выражение раскрывается, а в пару к нему записывается теорема косинусов для большого треугольника:

Начинаем страдать! Нам нужно понять, что за условия накладываются на переменную х. Заметим абсолютную симметричность левой части выражения (9 слагаемых, полученных перемножением друг друга + 1 произведение сторон) и путём подбора получим:

Последним записано неравенство треугольника

Теперь решаем уравнение и неравенство совместно:

Получили первое условие. Не пугайтесь, ведь x - в нашем случае это косинус угла, поэтому всё нормально. Идём дальше. подставляем выражение для стороны a в теорему косинусов:

Получили квадратное уравнение относительно y. Необходимо проверить, когда оно имеет решение, причём положительные (ведь y - это отношение сторон треугольника). Разделим на (4x+1), вычислим дискриминант и получим итоговое выражение для косинуса угла х:

Здесь нужно подобрать корни кубических уравнений, а потом поделить уголком, чтобы получить неравенство, решаемое школьным методом интервалов

Итак, барабанная дробь! Мы получили, что косинус одного из углов треугольника Шарыгина должен быть больше минус 1/4 и меньше вот этого вот всего с радикалом. Вычисляем на калькуляторе:

А вот и реальные углы! Оцените полученный диапазон! Не знаю как Вы, но я испытал истинное наслаждение. 

Уравнение можно решить как квадратное относительно y, а затем перебором найти целочисленные решения. Получено оно из предположения, что z=1 (следует из свойств симметрии решений).

И еще один факт. Выше показан треугольник Шарыгина с наименьшими целочисленными сторонами. Красивый конец, неправда ли ?

• Больше математики в Telegram - "Математика не для всех".

Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM

Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.  

• Наш сайт
• Наш блог про Enterprise IT во всех его проявлениях 
• Истории успеха наших клиентов