Вокруг, да около Великой теоремы Ферма

В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ) Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию (информация из Википедии).

А недавно в Хабре мне попалась статья от 2019 года «Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях» ( https://habr.com/ru/articles/461179/). Уже в заго­ловок статьи вынесено, что математики-специалисты по теории чисел доказательство ВТФ считают пройденным этапом и, следовательно, из этой теоремы больше ничего и «не выжмешь», и не следует тратить время на улучшения, которые не принесут ничего нового в... теорию чисел! Т.е., если появится что-то новое в других направлениях математики, то им это не интересно.

Вот я и подумал, может им интересно: почему ВТФ не выполняется при n = 2?
Другими словами, почему при n = 2 уравнение ВТФ решается в натуральных числах,
а при n > 2, нет?

Наверно, опять же, уйдём от теории чисел, если переформулируем вопрос в виде: «в чём заключается существенное отличие квадратичной функции y = x² от степенных более высоких порядков: y = xⁿ (где n > 2)»?

Ответ очевиден: степенные функции более высоких порядков растут быстрее.
«Быстроту» роста функции определяет производная. Вот тут и кроется главное отличие квадратичной функции: её производной является линейная функция y’= 2x, а у функций более высоких порядков производная является степенной функцией y’= nx^n-1 (где n > 2).
Если значения производной квадратичной функции при натуральных x_k мы можем вычислять по рекуррентной формуле: y_k’= y_k-1’+ 2, где k = 1,2,3,... и y₀’= 0 (арифметическая прогрессия – каждый член последовательности, начиная со второго получается прибавлением к предыдущему разности прогрессии), то для производных степенных функций рекуррентных формул не существует, поскольку само x_k присутствует: y_k’= nx_k^n-1.
Линейность производной квадратичной функции позволяет легко формировать последова­тельность квадратов натуральных чисел в виде частичных сумм ряда нечётных чисел:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 +...+ (2k – 1) +... где k = 1,2,3,...

Действительно:
S₁ = 1 = 1²;
S₂ = S₁ + 3 = 4 = 2²;
S₃ = S₂ + 5 = 9 = 3²;
S₄ = S₃ + 7 = 16 = 4²;
S₅ = S₄ + 9 = 25 = 5²;
S₆ = S₅ + 11 = 36 = 6²;
S₇ = S₆ + 13 = 49 = 7²;
S₈ = S₇ + 15 = 64 = 8²;
S₉ = S₈ + 17 = 81 = 9²;
S₁₀ = S₉ + 19 = 100 = 10²;
S₁₁ = S₁₀ + 21 = 121 = 11²;
S₁₂ = S₁₁ + 23 = 144 = 12²;
S₁₃ = S₁₂ + 25 = 169 = 13²;
. . .
Жирным шрифтом выделены частичные суммы S₅ и S₁₃, потому что они являются примером не выполнения ВТФ при n = 2. Всё просто, в последовательности нечётных чисел обязательно присутствуют полные квадраты тех же нечётных чисел и прибавляясь к предыдущей частичной сумме вполне удовлетворяют уравнению ВТФ при n = 2. 

Итак, для степенной функции при n > 2 невозможно формировать последовательность степеней натуральных чисел в виде частичных сумм арифметической прогрессии.
Действительно, например, разности между кубами соседних натуральных чисел образуют следующую последовательность (так называемые, центрированные шестиугольные числа, которые, правда, начинаются с единицы, а не с семи):

P₃ = { 7 , 19 , 37 , 61 , 91 , 127 , 169 , 217 , 271 , 331 , 397 , 469 , 547 ,...}

И в отличие от случая n = 2 разность между этими разностями не является константой. Общая формула для расчёта чисел этой последовательности просматривается из следующего списка:
a₁ = 1 + 6∙1∙1 = 7;
a₂ = 1 + 6∙3∙1 = 19;
a₃ = 1 + 6∙3∙2 = 37;
a₄ = 1 + 6∙5∙2 = 61;
a₅= 1 + 6∙5∙3 = 91;
a₆ = 1 + 6∙7∙3 = 127;
a₇ = 1 + 6∙7∙4 = 169;
a₈ = 1 + 6∙9∙4 = 217;
a₉ = 1 + 6∙9∙5 = 271;
a₁₀ = 1 + 6∙11∙5 = 331;
a₁₁ = 1 + 6∙11∙6 = 397;
a₁₂= 1 + 6∙13∙6 = 469;
a₁₃= 1 + 6∙13∙7 = 547;
. . .
при нечётном k: a_k = 1 + 6∙k∙((k + 1)/2);  при чётном k: a_k = 1 + 6∙(k + 1)∙(k/2). Но, в силу того, что перестановка множителей не меняет результат: a_k = 1 + 6∙(k∙(k + 1))/2 = 1 + 3∙k∙(k + 1).
a₁ = 1 + 3∙1∙(1 + 1) = 7;
a₂ = 1 + 3∙2∙(2 + 1) = 19;
a₃ = 1 + 3∙3∙(3 + 1) = 37;
a₄ = 1 + 3∙4∙(4 + 1) = 61;
a₅= 1 + 3∙5∙(5 + 1) = 91;
. . .
a_k = 1 + 3∙k∙(k + 1)

Можно и так (через ряд натуральных чисел):
a₁= 1 + 6∙1 = 7;
a₂= 1 + 6∙(1+2) = 19;
a₃= 1 + 6∙(1+2+3) = 37;
a₄= 1 + 6∙(1+2+3+4) = 61;
a₅= 1 + 6∙(1+2+3+4+5) = 91;
. . .

Итак, разности a_k должны делиться на 6 с остатком единица, т.е. являются заведомо нечёт­ными числами. (аналогично ситуации при n = 2, где разности также только нечётные числа – очевидно, это общее свойство для любых n).

При этом, при делении числа (a_k – 1) на 3, частное (без остатка) должно получиться составным числом, делители которого – два последовательных натуральных числа (два состав­ных – чётное и нечётное или одно простое, одно составное, чётное)...

Поскольку ВТФ доказана, то a_k не является кубом при любом k = 1,2,3,... Более того, не равно кубу сумма нескольких последовательных a_k.

Такой строгий порядок «размещения» в последовательности натуральных чисел степеней этих же чисел при n > 2 устанавливает ВТФ.

* * *

Понятно, что уравнению ВТФ при n = 2 могут удовлетворять и квадраты не соседних чисел (например, 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² или 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²).

Раз ВТФ доказана, то такое невозможно при n > 2 (в частности, при n = 3).
«Расшифруем», указанное выше: «не равно кубу сумма нескольких последовательных a_k». Перепишем уравнение x³ + y³ = z³ в виде (при условии x < y < z):

где a_i и a_j – члены последовательности P₃, а m < n. Да и x³ можно представить в виде суммы

Итак, уравнение приведено к виду:

Перенеся одно из слагаемых

 слева направо со сменой знака, получаем:

и перенос ещё одного

 слева направо со сменой знака приводит к виду:

Или, окончательно

На словах это равенство звучит так: куб числа x должен равняться одной разности или даже сумме разностей кубов чисел, превосходящих x (q < m), но этого не происходит в силу доказанности ВТФ.

А для последовательности квадратов равенство выполняется, поскольку последователь­ность нечётных чисел содержит и нечётные квадраты, т.е. подходит один член последователь­ности, отстоящий от x достаточно далеко.

Для чётных чисел, соответствующий квадрат будет получаться из суммы двух членов последовательности. Например, 10² = 100 = 49+51 = S₅₁ – S₄₉ =  676 – 576 = 26² – 24².
 Т.е. 10² + 24² = 26²

Кстати, таким образом можно найти решения уравнения ВТФ (при n = 2) для любого натурального числа больше двух:
(S₅ – S₄) даёт: 3² + 4² = 5² = 9 + 16 = 25;
(S₅ – S₃) даёт: 4² + 3² = 5² = 16 + 9 = 25 (дубль);
(S₁₃ – S₁₂) даёт: 5² + 12² = 13² = 25 + 144 = 169;
(S₁₀ – S₈) даёт: 6² + 8² = 10² = 36 + 64 = 100;
(S₂₅ – S₂₄) даёт: 7² + 24² = 25² = 49 + 576 = 625;
(S₁₇ – S₁₅) даёт: 8² + 15² = 17² = 64 + 225 = 289;
(S₄₁ – S₄₀) даёт: 9² + 40² = 41² = 81 + 1600 = 1681;
(S₂₆ – S₂₄) даёт: 10² + 24² = 26² = 100 + 576 = 676;
(S₆₁ – S₆₀) даёт: 11² + 60² = 61² = 121 + 3600 = 3721;
(S₃₇ – S₃₅) даёт: 12² + 35² = 37² = 144 + 1225 = 1369;
(S₈₅ – S₈₄) даёт: 13² + 84² = 85² = 169 + 7056 = 7225;
(S₅₀ – S₄₈) даёт: 14² + 48² = 50² = 196 + 2304 = 2500;
(S₁₁₃–S₁₁₂) даёт:15² + 112² = 113² = 225 + 12544 = 12769;
. . .
Да, эти решения порождают новые решения в виде (kx)² + (ky)² = (kz)², где k = 2,3, 4, ...
(2∙3)² + (2∙4)² = (2∙5)² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 (дубль уже найденного);
(3∙3)² + (3∙4)² = (3∙5)² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225;
(4∙3)² + (4∙4)² = (4∙5)² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400;
(5∙3)² + (5∙4)² = (5∙5)² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625;
. . .
* * *

Когда-то, я сам нашёл такое равенство: 3³ + 4³ + 5³ = 6³. И меня это «возмутило»: почему в ВТФ отдано «преимущество» двойке, в том смысле, что в уравнении всего два слагаемых при любых значениях показателя степени?!

Оказывается, существует обобщение ВТФ, именуемое «Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа», которое сформулировано так: уравнение

 может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если k ≤ m + n.

И далее в Википедии пишут:
Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая (k, 2, 1),  k > 3 и отсутствие решений для (3, 2, 1), k = 3.

Поиск решений уравнений (k, m, n) для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для k = m + n, но и для k < m + n. Поиском решений для различных ((k, m, n) занима­ются проекты распределенных вычислений EulerNet^[4] и yoyo@home.
Известные решения для (k, m, n), k = m + n
По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m,  n) при k = m + n:^[5]
(4, 2, 2)  158⁴ + 59⁴ = 134⁴ + 133⁴, бесконечно много решений.
(4, 1, 3)  422481⁴= 414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴, бесконечно много решений.
(5, 1, 4)  144⁵ = 133⁵ + 110⁵ + 84⁵ + 27⁵, известно 2 решения.
(5, 2, 3)  14132⁵ + 220⁵ = 14068⁵ + 6237⁵ + 5027⁵, известно 1 решение.
(6, 3, 3)  23⁶ + 15⁶ + 10⁶ = 22⁶ + 19⁶ + 3⁶, бесконечно много решений.
(8, 3, 5)  966⁸+ 539⁸ + 81⁸ = 954⁸ + 725⁸ + 481⁸ + 310⁸ + 158⁸, известно 1 решение.
(8, 4, 4)  3113⁸ + 2012⁸ + 1953⁸ + 861⁸ = 2823⁸ +2767⁸ + 2557⁸ + 1128⁸, известно 1 решение.
Некоторые решения для (k, k, 1)
k= 3  3³ + 4³ + 5³ = 6³.
k= 4  30⁴ + 120⁴ + 272⁴+ 315⁴ = 353⁴ (R. Norrie, 1911)^[3]
k= 5  19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵ = 72⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)^[3]
k= 6  Решения неизвестны.
k = 7  127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷ (M. Dodrill, 1999)
k = 8  90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸ (ScottChase, 2000)
k ≥ 9 Решения неизвестны. 

На этом пока всё.