О современных методах околоземной астрономии

    Вступление лирическое


    Если бы античный человек попал в наше время и взглянул на ночное небо, он бы наверное начал немедленно молиться своим богам, а может быть подумал, что пришёл судный день. Для нас, людей, чьё небо скрыто за световым загрязнением городов и деревень, такое утверждение может показаться абсурдным: «Звёзды такие же звёзды, что с них взять то?». Но если разобраться — оно обретёт смысл.
    image
    Выйдете вечером на природу и посмотрите в небо. Ничего не видите? Смотрите внимательнее! Практически в любой момент по небу будут лететь 2-3 ярких точки, а если присмотреться, то можно найти ещё с пяток более медленных и тусклых. Иногда (раза 3-4 за ночь) вам может посчастливиться и вы увидите ярчайшую вспышку на небе, лишь луна сравниться с ней по яркости. Всё это достижения человеческого прогресса — спутники. Для античного человека, для которого небо было символом постоянности, которое он видит над собой из ночи в ночь всё это мельтешение было бы воспринято как что-то противоестественное.

    Вступление прагматическое


    Хаброюзер — он не античный человек и в звёздах в большинстве своём не разбирается. И даже если воспользуется специальным софтом и литературой , то научиться разбираться на уровне древних ему потребуется не одна неделя втыкания в небо и зубрёжки античных легенд. Но, Хаброюзер, — он человек современный, технически подкованный и в своём большинстве разбирается в науке. А это значит, что среди древних он бы смог прослыть мудрецом — предсказателем, умеющим предсказывать появление этих новомодных летающих звёзд. Если бы знал, как это сделать. А вот именно о том как это сегодня делается я тут и расскажу.



    Введение


    Всё, что я тут буду писать это достаточно известные алгоритмы, многие из которых используются в других проблемах. Большинство астрономов с ними так или иначе знакомы, а особо продвинутые даже знают как их использовать. Для этих людей, иже они будут читать сей опус, сразу оговорюсь: среди множества всех алгоритмов я выбираю те, которые на мой взгляд наиболее просты и наиболее интересны. Если вы предложите какую-то из частей переписать более просто/интересно — я с удовольствием размещу вашу версию. Так же, сразу оговорюсь, что всё, что тут находится относится именно к «Научно-популярному», вдаваться в глубины матана я не буду. Тем, кому не интересна научно-популярная часть, можете сразу перейти к концовке, там список программ с которыми можно поиграть.
    Задача прогнозирования траектории спутников появилась ещё давным-давно, с запуском первого спутника. Но в те времена нельзя было ещё точно предположить влияющие на полёт факторы, поэтому прогнозирование было грубым. Но со временем эта наука развилась и была способна создать такие системы, как GPS, которые позиционируют вас с точностью до нескольких метров.
    Других научно-популярных статей по тематике я не видел не на хабре нигде в других местах. Хотя специализированной инфы полно. А так как на компе валялись заготовки для одной методички, решил имеющуюся там инфу упростить, структурировать и выложить тут.

    Основы


    Наверняка, ещё в школе вам рассказали, что тела притягиваются друг к другу с силой:
    image

    Где m1, m2 — массы тел, а r — расстояние между ними. Я вас разочарую. В реальности этого обычно недостаточно. Конечно, каждый атом, находящийся в первом теле притягивает каждый атом второго тела именно по этой формуле. Результирующая этих сил не обязательно вычимсляется именно по этой формуле. Тела же могут иметь разную плотность, да и их форма может отличатся от идеальной сферы. Формула справедлива только если тела удалены друг от друга на расстояние r>>l, где l — линейные размеры тел. В случае, если расстояние до тела сравнимо с его размерами этот способ не может применяться для точных расчетов: поверхности Земли величина свободного ускорения g не постоянна и изменяется на пару процентов. Обходится эта проблема несколькими способами, которые сводятся приближению распределения масс Земли моделью.

    Модели Земли


    image

    Здесь я расскажу о двух самых классических моделях. Первая — задать Землю суммой точечных масс, положительных или отрицательных, распределённых по поверхности. Обычно эту модель используют для построения траектории взлетающих ракет, так как модель даёт неплохую точность в окрестности Земли. На большой высоте этот метод может дать достаточную точность при большом количестве вычислений, что считается неприемлемым.
    Второй способ чуть более сложен математически, зато даёт хорошие результаты на всём пространстве высот, кроме самых низких. Основан он на матане, который зовётся "сферические функции", но по сути имеет простое объяснение. Пусть у нас есть функция гравитационного потенциала в каждой точке пространства:
    image

    Где ρ — расстояние от точки Земли до нужной нам точки, а P — интересующая нас точка. Это трёхмерная функция гравитации Земли. В первом приближении она постоянна во времени по широте и долготе. Идеальным было бы один раз точно посчитать эту функцию и использовать в дальнейшем именно её, не вычисляя каждый раз. Но как задать такую функцию? Не массивом значений же! И именно тут приходит на помощь матан: а почему бы не приблизить функцию потенциала каким-нибудь набором функций, каким-нибудь разложением? И (о чудо!) такой класс функций в матане существует и называется сферическими функциями. Грубо говоря, это аналог разложения Фурье для сферических координат. Сферические функции ортогональны друг с другом и их пространство полно. Для любителей матана формула гравитационного потенциала через сферические функции:
    image

    где ϕ — широта точки, λ — ее долгота, a — радиус Земли, Pmn(x)- присоединенная функция Лежандра, которая определяется через полином Лежандра следующим образом:
    image

    Чтобы посчитать гравитационный потенциал в любой точке пространства достаточно знать коэффициенты S и C. Существует множество работ по их определению и в интернете есть много моделей.
    Если же посчитать этот потенциал на сфере постоянного радиуса и развернуть сферу в изображение, то получиться что-то такого плана:
    image

    Это изображение для 96 гармоник потенциала Земли. На изображении видны очертания континентов и Марианская впадина. Забавный факт: при построении моделей гармоник потенциала Земли часто не используется данные о гравитационной разведке Земли, а происходит анализ траекторий спутников. Поэтому приведённое изображение можно назвать «фотографией» Земли в гравитационном диапазоне. Эту картинку я упёр у одного из коллег, которые развлекались с этой моделью, но в инете полно других, иногда даже более полных изображений.

    Небесные тела


    image

    Вторым по значимости фактором при построении модели движения спутников является Луна. И неудивительно, достаточно посмотреть какой высоты приливы и отливы она вызывает. Но, если примерно посчитать ускорение падения спутника на Луну, то получиться всего a=3.3∙10-6. Если это ускорение действовало бы на 100 килограммовый спутник, то оно бы сумело поднять всего-лишь грузик в треть грамма на земле. И, не смотря на то, что сила такая маленькая, всего за один день прогноз траектории спутника, не учитывающий Луну обманет a∙t2/2 ≈ 100км.
    В хороших прогнозах используют и Солнце и Юпитер, но их воздействия значительно меньше тех, которые оказывает Луна.

    Солнечный ветер


    image

    Под понятием «Солнечный ветер» понимается всё то, что излучает нашё любимое солнце. Это и различные атомные и субатомные частицы и электроны и фотоны. В среднем, на том расстоянии, на котором находиться Земля от Солнца, давление солнечного ветра равно 9∙10-6 Н/м2. Это значит, что спутник массой 100 килограммов и площадью три квадратных метра за день уйдёт примерно на километр от расчётной орбиты. В принципе, для реальных спутников эта величина может быть больше, так как солнечный ветер может изменить наклон орбиты.
    Указанные параметры это средние параметры. Во время солнечных вспышек поток солнечного ветра может измениться в несколько раз. Так же, не учитывается то, что чем ближе к поверхности земли мы приближаемся, тем большая часть солнечного ветра блокируется магнитным полем и атмосферой Земли.
    В каталогах обычно для каждого спутника задаётся эффективная площадь, которую можно использовать для вычисления силы давления солнечного ветра, или даётся формула из которой можно вывести этот коэффициент.

    Атмосфера


    Чем ниже летает спутник, тем сильнее на него воздействует атмосфера. В отличие от гравитационных сил и сил солнечного ветра эта сила диссипативна и приводит к тому, что со временем спутник теряет энергию. Длительное воздействие этой силы приводит спутник к сходу. Формула для силы с которой воздействует атмосфера очевидна: image. В формуле p – плотность атмосферы, s – аэродинамический коэффициент спутника, а v – скорость и её модуль. Аэродинамический коэффициент спутника отражает эффективность, с которой спутник тормозит об атмосферу. Он пропорционален площади и обратно пропорционален массе. Обычно его задают в каталогах спутников.

    Вкратце этим исчерпываются основные силы, влияющие на спутники. Конечно, есть много более мелких сил и особенностей описанных сил. Но их значение не велико. Оно волнует только людей, непосредственно занимающихся конкретными применениями.
    А теперь перейдём к тому, как всё это склеить и спрогнозировать. Самым простым является интегральный метод. Он, безусловно, является самым точным, самым надёжным и самым… Медленным. Этот метод прост до безобразия. В каждой точке, в зависимости то точности, которая нам требуется, считаются до n-ой производной воздействующие силы, складываем их и аппроксимируем в следующую точку. В зависимости от n метод будет называться методом n-ого порядка точности. Самым классическим является метод Рунге-Кутты, это метод 4ого порядка.
    Второй метод магический. Из законов Кепплера известно: планеты двигаются по эллипсам. Применим это к спутникам. Но отметим следующее: любое из описанных воздействий что-то делает с эллипсом, по которому двигается спутник. Оно либо его сносит, либо разворачивает, либо уменьшает. А это значит, что путём магических и подгоночных коэффициентов можно преобразовать эллипсы во времени. Этот метод в зависимости от точности и области работы называется SGP, SGP4, SDP4, SGP8, SDP8. Именно из-за своей скорости и простоты он получил огромное распространение в любительской астрономии, хотя не применим для точных прогнозов.

    Что из всего этого получить и как с этим поиграться?


    Поиграться можно просто: использовать программы, предсказывающие траекторию спутника. А ночью можно за ними понаблюдать. Строго в указанное время и в указанном месте. Сделать это можно следующим образом.
    В первую очередь, есть несколько замечательных сайтов.
    www.heavens-above.com — на этом сайте вы задаёте свои координаты, после чего можно сразу увидеть все интересующие спутники: когда они пролетят над вами, какая у них магнитуда (для человеческого глаза видится без проблем обычно магнитуда ниже третей).
    Так же на сайте можно получить полный список «Iridium Flares», про которые было сказано вначале.
    www.calsky.com — сайт менее удобный чем прошлый, но зато на нём можно посмотреть «транзиты» спутников через Солнце и Луну. «Транзит» это пролёт на фоне. Например так:



    Так же, если хочется прогноза там, где нет интернета, есть пара оффлайновых программ. Самая понятная и интуитивная – Стэлариум. Он сразу нарисует спутник на небе и покажет отностиельно звёзд. Так же можно воспользоватся специализированными программами этой или этой.
    Ну а для любителей испытать всё на себе или помучатся – есть открытый код, который умеет делать прогнозирование. Для аналитического алгоритма код доступен здесь. Сразу на многих языках и во многих вариантах. Для интегрального прогноза с ходу открытого кода не нашёл, а свой давать не хочу) Если увижу — скину тут ссылку.
    AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

    Подробнее
    Реклама

    Комментарии 12

      +3
      Обычно даже не задумываешься, сколько всего над нами летает… И, если честно, тот факт, что спутники часто видно невооруженным глазом, стал для меня открытием. Нет, ну я слышал про вспышки, но считал, что это явление редкое и довольно случайное, а оказывается это все отлично отслеживается и прогнозируется.
      Спасибо за статью!

      Если это ускорение действовало бы на 100 килограммовый спутник, то оно бы сумело поднять всего-лишь грузик в треть грамма на земле.
      Фраза заставляет подвиснуть мозг на секунду. Имеется в виду «треть гс (грамм-силы)»?
        +2
        имеется ввиду, что F ≈ 3∙10-3 Ньютонам этого хватит чтобы поднять только треть грамма в поле притяжения Земли.
      • НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь
          +1
          На сверхнизкой орбите именно атмосфера будет основной составляющей.

          С нормальным интегрированием это целую статью писать надо)
          Сделаем так. С интегрированием первого порядка. Пусть t0 момент, когда мы знаем его координаты и начинаем считать. В этот момент спутник имеет положение x,y,z и составляющие скоростей vx, vy, vz. тогда через момент времени dt на момент t0+dt: x=x+vx∙dt, y=y+vy∙dt, z=z+vz∙dt. Для скоростей(нехорошо только получается, я потенциал тоже V обозначил, хотя и большой): vx=vx+Vx(x,y,z)/R(x,y,z), vy=vy+Vy(x,y,z)/R(x,y,z), vy=vy+Vy(x,y,z)/R(x,y,z).
          Где V?(x,y,z) — проекция потенциала Земли на соответствующую ось, а R(x,y,z) — расстояние от спутника до центра Земли. Потенциал вытаскиваем из формулы гравитационного потенциала поставив туда соответствующие коэффициенты.
          Но этот метод быстро разойдётся. Поэтому интегрируют методами более высоких порядков. Про самый классический (Рунге-Кутта) можно почитать тут и тут.

          В случае, если считаем не только действующую силу потенциала а и прочие возмущения вместо значения Vx(x,y,z)/R(x,y,z) берём соответственно V?(x,y,z)/R(x,y,z) + S?(x,y,z) + B?(x,y,z), где S, B будут, соответственно силой со стороны солнечного ветра и атмосферы.
            +1
            Хмм, наверное я немного туплю и делить на R(x,y,z) не надо, это и так в формуле гравитационного потенциала выходит. Немного по другому вводил в начале просто.
              0
              Глянул оттуда откуда я в своё время вывод брал. Таки нормально было, делить на R нужно. Там то второе r которое в формуле уходит по размерностям…
          –1
          поверхности Земли величина свободного ускорения g не постоянна и изменяется на пару процентов


          Ошиблись на порядок (менее процента). Если бы изменялось на пару процентов, плюс-минус стабильной геостационарной орбиты не было бы.

          Если это ускорение действовало бы на 100 килограммовый спутник, то оно бы сумело поднять всего-лишь грузик в треть грамма на земле. И, не смотря на то, что сила такая маленькая, всего за один день прогноз траектории спутника, не учитывающий Луну обманет a∙t2/2 ≈ 100км.


          Опять же, неверно. Вы предполагаете, что ускорение действует на ИСЗ напрямую. Если бы Луна отклоняла за день объект на 100 км, её бы учитывали, например, при прохождении АСЗ. Насколько я помню расчёты, пролетающий мимо астероид диаметром в 100 м не испытывает практически никаких возмущений от Луны (минимальное геоцентрическое расстояние — 0.00025 а.е.)

          Далее, по поводу метода точечных гравитационных сфер: его применимость весьма ограничена условиями задачи. В случае, если дифференциальное уравнение, описывающее движение ИСЗ, будет содержать особенности (а оно будет в случае планетоцентрических координат), Вы получите весьма большую ошибку из-за точек, наиболее приближенных к телу.

          По солнечному ветру — та же ситуация, что и с Луной. Ей Богу, не сдвинет никакой солнечный ветер на километр тело. Его учитывать-то стали недавно, а спутники летают аж с конца 50-х.

          Кстати, если учитываете солнечный ветер (который лучше называть солнечным давлением, как это принято в астрономии), учитывайте и эффект Ярковского.

          По поводу модели: я сугубо сомневаюсь в том, что при современных вычислениях имеет смысл исключать оставшиеся 7 планет из рассмотрения. Я не уверен, но по моим ощущениям влияние Венеры, Марса и Юпитера будет существеннее и солнечного давления, и Луны.

          А теперь перейдём к тому, как всё это склеить и спрогнозировать. Самым простым является интегральный метод. Он, безусловно, является самым точным, самым надёжным и самым… Медленным. Этот метод прост до безобразия.


          Неверно в каждом утверждении. Интегральный метод НЕ является ни самым точным, ни самым надёжным, ни самым медленным. Отсылаю, например, к Physical Letters 2010, там целый раздел посвящён методам численного интегрирования уравнений движения.

          Этот метод прост до безобразия. В каждой точке, в зависимости то точности, которая нам требуется, считаются до n-ой производной воздействующие силы, складываем их и аппроксимируем в следующую точку. В зависимости от n метод будет называться методом n-ого порядка точности. Самым классическим является метод Рунге-Кутты, это метод 4ого порядка.


          Чрезмерное упрощение. То, что Вы говорите, это — методы, основанные на разложении в ряд (Тейлоровский, Маклореновский или вообще любой). Среди методов интегрирования эти — не самые удачные.

          Кстати, в задаче об ИСЗ, опять же, не рекомендуется использовать методы, использующие производные высоких порядков. Объяснение — то же, что и выше: при интегрировании вблизи особой точки (коей является Земля в планетоцентрической СК) ошибки в приближениях производных высоких порядков (кстати, вопрос на миллион — как Вы их собираетесь считать: разделёнными разностями, конечно-разностной схемой и т.п.) возрастают, что негативно сказывается на точности интегрирования. Я молчу про то, что, по хорошему, нужно строить фазовый портрет, чтобы оценить, не попадает ли ИСЗ в область динамического хаоса.

          Сразу на многих языках и во многих вариантах. Для интегрального прогноза с ходу открытого кода не нашёл, а свой давать не хочу) Если увижу — скину тут ссылку.


          Открытого исходного кода интеграторов — вагон и маленькая тележка.

          Резюме: ИМХО, если Вы пишете популярную статью на научную тему, не делайте ляпов и откровенных ошибок. Можно писать простым языком, можно делать приближения и допущения. Но если Вы приводите числа, будьте добры — проверьте их. Потому как после прочтения такой статьи у обывателя сложится совершенно неверное представление о силах, воздействующих на движение ИСЗ и о тех методах, которые используют астрономы для прогнозирования орбиты.
            –1
            Простите, но вы пишите чушь по большинству из пунктов. Либо даже не удосужились прочитать написанное. По тому что вы написали видно что вы знаете название нескольких методов и не представляете как они работают. Скажите, вы сами занимались прогнозированием орбит именно _с_п_у_т_н_и_к_о_в_? Именно занимались = писали софт, сопоставляли результаты программ? Сомневаюсь. Фразы типо
            По поводу модели: я сугубо сомневаюсь в том, что при современных вычислениях имеет смысл исключать оставшиеся 7 планет из рассмотрения. Я не уверен, но по моим ощущениям влияние Венеры, Марса и Юпитера будет существеннее и солнечного давления, и Луны.
            показывают вашу полную неосведовлённость в вопросе. Написать такое — ни разу не пробовать написать даже примерную модель прогноза, не говоря о боевой.
            –1
            Да, разумеется, занимался. Более того, общался на ту же тему с людьми из НПО им. Лавочкина, которые как раз занимаются выводом на орбиту ИСЗ. Более того, одна из частей моей диссертации связана с численными методами.

            показывают вашу полную неосведовлённость в вопросе. Написать такое — ни разу не пробовать написать даже примерную модель прогноза, не говоря о боевой.


            Аргументы, аргументы, аргументы. Вы хотите поспорить об астрономии с астрономом? Тогда будьте любезны — аргументируйте. А ещё лучше — на каждое утверждение дайте ссылку на реферируемую статью. Потому как после Вашего утверждения о том, что ускорение свободного падения меняется на проценты, мне стало всё ясно.
              0
              Так «занимался» или «общался»?) После ваших слов понятно, что вы в жизни не писали программу прогноза траектории КО, которая бы работала. А системы прогнозирования траектории спутника, которые я писал — стоят в двух различных работающих системах больших компаний. И они работают. И эти системы не модельные, а работающие с реальными данными.

              Как мне показывает опыт, астрономы это такие люди, которые знают много слов, но написать программу которая что-то сделать сможет не сумеют. Встречался с этим десяток раз. Аргументы? Да какие аргументы при споре с человеком, который заявляет что сказали что влияние планет сильнее, чем влияние Луны или солнечного ветра?!
              Не верите что изменяется на проценты?) Окей. Открываем самое идиотское место — Википедию. Изменение согласно грубой модели эллипсоида вращения 0.96%. И это без учёта гравитационных аномалий, дающих десятые процента.
                –1
                Гм, научитесь читать, что Вам пишут. Я же указал, что и занимался, и общался, и программы писал, в том числе и для прогнозирования движения ИСЗ / АСЗ / спутников / планет.

                Да какие аргументы при споре с человеком, который заявляет что сказали что влияние планет сильнее, чем влияние Луны или солнечного ветра


                Giorgini, J. D., Benner, L. A., Ostro, S. J., Nolan, M. C., & Busch, M. W. (2007). Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis. Icarus, 1–19. doi:10.1016/j.icarus.2007.09.012

                Посмотрите внимательно на числа. Надеюсь, автор из НАСА — достаточный для Вас аргумент?

                Не верите что изменяется на проценты?) Окей. Открываем самое идиотское место — Википедию


                Википедия так википедия: 9,780 м/с² на экваторе до 9,832 на полюсах

                (9.832-9.780)/9.832*100 = 0.52%

                Как мне показывает опыт, астрономы это такие люди, которые знают много слов, но написать программу которая что-то сделать сможет не сумеют.


                В общем-то, инженеры–астрономы написали большинство программ для моделирования движения ИСЗ. Как, впрочем, и адаптировали различные методы численного интегрирования к задачам небесной механики. А вот из-за инженеров-программистов за последний год уже 3 аппарат падает. Видимо, из-за солнечного давления…

              0
              Ого. Очередная статейка про Апофис. И идиоту ясно, что это разные классы объектов. Суммарное влияние Луны будет интегралом силы по траектории — для Апофиса ужасно малая величина. Поле действия луны он пролетит ужасно быстро. Да и давление солнечного ветра если по указанной формуле вычислите — получите малые значения. Может статьи про спутники посмотрите? Или не читали в жизни? Вон, в тексте статьи пара сайтов, там хорошая подборка.
              А вот из-за инженеров-программистов за последний год уже 3 аппарат падает. Видимо, из-за солнечного давления…

              Почему-то во главе большинства проектов стоят именно астрономы, которые прочитали пяток статеек и ни разу живую модель не создали. Зато получили свои докторские на разглагольствовании. Вероятно именно поэтому спутники и падают.

              Гм, научитесь читать, что Вам пишут. Я же указал, что и занимался, и общался, и программы писал, в том числе и для прогнозирования движения ИСЗ / АСЗ / спутников / планет.

              Где они стоят/работают (для прогнозирования траектории КО). Какую модель Земли/атмосферы Земли/солнечной активности вы использовали(для прогнозирования траектории КО). Без ответов на этот вопрос дальнейшие разговоры бессмысленны.

              Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

              Самое читаемое