Математика *

Пока писал статью про алгоритм Дойча https://habr.com/p/759352/, зашёл на его сайт в блог https://www.daviddeutsch.org.uk/2013/10/monty-hall-problem/

Monty Hall Problem

October 26, 2013

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Consider a different problem first: you’re faced with the same three boxes but now you can choose any one box OR any two boxes, and in the latter case receive the better of the two contents. It’s always better to choose two boxes, right? But the rules of the original game allow you to choose two! Here’s how. First point to the remaining box i.e. the one you’re not going to choose. Then Monty will open the worse of the two boxes you chose, and you take the better one.

Решим эту задачку

Рассмотрим всё пространство исходов = комбинация расположения выигрыша за дверью (с вероятностью 1/3) и последовательностью первоначального выбора-открывания двери ведущим и окончательного выбора

Пусть (1,0,0) - комбинация приза

возможные варианты последовательностей, признак изменения выбора,результат

121 01

123 00

131 01

132 00

232 00

231 01

323 00

321 01

Для других комбинаций приза аналогично = путём циклического сдвига

В результате

00 2*3

01 2*3

10 2*3

11 2*3

S(00)=S(01)=S(10)=S(11)

то есть вероятность выигрыша не зависит от изменения или не изменения первоначального выбора, она как была в 1/3, так и осталась 1/3

Вывод - не парьтесь по пустякам!

Сколько раз звонить, чтобы дозвониться. Наша странная реальность и теория вероятности. Является ли попытка дозвониться аналогом подбрасывания монеты

Бывают ситуации когда надо дозвониться до какой-то организации или человека, но телефон адресата то занят, то не отвечает, то вне зоны доступа и т.д. Мне попались любопытные данные внутренней статистики от одного из провинциальных операторов связи. Получается оптимальное количество попыток 4..7, а больше 15 раз делать попыток дозвониться теряет смысл, вероятность дозвона сильно уменьшается. И всё-таки это не подбрасывание монетки.

Как верно может быть неправильно. У нас есть сообщество, где мы решаем задачи школьной математики из разных стран. И вот там попалась задача, как на картинке: квадрат разбит особым образом на четыре треугольника, площади трёх знаем, найти площадь четвёртого.

Задача простая, можно решать разными способами. Один из участников сразу выдал в комментарии "16 - 2 - 4 - 3 = 7". С короткой припиской "попытаемся решать умным перебором, берем сразу сторону 4, проверка показывает, что подходит и решение единственное". И вот, уже через которое время, стали поступать другие способы решения, более длинные и более обоснованные. И другие люди стали писать, что быстрое первое решение неверно, так задачи решать нельзя.

И вот у меня как и у человека, предложившего первое решение, вопрос. А почему его решение не подходит? Что запрещает решать задачи методом умного перебора, заранее выбирая ответ среди правдоподобных значений, при необходимости корректируя его в нужном направлении с обоснованиями? Ведь в школьной математике очень многие задания подобраны так, что только Ad Hoc и решаются, так чем этот случай плох?

Часто рассказывают анекдот про математика, который волей случая оказался на конкурсе работ биологов. Там он заслушал доклад про изумительное наблюдение, подкреплённое множеством замеров: длина окружности муравейника примерно в три раза превосходит его диаметр.

Хорошо знают также ещё один подобный случай. В 1994 году выходит статья «Математическая модель для определения полной площади под графиком толерантности к глюкозе и под другими кривыми».

Статья предлагает разбить график на небольшие полосочки и складывать площади прямоугольников и прямоугольных треугольников. По сути, это метод трапеций.

В статье полученное наивно названо именем автора — «метод Тай». Позднее в ответ на критику она объяснит, что такое название дали коллеги и что она не пыталась выставить наблюдение в качестве великого открытия.

Научная работа известная, у неё 420 цитирований, чаще всего саркастических. К примеру, в том же 1994 году эти прозрения раскритиковали, указав, что это приблизительное вычисление хорошо известными математическими методами.