Гиперматематика: эволюционное развитие математики или новая наука?
«Mathematics is not yet ripe enough for such questions.» Paul Erdős
«Математика еще не созрела для таких вопросов.» Пал Эрдёш
Со школьных лет формируется мнение, что математика — это фундаментальная вещь, которая чуть ли не дана свыше. И преподносится как догма: обозначения, правила, законы, аксиомы и теоремы — это устоявшаяся данность. Как они появились и кто принимал решение ввести то или иное обозначение или понятие, какая логика и мотив их рассмотрения, остаётся за рамками учебной программы. Дают намёки на вклад конкретных людей в развитие математики только именные теоремы и понятия, например, теорема Виета, аксиома Архимеда, теорема Пифагора, геометрия Лобачевского, число Эйлера, правило Лопиталя, ряд Тейлора и другие примеры. И пытливый читатель по таким зацепкам сможет найти более менее подробную историческую информацию и сделает вывод, что математическая наука развивается на протяжении тысячелетий, накапливая вклад многих людей. В том числе остающихся неизвестными: «древнегреческая цивилизация», «шумеры», обыватели, которые предлагали идеи и формулировки задач профессиональным математикам.
Можно ли сказать, что развитие математической науки остановилось и её следует рассматривать как фундаментальный монолит? Или же она остаётся гибким материалом для дальнейших модификаций, основанных на переосмыслении и пересмотре накопленных знаний и фактов? В том числе и других областей человеческой деятельности. Всё ли в сложившейся системе математического аппарата является логически стройным и непротиворечивым, обладающим полнотой знаний, чтобы считать его форму в последней инстанции?
Такие вопросы на протяжении десятилетия поощряют путешествие по глубинам математического мироздания и приводят к новому результату — созданию нового направления в науке. Эта статья является первой из серии, посвящённой мотивам, истокам, концепциям и развитию этого направления, которое я называю Гиперматематикой.
Выбор названия
Частица «гипер‑» в названии означает «находящаяся выше математики», «обобщающая математику». В том смысле, что она не остаётся в рамках её «основательницы», а распространяется на другие сферы науки. Сфера гиперматематики шире, чем у математики. Второе обоснование этого названия — наличие в качестве базовых понятий: «гипероператор», «гипервектор», «гиперотображение», «гипермножество» и других понятий, которые являются обобщениями понятий классической математики.
Возможно мнение, что следовало бы рассматривать нововведения как часть исторического развития классической математики, не обособляя их в отдельную, альтернативную ветвь. На этот счёт поделюсь обдуманным решением: это было бы хуже. Это привело бы к путанице и ненужным спорам и проблемам. Не все готовы сразу принимать сырое новое и рушить устоявшееся старое. Поэтому будем разделять две ветви: классическую математику в том виде, в каком она определилась в настоящее время, и гиперматематику (ГМ) — альтернативный подход, основанный на пересмотре и переосмыслении накопленного опыта классической математики и смежных наук — информатики, физики и др.
Мотивы к развитию ГМ
Желание уточнить смысл (схему) существующих понятий и обобщить их, то есть выявить и сформулировать более общую их «внутреннюю логику».
Желание пересмотреть существующие обозначения и понятия, сделав их более логичными, согласованными и строгими. Ввести единую схему обозначений и наименований и избавиться от путаницы и противоречий, возникающих из‑за произвола при выборе авторами обозначений.
Желание выявить единые сущности (понятия, законы, принципы), которые проявляются по‑разному в разных сферах математики и других науках. Обобщить их и констатировать факт, что мы имеем дело с одной сущностью в разных проявлениях, а не разными сущностями.
Желание консолидировать ветви математики, а также стыковку с прикладными науками. Сделать математику не «служанкой наук», а их логическим ядром: цельным, единым и логически красивым.
Желание добиться максимальной полноты знаний и избавиться от пробелов и противоречий, которые проявляются при стыковке различных ветвей математики и прикладных наук. Внести в ядро математики концепции и идеи, выработанные в других науках.
Обозначить базовые принципы и правила построения математического аппарата. Сформулировать критерии его развития.
С учётом накопленного опыта и проделанной работы по предыдущим пунктам дать ответ на «острые» вопросы и парадоксы, которые мы наблюдаем в данный момент в математике. Продолжить строить математический аппарат, основываясь на результатах совершенствования схемы развития математики. Например, явно проявляется несовершенство теории, связанной с нулём (например, виден интерес с вопросом о делимости на 0), теорией множества Кантора, недостаточно проработанная теория по гипероператорам и, как следствие, некорректные выводы на данный момент (например, что тетрация, пентация и другие примеры являются гипероператорами старших порядков). Вызывают вопросы некоторые примеры с концепцией меры Лебега. Например, понятие «множество меры ноль». И некоторые другие вопросы, которые будут рассмотрены далее в соответствующем контексте.
Понимание ограниченности математического аппарата и его недостаточность при описании явлений бытового опыта. Как следствие, существенное расхождение интутивного понимания и умозрительных заключений. Одним из примеров является принцип «в части столько же, сколько во всём» (для бесконечных множеств мера всего множества совпадает с мерой его части), который проявляется в выводах «количество точек в половине отрезка столько же, сколько во всём» или «парадоксе удвоения шара» (парадокс Хаусдорфа — Банаха — Тарского).
Желание расширить базу математического аппарата для решения проблемы его ограниченности.