Комментарии 39
Комплексные числа для меня не пустой звук, но тут просто восхитительные примеры. Спасибо за качественные иллюстрации.
Прекрасно и неожиданно даже для прикладного математика со стажем! За наглядные анимации -- отдельное спасибо!
Изящно.
Удивительно, что раньше люди не додумались до такого. Я именю ввиду мнимые и комплексные числа. Может быть в будущем придумают что-то похожее, и будут удивляться, как это мы сегодня до такого не додумались.
i^t не просто так не используется в математике, это неоднозначное выражение. Проблема в том, что i = exp{iπ/2 + 2πin} для любого целого n. И для каждого n будет свой результат возведения в степень. Для действительных положительных оснований есть явно выделенная нулевая фаза, для всех остальных — выбор фазы неоднозначен и возведение в произвольную степень плохо определено. В этом смысле (−1)^t хуже всех — есть два значения фазы, равноудаленные от нуля. Поэтому отрицательные числа, вообще, не стоит возводить в отличные от целых степени.
Подскажите пожалуйста, вот мне в школе говорили, что при построении графика функции одному и тому же х не могут соответствовать несколько у
Но при этом на многих функциях (даже при применении самых простых модулей) это правило нарушается. Зачем оно вообще введено, если не выполняется? Ту же окружность x^2+y^2=1 не выйдет нарисовать если верить школьным учителям (или я чего-то не понимаю?)
А ещё в школе говорили, что не существует корней из отрицательных чисел. Так что вся статья — просто выдумка.
Ну вас учили на простых функциях R -> R. Не давали более сложные случи вида R -> R * R * R * ... * R и всяческие ещё более сложных конструкций, чтобы голову не забивать.
Хотя про арксинус и арккосинус вам наверняка сказали, что это функция из одного числа сразу во много разных чисел отличающихся друг от друга на 2 пи.
Правильно говорили в противном случае теряется однозначность и вычислять f(1) + f(2) становится затруднительно, не ясно f(1) это одно значение или два?
Выражение x^2 + y^2 = 1 не является функцией, нет зависимости y от x. Это уравнение окружности, а множество его решений и есть сама окружность. Можно его переписать в виде пары функций вида x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), 0 <= t < 2*PI
По определению функции, каждому x соответствует единственный yЭто не определение функции — это определение непрерывной функции, с которой обычно и начинают учить школьников функциональному анализу. Помимо непрерывных, бывают как минимум ещё дискретные, кусочно-непрерывные и обобщённые функции. Причём кусочно-непрерывные функции вовсе не обязательно должны задаваться через множество других функций, выбираемых в зависимости от значения аргумента — например, вместо такого можно записать такое или такое, и они все будет прекрасно интегрироваться, дифференцироваться и раскладываться в интеграл Фурье.
Многозначные функции возникают естественным образом через обратные функции, и они также являются полноценными функциями. Разница в том, что в обратной функции могу появляться дополнительные аргументы с ограниченной областью значений, что в школьном курсе математики не всегда прописывают явным образом — в частности, для обратных тригонометрических функций.
Чем рисовалась эта красота? В статье только вскользь упоминается Wolfram Mathematica…
Но скорее всего и правда Wolfram, благо в 12.3 pdf норм работает и gif тоже.
Ну и соседняя статья habr.com/ru/post/519954 точно в Wolfram сделана, правда скрипты фиг знает где :)
private void pictureBox1_Paint(object sender, PaintEventArgs e)
{
var g = e.Graphics;
g.SmoothingMode = SmoothingMode.AntiAlias;
g.CompositingQuality = CompositingQuality.GammaCorrected;
Complex I = Complex.ImaginaryOne;
g.Clear(Color.Black);
float x0 = pictureBox1.Width / 2;
float y0 = pictureBox1.Height / 2;
double n = 8;
double m = n+1;
Brush b = new SolidBrush(Color.FromArgb(55, Color.White));
for (double t = 0; t < 4 * m; t += 1.0 / 400)
{
var y = Complex.Pow(I, t) - 2 * Complex.Pow(I, 5 * t) / 35 + Complex.Pow(I, 9 * t) / 189;
y += (1 / 45.0) * Complex.Pow(I, t) * (21 - 6 * Complex.Pow(I, 4 * t) + Complex.Pow(I, 8 * t)) * Math.Cos(t * Math.PI * n / m);
y *= Math.Min(x0, y0) * 0.6;
float sz = (float)(3 - 2 * Math.Cos(t * Math.PI *n/ m*8));
g.FillEllipse(b, x0 + (float)y.Real, y0 + (float)y.Imaginary, sz, sz);
}
}
1) Анимашки настолько динамичны, что не успеваешь рассмотреть полученную «загогулистую» кривую. Нужно добавить статичную картинку.
2) Когда читаешь текст, особливо формулы, то мелькание анимашки отвлекает. Лучше анимашки спрятать под спойлеры. А то, как на новогодней елке — всё мелькает, только на елку не вешают бумажки с формулами, в которые надо вчитываться.
Предложение по содержанию:
Впрочем, тема «комплексные числа vs. матрицы» выглядит довольно холиварной — поэтому и продолжить её предлагается уже в комментариях.
Слабый призыв. Думаю, далеко не все читатели развлекались рисованием подобных узоров. Если автор сказал «А», то нужно сказать и «Б». Приведите пару решений для пары Ваших кривых в матричном виде. Сравните детально и покажите плюсы Вашего подхода. Тогда многие читатели, кто и не рисовал такие «загогулины», смогут высказать свое мнение по Вашим доводам.
А мне нравится. Современенько. APNG было бы лучше, чем gif, правда.
Технологии быстро стареют. Но вот, нпр., ЯП Кобол новым/современным никто не назовет, но похоронить ни как не могут;)
patchwork.ffmpeg.org/project/ffmpeg/patch/20210310152055.40622-1-derek.buitenhuis@gmail.com
github.com/FFmpeg/FFmpeg/commit/5a343853c0dd9a9d074d416d347ecad9e3271715
APNG было бы лучше
Почему не SVG?
Мне приходит в голову только такой способ: создавалась механическая оснастка, рисовались элементы (в крупном масштабе), доводились руками, затем фотокопированием уменьшали до размера банкноты.
Каждому свое, а мне вспомнился кружок информатики на Корветах. Самое эффектное, что можно было там сделать за отведенное время - вот такие узоры.
Дома моделируешь на листке, а потом за 15-20 минут нужно успеть закодить. После чего твоя программка умирает навсегда.
После чего твоя программка умирает навсегда.
Почему? У них же и дисковод 5-ти дюймовый был, да и на магнитофон можно было слить. Не?
Автору огромное спасибо! Получил большое удовольствие от статьи. Пожалуйста, продолжайте.
Комплексные числа и геометрические узоры