Визуализация реальных масштабов проклятия размерности

[cliver]

Кому интересно YT видео про "контринтуинивность" многомерных сфер

[kuza2000]

Про объем сферы тоже поразило. Завис осознать) Попытался придумать, как понять это "на пальцах".

Придумал)

Возмем круг, вписанный в квадрат. Есть площадь этого круга, и есть потери в углах.
Теперь возмем сферу, вписанную в куб. В её сечении, посредине, есть тот же круг, вписанный в квадрат, как и раньше. С такими же потерями площади. А теперь рассмотрим другие сечения. Во всех них будет круг меньшего размера, уже не вписанный, и с гораздо большей потерей площади. Чем дальше сечение от центра, тем больше потери.
Объем - это интеграл площадей этих сечений. Получается, для сферы потери объема в углах будут гораздо бОльшими, чем потреи площади в углах для круга. Именно из-за добавления нового измерения. Дальше измерения представить уже не можем, но можно предположить, что ситуация там повторяется...

[Annndruha]

Применение метода Монте—Карло это хорошо, но для этой задачи давно известны довольно простые аналитические решения: https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера

[mikko_kukkanen]

В статье по этой ссылке ситуация не очень наглядная, поскольку формулы даны для единичных гиперсфер, т.е. с радиусом 1. При этом "описанный" гиперкуб имеет сторону (стороны) 2, т.е. его объем растет с ростом размерности. Уважаемый mr-pickles дает более наглядную и весьма перадоксальную картину, поскольку "описанный" гиперкуб не меняет объема. Мне очень понравилось.

[speshuric]

Во-первых, соглашусь с комментатором выше, что использовать Монте-Карло с его большими требованиями по ресурсам для задачи с довольно простыми аналитическими решениями и оценками как-то странно. Но если хочется и нравится, то "pourquoi pas?".
Во-вторых, если у вас задача не физическая (а в них обычно нет сотен измерений вроде бы), то зачем ограничиваться евклидовой метрикой? Другие метрики могут оказаться более подходящими. Это не избавляет от некоторых контринтуитивных свойств многомерных пространств, но может сильно облегчить решение. В частности для пространства L∞ единичный куб тривиально совпадает со сферой (и, кстати, мне однажды это пригодилось во вполне прикладной задаче).