Youtube-канал ones and zeros опубликовал визуализации нахождения маршрута между двумя точками в реальных городах (Чикаго и Рим) при помощи A*. Алгоритм A* — это рекурсивный алгоритм поиска пути в графах на основе эвристик, изобретённый в 1968 году как усовершенствованная версия алгоритма Дейкстры. Этот алгоритм активно применяется в разработке игр.
Статья про A* в Википедии: ссылка
Для решения задачи наименьших квадратов с двумя переменными предлагается круговой метод оптимизации. Задано отображение из плоскости в m-мерное пространство, координатные функции которого могут удовлетворять, например, свойству покоординатной монотонности, а также свойству замедления роста: каждая координата растет тем слабее, чем больше ее величина. Задача наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов m функций, зависящих от двух переменных.
Цель - найти все оптимумы, не вычисляя производные. Пусть задано два начальных приближения a, b. Первый шаг алгоритма: найти решение линеаризованной задачи наименьших квадратов в этом направлении. В результате получится точка c. Второй шаг алгоритма: решить задачу линейного поиска относительно угла. Развернем вектор bc на такой угол, в котором значение целевой функции станет локально минимальным. Для решения этой задачи можно использовать метод парабол, если вычислить значения целевой функции при развороте вектора, скажем, на ±5° и приблизить зависимость от угла многочленом второй степени. Далее полученная точка становится вторым приближением, а второе приближение с предыдущего шага - первым.
Метод вырезает на плоскости треугольники, в которых не должно оказаться оптимума, хотя этот вопрос открыт. Таким образом, запустив алгоритм из всех углов объемлющего прямоугольника, можно получить информацию о том, где уже не следует искать оптимумы. Алгоритм удобен нормированностью углов и может быть обобщен на более высокие размерности.
Профессор Университета Дрекселя Дарий Гринберг выложил на arXiv.org 422-страничный конспект по теории графов. Документ на английском «An introduction to graph theory» рекомендует себя как материал на курс Math 530 в Дрекселе длиной в четверть. Текущая редакция датируется 2 августа 2023 года.
Рассматриваются простые графы и мультиграфы, эйлеровы циклы, гамильтоновы циклы, остовные деревья, матричная теорема о деревьях, теорема де Брёйна — Эренефест — Смита — Татта, правильная раскраска, теорема Турана, двудольные графы, теорема Менгера и теорема Галлая — Мильграма. Также включены около сотни задач (без решений).
Гринберг вообще любит свободно распространять информацию. У себя на странице на сайте университета он непринуждённо ссылается на книги на пиратской библиотеке Library Genesis.
Постановка задачи:
Бесконечное число математиков заходят в бар.
Первый просит пол кружки пива, второй треть, третий четверть...
Бармен отвечает: У меня столько пива нет.
Вот программа, которая это считает:
const бармен = function (математиков) {
let пиво = 0;
let счётчик = 1;
let делитель = 2;
while (счётчик <= математиков) {
пиво += 1 / делитель++;
счётчик++;
}
return пиво;
};Вот пиво в зависимости от количества математиков:
1 - 0.5
10 - 2.02
100 - 4.197
1 000 - 6.486
10 000 - 8.788
100 000 - 11.09
1 000 000 - 13.393
10 000 000 - 15.695
100 000 000 - 17.998
```
С каждым разрядом, начиная от 10 000 математиков, прирост пива составляет 2,3 литра.
Вот вариация данной задачи:
Бесконечное число математиков заходит в бар.
Первый заказывает одно пиво, второй - половину кружки, третий - четверть.
Бармен отвечает: Вот дурачьё! - И наливает две кружки.
Предлагайте Ваши варианты задач про пиво с математиками. Пишите интересные наблюдения.
Я прочитал много математических статей про числа и мне пришли в голову бредовые мыслт. Некоторые числа оказались трудно находимыми. Например ![\sqrt[]{-1}](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/d27/5f6/8d1/d275f68d18b4b3fd2221d3261dadb397.svg)
, долго представлял для математиков большую проблему. Пока не сошлись на мнимой единице.
Следующее число, которое трудно найти это сумму находящегося ряда: x=1-1+1-1... Дело в том, что в зависимости от методов подсчёта мы можем получить любой число. Ряд бесконечный, мы можем собрать бесконечные варианты, которые могут нам дать любое целое число.
Так почему бы и не отметить это так, как надо: x=Z. Z - это любое целое число. Намного легче было бы найти, если бы мы пытались узнать к чему стремиться сумма этого ряда. Тут ответ ясен: 1/2. При этом сумма ряда и стремление суммы ряда это разные операции.
Далее, деление на ноль. Есть 5/x=0, чему равно x? x=5/0=0. Далее y*0=7, чему равен y? Ответ: этого числа нет на привычной нам числовой прямой. А где оно? Оно находится на прямой сингулярных мнимых нулевых дробей и выглядит так: 5/0. Если есть мнимая единица, почему бы не быть мнимой нулевой дроби?
Тот ещё бред сознания, но почему бы и нет?
Пока писал статью про алгоритм Дойча https://habr.com/p/759352/, зашёл на его сайт в блог https://www.daviddeutsch.org.uk/2013/10/monty-hall-problem/
Monty Hall Problem
October 26, 2013
https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
Consider a different problem first: you’re faced with the same three boxes but now you can choose any one box OR any two boxes, and in the latter case receive the better of the two contents. It’s always better to choose two boxes, right? But the rules of the original game allow you to choose two! Here’s how. First point to the remaining box i.e. the one you’re not going to choose. Then Monty will open the worse of the two boxes you chose, and you take the better one.
Решим эту задачку
Рассмотрим всё пространство исходов = комбинация расположения выигрыша за дверью (с вероятностью 1/3) и последовательностью первоначального выбора-открывания двери ведущим и окончательного выбора
Пусть (1,0,0) - комбинация приза
возможные варианты последовательностей, признак изменения выбора,результат
121 01
123 00
131 01
132 00
232 00
231 01
323 00
321 01
Для других комбинаций приза аналогично = путём циклического сдвига
В результате
00 2*3
01 2*3
10 2*3
11 2*3
S(00)=S(01)=S(10)=S(11)
то есть вероятность выигрыша не зависит от изменения или не изменения первоначального выбора, она как была в 1/3, так и осталась 1/3
Вывод - не парьтесь по пустякам!
Сколько раз звонить, чтобы дозвониться. Наша странная реальность и теория вероятности. Является ли попытка дозвониться аналогом подбрасывания монеты
Бывают ситуации когда надо дозвониться до какой-то организации или человека, но телефон адресата то занят, то не отвечает, то вне зоны доступа и т.д. Мне попались любопытные данные внутренней статистики от одного из провинциальных операторов связи. Получается оптимальное количество попыток 4..7, а больше 15 раз делать попыток дозвониться теряет смысл, вероятность дозвона сильно уменьшается. И всё-таки это не подбрасывание монетки.
Как верно может быть неправильно. У нас есть сообщество, где мы решаем задачи школьной математики из разных стран. И вот там попалась задача, как на картинке: квадрат разбит особым образом на четыре треугольника, площади трёх знаем, найти площадь четвёртого.
Задача простая, можно решать разными способами. Один из участников сразу выдал в комментарии "16 - 2 - 4 - 3 = 7". С короткой припиской "попытаемся решать умным перебором, берем сразу сторону 4, проверка показывает, что подходит и решение единственное". И вот, уже через которое время, стали поступать другие способы решения, более длинные и более обоснованные. И другие люди стали писать, что быстрое первое решение неверно, так задачи решать нельзя.
И вот у меня как и у человека, предложившего первое решение, вопрос. А почему его решение не подходит? Что запрещает решать задачи методом умного перебора, заранее выбирая ответ среди правдоподобных значений, при необходимости корректируя его в нужном направлении с обоснованиями? Ведь в школьной математике очень многие задания подобраны так, что только Ad Hoc и решаются, так чем этот случай плох?
Часто рассказывают анекдот про математика, который волей случая оказался на конкурсе работ биологов. Там он заслушал доклад про изумительное наблюдение, подкреплённое множеством замеров: длина окружности муравейника примерно в три раза превосходит его диаметр.
Хорошо знают также ещё один подобный случай. В 1994 году выходит статья «Математическая модель для определения полной площади под графиком толерантности к глюкозе и под другими кривыми».
Статья предлагает разбить график на небольшие полосочки и складывать площади прямоугольников и прямоугольных треугольников. По сути, это метод трапеций.
В статье полученное наивно названо именем автора — «метод Тай». Позднее в ответ на критику она объяснит, что такое название дали коллеги и что она не пыталась выставить наблюдение в качестве великого открытия.
Научная работа известная, у неё 420 цитирований, чаще всего саркастических. К примеру, в том же 1994 году эти прозрения раскритиковали, указав, что это приблизительное вычисление хорошо известными математическими методами.