Dec 28 2024 at 01:43

Моя гипотеза о решении чисел близнецов

Easy

Invite pending

Для понимания статьи человеку нужно знать: что такое простые числа, что такое степень, что такое цифры и числа, знать что такое вычитание, уметь работать с дробями, выделять общие множители, работать со степенями, уметь умножать, также и делить, и слаживать.

Всем пользователям Хабра, привет! Сегодня я хочу вам показать свою не доказаную но и не опровергнутую гипотезу связанной с числами близнецами, отмечу что бы понять всё написанное в этой статье нужно знать программу максимум 6 класса!

Что такое числа близнецы?

Числа близнецы - это простые числа которые чередуются через 2 (в парах), примеры:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), и.т.д.

Как мы видим их всё меньше и меньше.

Гипотезу о числах близнецах сформулировал сам Евклид более 2000 лет назад. Она заключается в том бесконечное ли количество чисел близнецов.

Кому интересно, здесь можно узнать больше. Но а сейчас вернёмся к моей гипотезе.

Формулировка

Гипотеза утверждает что $2^{p+1}-2^{p-1}-1 = t$ , где p - это простое число (кроме 5), а t - это первое число в паре близнецов.

1 шаг: Упрощение формулы

Эту формулу можно упростить так:

$2^{p+1}-2^{p-1}-1=\frac{3\cdot 2^{p}}{2}-1$

Разве не очевидно? Ну ладно вот разбор:

Запишем $2^{p+1}$ как $2 \cdot 2^p$ и $2^{p-1}$ как $\frac{2^p}{2}$ :
$2^{p+1} = 2 \cdot 2^p$
$2^{p-1} = \frac{2^p}{2}$
Подставим это в выражение: $2 \cdot 2^p - \frac{2^p}{2} - 1$
Теперь выделим общий множитель : $2^p \left( 2 - \frac{1}{2} \right) - 1$
Упростим скобки: $2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Подставим обратно: $2^p \cdot \frac{3}{2} - 1$
Умножим на $\frac{3}{2}$ : $\frac{3 \cdot 2^p}{2} - 1$
Вот и всё! Не было же сложно?

2 шаг. Проверка простых чисел

Проверка для 2: $2^{2+1}-2^{2-1}-1=2^{3}-2^{1}-1=2^{3}-2-1=8-2-1=6-1=5$

(5; 7) - числа близнецы.

Проверка для 3:
$2^{3+1}-2^{3-1}-1=2^{4}-2^{2}-1=16-4-1=12-1=11$

(11; 13) - числа близнецы.

Проверка для 7 (не забываем что по условию гипотезы нельзя брать 5): $2^{7+1}-2^{7-1}-1=2^{8}-2^{6}-1=256-64-1=192-1=191$

(191; 193) - числа близнецы (можете проверить сами).

Проверка для 11: $2^{11+1}-2^{11-1}-1=2^{12}-2^{10}-1=4096-1024-1=3072-1=3071$

(3071; 3073) - числа близнецы (проверить уже будет посложнее)

То есть это уже аргумент в сторону доказательства гипотезы, но ещё не доказательство, давайте ещё немного углубимся в эту гипотезу.

3 шаг. Исследование свойств формулы

Начнём с того что $2^{n+1}-2^{n-1}$ это чётное число, и доказывать это надеюсь не нужно а если ещё вычтить 1, то число будет нечётным: фомула не делится на 2.

Доказать что формула не делится на 3, будет уже посложнее:

Формула делится (без вычитания 1) - всегда делится на три, так как в формуле присутствует множитель 3.

Так как мы знаем что: $2^{p}=2^{p-1}\cdot 2$ , подставляя в нашу формулу получаем: $\frac{3 \cdot 2^{p-1}\cdot 2}{2}$ , двойки (не надо ставить их, математичка) сокращаются и получается: $3\cdot 2^{p-1}$ , и видим что формула делится на 3.

А с вычитанием единички (ещё хуже чем двойки), получаем что наша формула 100% не делится на 3.

Выводы

Для решения этой гипотезы (или просто её понимания) нужно мозг с 1000 IQ.

Если эту гипотезу докажут то можно утверждать что чисел близнецов бесконечно много.

И наконец: домашнее задание! Возможно ли чтобы вместо p можно было подставить обычное число, и тогда всё сработало бы? Если да, то докажите, если нет, то тоже докажите.

И всем пока!

Hubs:

Mathematics