ru_vds 11 сен 2023 в 16:00

Как выработать интуитивное понимание логарифмов

Сложный

14 мин

39K

Блог компании RUVDS.comМатематика*МозгНаучно-популярное

Туториал

Перевод

Автор оригинала: thasso

Я восхищаюсь способностью некоторых людей вычислять логарифмические функции в голове. Мне логарифмы всегда казались «чёрным ящиком», который невозможно познать. Они являются фундаментальным строительным блоком математики, однако каждый раз, когда я вижу логарифмическое выражение, то сразу хватаюсь за калькулятор, а не решаю его вручную. Последние полгода я уделял время совершенствованию понимания логарифмов и учился вычислять результаты логарифмических уравнений вручную. В статье я расскажу, как я это делал.

Зачем этому учиться?

Для меня способность вычисления логарифмов от руки — крайне нужный навык. Количество концепций, которые мы храним в рабочей памяти, ограничено, поэтому логично будет освоить максимально много концептуальных строительных блоков. Развив в себе хорошее интуитивное понимание логарифмических выражений, вы будете ощущать себя бесконечно увереннее в работе с уравнениями, включающими в себя логарифмы, и сможете справляться с уровнем сложности, который раньше считали немыслимым. А ещё они будут меньше пугать или отвлекать вас, когда встретятся в каком-то другом контексте.

С другой стороны, я думаю, можно многое сказать в пользу эстетичности выполнения вычислительно сложных операций, не имея никаких инструментов, за исключением систематической аналитической мысли.

Во-первых, по каким причинам мы не считаем логарифмы интуитивно понятными? Чтобы ответить на этот вопрос, мне кажется, будет полезным порассуждать о математических операциях с точки зрения вычисляемой ими функции и обратной ей функции. Например, при сложении $inline$ мы получаем значение $inline$ из $inline$ и $inline$ , а обратной сложению функцией будет один из аргументов: $inline$ . Таблицу различных примеров для множества функций и накладываемых на них ограничений можно посмотреть в Википедии. Можно заметить, что на любом уровне сложности обратную функцию в общем случае сложнее вычислить в голове или от руки, чем исходную. Обратная функция — это обычно более абстрактная операция, чем исходная, так как сложность базовой операции увеличивается. Например, вычитание часто сложнее выполнить вручную, чем сложение, а умножение обычно сложнее, чем сложение и вычитание.

Долгое время пределом вычислений (или, скорее аппроксимаций), которые я мог получить в голове, были квадратные корни. Скорее всего, это было вызвано тем, что в немецкой старшей школе нас заставляли запоминать квадраты, а значит, и квадратные корни всех чисел от 0 до 20. Позже это послужило отправной точкой для изучения парабол, многочленов и так далее.

Не помню, скучны ли мне были эти вводные занятия, но уверен, что многим людям не нравилось бесконечно выполнять простые операции, снова и снова применяя одну и ту же операцию. Эта методика довольно утомительна, но, похоже, запоминание большого количества значений распространённых функций, а затем и их взаимосвязей полезно для построения базы, на которой можно выстроить более глубокое понимание и улучшить интуицию. Кроме того, необходимо запомнить несколько примеров, чтобы аппроксимировать значения сложных функций без калькулятора за приемлемое время.

Ранее та же методика была использована для сложения, вычитания, умножения и деления. Сначала нам давали общее понимание, а затем мы какое-то время зубрили, чтобы прочувствовать концепцию. Это определённо не является наилучшей стратегией обучения¹, но подчёркивает важность достижения того уровня, на котором вам больше не приходится задумываться о базовых операциях. Они просто остаются в голове, готовые к работе.

[1] Многим студентам настолько не нравится такой способ обучения, что они полностью теряют интерес к математике.

Например, чему равен квадратный корень из $inline$ ? Не зная, как алгоритмически вычислить наилучшую аппроксимацию $\sqrt{17}$ , мы можем сделать достаточно точную интуитивную догадку, положившись на знание квадратных корней. Мы запомнили, что $\sqrt{16} = 4$ , что квадрат следующего целого числа после $inline$ равен $inline$ и что функция $inline$ непрерывна. На основании этих знаний мы можем быстро ответить, что $\sqrt{17}$ должно находиться где-то в нижней части интервала $inline$ .

Это уже довольно точно, но давайте продолжим. Чтобы уточнить нашу догадку, не тратя время на случайные (в общем случае) догадки, мы можем аппроксимировать $inline$ для $4 \leq x \leq 5$ как линейную функцию. На основании этого мы можем прийти к выводу, что так как $inline$ , а $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$ , то $\sqrt{17} = \sqrt{16 + 1} \approx 4 + \frac{1}{9}$ . Все эти вычисления можно легко выполнить в голове или набросать на листке бумаги. На рисунке ниже проиллюстрировано моё объяснение. Стоит заметить, что для этого не требуются вычисления, которые сложно выполнить от руки.

Надеюсь, вам понятно, почему это так восхитительно! Просто зазубрив несколько примеров значений и усвоив взаимосвязи между операциями, можно делать очень быстрые догадки о довольно сложных вычислениях. Чтобы подтвердить моё утверждение, давайте выясним, насколько близко мы подобрались. $4 + \frac{1}{9} \approx 4.111$ , а $\sqrt{17} = 4.123$ : наша догадка отличается от правильного ответа всего на $inline$ . Представьте, что вы бы могли так же быстро аппроксимировать $\log_{10}(64)$ !

Степени, корни и логарифмы

Люди иногда путаются во взаимосвязях между степенями, корнями и логарифмами. Некоторые распространённые операции наподобие сложения и умножения коммутативны, но не возведение в степень. Коммутативность — это когда $inline$ и $a \cdot b = b \cdot a$ : мы можем свободно менять порядок операндов. Но со степенями всё не так. В общем случае, $inline$ не эквивалентно $inline$ ². Мы можем показать, что возведение в степень не коммутативно, выбрав пример, в котором это свойство не выполняется: $3^4 = 81 \neq 4^3 = 64$ .

[2] На самом деле, только два отличающихся числа n и m удовлетворяют требованию $inline$ , это $inline$ .

То, что возведение в степень не коммутативно, позволяет определить два способа отмены возведения в степень: корень n-ной степени и логарифм. Это может показаться неожиданным, ведь мы так привыкли к коммутативным операциям наподобие сложения и умножения, имеющим только одну обратную операцию.

Допустим, у нас есть операция возведения в степень $inline$ , где $inline$ и $inline$ — положительные вещественные числа, $b \neq 1$ , а $inline$ — положительное целое. Если мы знаем значения $inline$ и $inline$ , то корень n-ной степени даёт нам $b = \sqrt[n]{x}$ . В противном случае, если мы знаем значения $inline$ и $inline$ , то логарифм $inline$ по основанию $inline$ даёт нам значения показателя степени $n = \log_b(x)$ .

И корень n-ной степени, и логарифм получают на входе результат возведения в степень. Их различает отсутствующая часть, которую они определяют. Логарифмы можно использовать для вычисления показателя степени по результату и основанию. Корень n-ной степени получает результат и показатель степени и вычисляет основание.

Лично мне лучше понять взаимосвязь между этими тремя функциями помог следующий рисунок.

Он взят из немецкого учебника математики Handbuch Mathematik³ (Справочник по математике). Подпись: «Взаимосвязь между степенью, корнем и логарифмом, или между значением степени, основанием и показателем степени». Эта иллюстрация показывает треугольную связь между этими тремя функциями, которая очень важна. Та же самая идея использована в ответе на Stack Exchange, предлагающем альтернативную запись для степеней, корней и логарифмов, подчёркивающих эту связь.

[3] Scholl, W., & Drews, R. (1997). Handbuch Mathematik. Falken.

Определение логарифмов

Допустим, у нас есть операция возведения в степень, где $inline$ , где $inline$ , $inline$ и $inline$ — вещественные числа. Примем, что $inline$ и $inline$ положительны (исключим 0), а $b \neq 1$ . Для такой операции возведения в степень логарифм $inline$ по основанию $inline$ определяется так

$\log_b(x) = y ~~ \Leftrightarrow ~~ b^y = x\text{.}$

Если в возведении в степень $inline$ мы знаем $inline$ и $inline$ , то логарифм $inline$ по основанию $inline$ даст нам неизвестный показатель степени. Из этого определения мы получаем следующие тождества⁴:

$\text{(1)} ~~~ x = b^{\log_b(x)} ~~~~~~ \text{(2)} ~~~ x = \log_b({b^x})\text{.}$

И то, и другое критически важно. В идеале их следует вспоминать каждый раз, когда вам нужно решать логарифмическое уравнение. Хотя они описывают фундаментальные взаимосвязи в логарифмической и степенной форме, их обратность усложняет рассуждения о них.

[4] Knuth, E. (1997). The art of computer programming: Fundamental algorithms (3rd ed., Vol. 1). Addison Wesley Longman Publishing Co., Inc.

Давайте начнём с осознания $x = b^{\log_b(x)}$ . Чтобы разбить уравнение на части, обозначим логарифм в показателе степени $a = \log_b(x)$ . Это значит, что $inline$ — это показатель степени по основанию $inline$ , такой, что $inline$ . При таком косвенном описании легко понять, почему уравнение должно быть истинным. Подумайте об этом так: «Возведём $inline$ в степень $inline$ так, чтобы $inline$ удовлетворяло свойству $inline$ .»

Второе уравнение ( $x = \log_b(b^x)$ ) понять проще. Мне нравится задавать себе вопрос: «Каков показатель степени $inline$ по основанию $inline$ , такой, что $inline$ ? Это $inline$ !».

Исходя лишь из этого знания, мы также сможем вывести значения некоторых логарифмических функций. Например, каково значение $\log_a(a)$ ? Так как $inline$ , мы можем переписать это как $\log_a(a^1)$ или эквивалентно $\log_a(a^x)$ при $inline$ . Теперь из второго тождества очевидно, что ответ равен 1. Та же методика использования правил показателей степеней работает и для $\log_a(1)$ . Если мы перепишем это таким же образом, подставив $inline$ вместо $inline$ , то получим $\log_a(a^0) = 0$ .

▍ Умножение как сложение

Ниже показано ещё одно центральное тождество, открывающее нам множество возможностей при вычислении логарифмов вручную.

$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) ~~~~ \text{if} ~ y > 0$

Доказательство может быть построено из двух представленных выше тождеств и правил показателей степеней. Мы начинаем с использования первого тождества $x = b^{\log_b(b)}$ , чтобы подставить $inline$ и $inline$ в левую часть уравнения:

$\log_b(x \cdot y) = \log_b(b^{\log_b(x)} \cdot b^{\log_b(y)})\text{.}$

Воспользовавшись законом показателей степеней, гласящим, что $x^a \cdot x^b = x^{a + b}$ , мы можем упростить это до

$\log_b(b^{\log_b(x)} \cdot b^{\log_b(y)}) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) \text{.}$

Наконец, второе тождество $x = \log_b({b^x})$ используется для дальнейшего упрощения:

$\log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y) \text{.}$

Говорят, что Джон Непер вывел это уравнение в 1614 году, и оно быстро стало знаменитым, потому что позволяло редуцировать сложные умножения до простых сложений. Вместо выполнения самого умножения, можно просто поискать значения $\log_b(x)$ и $\log_b(y)$ , а затем сложить их. Это одна из методик, которые мы используем позже для решения логарифмических уравнений вручную. Вместо того чтобы искать значения в таблице логарифмов, мы запомним несколько самых важных.

▍ Деление как вычитание

Закон показателей степеней также гласит, что $x^a / x^b = x^{a - b}$ . Следовательно, приведённое выше уравнение работает и для деления:

$\log_b(x / y) = \log_b(x) - \log_b(y) ~~~~ \text{if} ~ y > 0 \text{.}$

▍ Возведение в степень как умножение

Есть ещё один закон возведения в степень, который гласит, что $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ . На основании этого мы получаем следующее взрывающее мозг уравнение:

$\log_b(x^c) = c \cdot \log_b(x)$

Его можно доказать, задав сначала вспомогательную переменную $y = \log_b(x)$ , такую, что $inline$ (первое тождество). Подставив $inline$ вместо $inline$ , мы получим $\log_b((b^y)^c)$ . Далее мы применим этот закон возведения в степень:

$\log_b((b^y)^c) = \log_b(b^{y \cdot c})\text{.}$

Наконец, мы снова применим второе тождество из определения и подставим исходное определение $inline$ :

$\log_b(b^{y \cdot c}) = y \cdot c = c \cdot \log_b(x)\text{.}$

▍ Смена основания

Это последняя концепция, которую нужно освоить перед вычислением логарифмов вручную. Способность смены основания логарифмического выражения очень ценна для нас, поскольку означает, что нам нужно будет запоминать лишь относительно малое множество значения, для одного основания. В дальнейшем мы сможем выполнять преобразования между основаниями, а значит, и решать выражения для различных оснований.

$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)} ~~~~ \text{if} ~ a > 0$

Мы снова начинаем с задания переменной $y = \log_b(x)$ . Важно вспомнить, что это используется только для упрощения последующих уравнений и их освоения. Мы можем преобразовать левую часть уравнения в степенной вид.

$\log_b(x) = y ~~ \Leftrightarrow ~~ b^y = x$

Далее мы продолжаем, беря логарифм в обеих частях по нужному нам основанию $inline$ . Как и $inline$ , $inline$ может быть любым положительным вещественным числом, за исключением $inline$ .

$\begin{align*} b^y &= x & & | ~ \log_a\\ \log_a(b^y) &= \log_a(x) \end{align*}$

Мы можем ещё преобразовать это уравнение, воспользовавшись тождеством «возведение в степень как умножение».

$\begin{align*} \log_a(b^y) &= \log_a(x)\\[2pt] y \cdot \log_a(b) &= \log_a(x) \end{align*}$

Последний этап заключается в изолировании переменной $inline$ и в подстановке вместо неё исходного $\log_b(x)$ .

$\begin{align*} y \cdot \log_a(b) &= \log_a(x) & & | ~ \div \log_a(b)\\[2pt] y &= \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\\[2pt] \log_b(x) &= \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)} \end{align*}$

Возможно, стоит несколько составить флэш-карточек, чтобы запомнить различные тождества или правила, которые можно использовать для преобразования логарифмических уравнений. Не записывайте на одну карточку слишком много информации. Вместо этого попробуйте разделить разные выкладки на множество карточек.

И это всё, что я хотел изложить в этом посте с точки зрения теории. Очевидно, что об алгоритмах нужно знать гораздо больше, но я решил опустить это из соображений краткости. Тем не менее, всё вышеизложенное даёт нам хороший фундамент для развития в будущем. Ещё важнее то, что этого достаточно для вычисления значений множества логарифмических выражений.

Запоминаем таблицу логарифмов

Как говорилось выше, в момент своего открытия логарифмы стали огромным прорывом, потому что они существенно упрощали сложные вычисления. До появления компьютеров это было очень ценно. Значения множества различных логарифмических выражений вычислялись один раз и собирались в так называемые логарифмические таблицы. Преобразовав задачу, вы сможете поискать в таблице ближайшее значение и получить достаточно точное приблизительное решение.

Разумеется, запоминание такого количества чисел — это уже перебор. Это не невозможно и, конечно, повысит точность наших аппроксимаций, но для большинства людей не стоит затраченных усилий. Следовательно, мы должны ограничить множество значений, чтобы запоминать базовый минимум.

Можно преобразовать основание любого логарифма в известное нам основание, если мы знаем значение логарифма по исходному основанию к нужному основанию. Это значит, что нам достаточно лишь запомнить набор логарифмов по одному основанию, а также некоторые логарифмы по другим основаниям к тому же выбранному нами основанию. Я решил выбрать логарифмы по основанию $inline$ и преобразования между натуральными и двоичными логарифмами, потому что они используются чаще всего. Интервал, который нам нужно запомнить, тоже довольно мал, потому что умножения можно преобразовать в сложения. То есть достаточно знать значения $\log_{10}(8)$ и $\log_{10}(10)$ , чтобы вычислить $\log_{10}(80)$ , потому что

$\log_{10}(80) = \log_{10}(10 \cdot 8) = \log_{10}(10) + \log_{10}(8) \text{.}$

Если вы хотите усложнить себе задачу, то можете выбрать и другие степени точности. Как сказал kqr, можно добиться вполне удовлетворительных результатов всего с одним разрядом точности. Для полноты я также добавил к каждому значению вариант с повышенной точностью. Логично будет запоминать значения с повышенной точностью для тех логарифмов, которые вы будете использовать чаще всего. Следовательно, по умолчанию точность для $\log_{10}(e)$ и $\log_{10}(2)$ немного выше.

логарифм	точность основания	погрешность основания	повышенная точность	погрешность повышенной точности
$\log_{10}(1)$	0	/	/	/
$\log_{10}(10)$	1	/	/	/
$\log_{10}(e)$	0.43	1.00 %	0.4343	0.00 %
$\log_{10}(2)$	0.30	0.34 %	0.3010	0.01 %
$\log_{10}(3)$	0.5	4.80 %	0.477	0.03 %
$\log_{10}(4)$	0.6	0.34 %	0.602	0.01 %
$\log_{10}(5)$	0.7	0.15 %	0.699	0.00 %
$\log_{10}(6)$	0.8	2.81 %	0.778	0.02 %
$\log_{10}(7)$	0.8	5.34 %	0.845	0.01 %
$\log_{10}(8)$	0.9	0.34 %	0.903	0.01 %
$\log_{10}(9)$	1.0	4.80 %	0.954	0.03 %

Как видите, для каждого логарифмического выражения есть значение с погрешностью менее 1% (выделенное жирным). Лично я решил запомнить следующую последовательность значений. Мне кажется, из-за их упорядоченности их относительно легко запомнить. Недостаток заключается в том, что часть значений имеет погрешность выше 1%. Также они подчёркивают характеристику логарифмического роста: чтобы выходное значение увеличивалось на постоянную величину, входное значение должно увеличиваться с каким-то коэффициентом.

$inline$	$inline$	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
$\log_{10}(x)$	0.4343	0.0		0.3		0.5		0.6		0.7		0.8		0.85		0.9		0.95		1.0
			$\underset{+0.3}{⤻}$		$\underset{+0.2}{⤻}$		$\underset{+0.1}{⤻}$		$\underset{+0.1}{⤻}$		$\underset{+0.1}{⤻}$		$\underset{+0.05}{⤻}$		$\underset{+0.05}{⤻}$		$\underset{+0.05}{⤻}$		$\underset{+0.05}{⤻}$

Повторюсь, я бы рекомендовал для запоминания этих значений написать флэш-карточки. Если вас не очень волнует точность, то можно упростить себе задачу, использовав в нижней таблице более регулярные значения. В противном случае используйте для выбора верхнюю таблицу.

Самое сложное

Теперь вы знаете основную часть информации. Осталось навсегда сохранить всё это в голове. Лучше всего начать с поиска упражнений и их выполнения. Например, я нашёл вот эти.

В начале статьи я сказал, что вы научитесь быстро вычислять вручную $\log_{10}(64)$ . Теперь, когда мы неплохо понимаем, с чем имеем дело, это должно быть не так сложно.

Давайте подумаем: нам нужно разбить $inline$ на выражение, состоящие из известных нам логарифмов. Это несложно, например, $64 = 8 \cdot 8$ . Всё остальное делается легко:

$\log_{10}(64) = \log_{10}(8 \cdot 8) = \log_{10}(8) + \log_{10}(8) \approx 0.9 + 0.9 = 1.8\text{.}$

Лишь написав это, я испытал прилив восхищения и благоговения. Давайте проверим, насколько точны мы были на этот раз. $\log_{10}(64) = 1.8062$ , что значит, что мы ошиблись всего на $inline$ ! Мы не будем также точны во всех случаях, и многие выражения сложнее, чем это, но меня сильно поразило, насколько это просто.

Выше я говорил о том, как в истории математики логарифмы использовали для ускорения умножения больших множителей. Теперь мы можем использовать и эту методику. Этот ответ на Stack Exchange является хорошим примером того, как это сделать. Такое использование логарифмов можно считать устаревшим, ведь теперь у нас есть компьютеры. Но если вам интересно, как это делать, то точно стоит прочитать этот ответ.

Наконец, я хотел бы показать вам, как использовать обретённые знания для вычисления любого показателя степени. Например, давайте рассмотрим следующее уравнение: $inline$ . Здесь неизвестным является показатель степени. По определению, нам нужно использовать здесь логарифмы.

$\begin{align*} 0.5^x &= 0.1 & | ~~ \log_{0.5}\\[2pt] x &= \log_{0.5}(0.1) \end{align*}$

На этот раз нам нужно сменить основание логарифма на 10. После того как мы сделаем это, у нас получатся значения, которые мы запомнили.

$\begin{align*} x &= \log_{0.5}(0.1)\\[2pt] x &= \frac{\log_{10}(0.1)}{\log_{10}(0.5)}\\[2pt] x &= \frac{\log_{10}(1 / 10)}{\log_{10}(1 / 2)}\\[2pt] x &= \frac{\log_{10}(1) - \log_{10}(10)}{\log_{10}(1) - \log_{10}(2)}\\[2pt] x &\approx \frac{0 - 1}{0 - 0.3}\\[2pt] x &\approx \frac{-1}{-0.3}\\[2pt] x &\approx 3.33 \end{align*}$

Заключение

В этом посте я хотел поделиться с вами радостными моментами озарения, которые ощущал в процессе углублённого освоения логарифмов. Здесь я в основном сделал упор на то, как работать с логарифмическими уравнениями и решать их вручную. Это далеко не полная информация о логарифмах: вы можете узнать об истории, современном применении и в особенности об их связи с функцией возведения в степень. Тем не менее, я попытался привести подробные объяснения и, надеюсь, они покажутся вам понятными.

Telegram-канал с розыгрышами призов, новостями IT и постами о ретроиграх 🕹️

Теги:

Хабы: