«Mathematics is not yet ripe enough for such questions.» Paul Erdős
«Математика еще не созрела для таких вопросов.» Пал Эрдёш
Со школьных лет формируется мнение, что математика — это фундаментальная вещь, которая чуть ли не дана свыше. И преподносится как догма: обозначения, правила, законы, аксиомы и теоремы — это устоявшаяся данность. Как они появились и кто принимал решение ввести то или иное обозначение или понятие, какая логика и мотив их рассмотрения, остаётся за рамками учебной программы. Дают намёки на вклад конкретных людей в развитие математики только именные теоремы и понятия, например, теорема Виета, аксиома Архимеда, теорема Пифагора, геометрия Лобачевского, число Эйлера, правило Лопиталя, ряд Тейлора и другие примеры. И пытливый читатель по таким зацепкам сможет найти более менее подробную историческую информацию и сделает вывод, что математическая наука развивается на протяжении тысячелетий, накапливая вклад многих людей. В том числе остающихся неизвестными: «древнегреческая цивилизация», «шумеры», обыватели, которые предлагали идеи и формулировки задач профессиональным математикам.
Можно ли сказать, что развитие математической науки остановилось и её следует рассматривать как фундаментальный монолит? Или же она остаётся гибким материалом для дальнейших модификаций, основанных на переосмыслении и пересмотре накопленных знаний и фактов? В том числе и других областей человеческой деятельности. Всё ли в сложившейся системе математического аппарата является логически стройным и непротиворечивым, обладающим полнотой знаний, чтобы считать его форму в последней инстанции?
Такие вопросы на протяжении десятилетия поощряют путешествие по глубинам математического мироздания и приводят к новому результату — созданию нового направления в науке. Эта статья является первой из серии, посвящённой мотивам, истокам, концепциям и развитию этого направления, которое я называю Гиперматематикой.
Выбор названия
Частица «гипер‑» в названии означает «находящаяся выше математики», «обобщающая математику». В том смысле, что она не остаётся в рамках её «основательницы», а распространяется на другие сферы науки. Сфера гиперматематики шире, чем у математики. Второе обоснование этого названия — наличие в качестве базовых понятий: «гипероператор», «гипервектор», «гиперотображение», «гипермножество» и других понятий, которые являются обобщениями понятий классической математики.
Возможно мнение, что следовало бы рассматривать нововведения как часть исторического развития классической математики, не обособляя их в отдельную, альтернативную ветвь. На этот счёт поделюсь обдуманным решением: это было бы хуже. Это привело бы к путанице и ненужным спорам и проблемам. Не все готовы сразу принимать сырое новое и рушить устоявшееся старое. Поэтому будем разделять две ветви: классическую математику в том виде, в каком она определилась в настоящее время, и гиперматематику (ГМ) — альтернативный подход, основанный на пересмотре и переосмыслении накопленного опыта классической математики и смежных наук — информатики, физики и др.
Мотивы к развитию ГМ
Желание уточнить смысл (схему) существующих понятий и обобщить их, то есть выявить и сформулировать более общую их «внутреннюю логику».
Желание пересмотреть существующие обозначения и понятия, сделав их более логичными, согласованными и строгими. Ввести единую схему обозначений и наименований и избавиться от путаницы и противоречий, возникающих из‑за произвола при выборе авторами обозначений.
Желание выявить единые сущности (понятия, законы, принципы), которые проявляются по‑разному в разных сферах математики и других науках. Обобщить их и констатировать факт, что мы имеем дело с одной сущностью в разных проявлениях, а не разными сущностями.
Желание консолидировать ветви математики, а также стыковку с прикладными науками. Сделать математику не «служанкой наук», а их логическим ядром: цельным, единым и логически красивым.
Желание добиться максимальной полноты знаний и избавиться от пробелов и противоречий, которые проявляются при стыковке различных ветвей математики и прикладных наук. Внести в ядро математики концепции и идеи, выработанные в других науках.
Обозначить базовые принципы и правила построения математического аппарата. Сформулировать критерии его развития.
С учётом накопленного опыта и проделанной работы по предыдущим пунктам дать ответ на «острые» вопросы и парадоксы, которые мы наблюдаем в данный момент в математике. Продолжить строить математический аппарат, основываясь на результатах совершенствования схемы развития математики. Например, явно проявляется несовершенство теории, связанной с нулём (например, виден интерес с вопросом о делимости на 0), теорией множества Кантора, недостаточно проработанная теория по гипероператорам и, как следствие, некорректные выводы на данный момент (например, что тетрация, пентация и другие примеры являются гипероператорами старших порядков). Вызывают вопросы некоторые примеры с концепцией меры Лебега. Например, понятие «множество меры ноль». И некоторые другие вопросы, которые будут рассмотрены далее в соответствующем контексте.
Понимание ограниченности математического аппарата и его недостаточность при описании явлений бытового опыта. Как следствие, существенное расхождение интутивного понимания и умозрительных заключений. Одним из примеров является принцип «в части столько же, сколько во всём» (для бесконечных множеств мера всего множества совпадает с мерой его части), который проявляется в выводах «количество точек в половине отрезка столько же, сколько во всём» или «парадоксе удвоения шара» (парадокс Хаусдорфа — Банаха — Тарского).
Желание расширить базу математического аппарата для решения проблемы его ограниченности.