Честно, сказать, мне трудно понять Ваши выкладки. Почему, например, отношение возврата долга третьему лицу рефлексивно? Возвращают долг тому, кому должны, а что тогда означает фраза «должен самому себе»?
Какая формулировка задачи исключает роль брадобрея? Как трактирщик получит оплату многократно?
И еще. Вы используете для отношения «бриться» то логику нулевого порядка, то N+1-го. Мне это тоже непонятно. Как показал наш с Вами собеседник Kergan88, для этого достаточно логики первого порядка. И в литературе то же самое говорится. Или я чего-то не знаю?
Это что-то новенькое: начинать определение самоприменимости с выражения в логике нулевого порядка, т.е. в исчислении высказываний. Но, как мне кажется, ясности это вовсе не прибавляет, наоборот, сильно усложняет и без того непростую ситуацию. В литературе по математической логике самоприменимость пляшет от двуместного предиката, а не от бесструктурного высказывания. Предложение «A бреет A», также как и предложение «A не больше A» к логике нулевого порядка никакого отношения не имеют.
Вы, по-моему, путаете равенство множеств в конкретной ситуации и подмену термина в рассуждениях, в которых, допустим, говорится о «деревянных предметах», а из контекста рассуждения ясно, что речь идет всего лишь о «табуретках». В своем определении я говорю всего лишь о том, что при логическом анализе не рекомендуется отождествлять деревянные предметы и табуретки для всех возможных случаев.
Не понимаю, почему в математической логике первого порядка нельзя записать утверждение о бреющемся брадобрее? Представим отношение «брить» как предикат S(x,y). Тогда отношение «бриться» можно записать как S(x,x). Отношение «больше или равно» можно записать как предикат M(x,y). Тогда запись M(x,x) тоже правильна и для множества чисел всегда истинна. Самоприменимые предикаты не редкость в математической логике. Взять хотя бы теорему Геделя о неполноте, при доказательстве которой используется самоприменимый предикат.
Спасибо за замечание. Не стану доказывать, что моя статья не демагогия. Не мое дело. Зато Ваша заметка, по-моему, демагогия. То, что «изначально у нас не было утверждения "все честные люди не мошенники"» не означает демагогии. Это утверждение можно было вставить в задачу сразу, а не потом. Это ничего бы не изменило с точки зрения логики. И то, что «это утверждение взялось из воздуха» - это с Вашей точки зрения, а не с точки зрения алгебры логики. Алгебра логики не предписывает порядок посылок. В ней все посылки соединены операцией И (конъюнкция), а эта операция коммутативна (т.е. не зависит от порядка).
Простите, но здесь речь идет не о математической логике, а об алгебре множеств и теории отношений, которую тоже можно изложить на основе алгебры множеств (если определить отношение как подмножество декартова произведения множеств). Там «самоприменимость» (т.е. по сути рефлексивность некоторых отношений) имеет содержание и не вызывает непонимания в естественном языке (можно привести немало ясных примеров рефлексивных бинарных отношений). В аксиоматической теории множеств, которая, кстати, формулируется на основе исчисления предикатов, такой формализм для самоприменимости имеется и часто используется. Хотя ясности, как мне представляется, это не прибавляет. Согласен с Вами в том, что множество всех множеств определяется с помощью бесконечной рекурсии, и это как раз и есть «артефакт нечеткости» в естественном языке.
Давайте договоримся быть с терминами поаккуратнее. Ранее Вы говорили об аксиомах, а теперь постулаты появились. Некоторые исследователи не считают их точными синонимами. И давайте уважать авторов, тем более таких всемирно известных, как Курант и Роббинс, и не приписывать им того, чего они не говорили. Описанию операций объединения и пересечения предшествуют в книге следующие слова: «Мы определим теперь две операции над множествами …». Перед описанием операции дополнения (с. 138) имеются следующие слова: «Остается дать определение еще одной операции в алгебре множеств». О каких постулатах тут говорится?
Вы можете быть с ними не согласны – это Ваше право. Но тогда и скажите об этом открыто!
И разве Вы не видите разницу между аксиомой и определением? В аксиоме говорится о закономерности, принимаемой без доказательств. Например, в одной из аксиом геометрии утверждается, что через любые две точки проходит прямая и причем только одна. В аксиоме выбора утверждается существование функции с определенными свойствами. А в определениях операций рассказывается, что надо делать конкретно с определенными ранее сущностями, чтобы получить результат. Есть разница?
И еще одно. Предположим, что Вы правы и определения операций над множествами – это аксиомы. И других аксиом у нас нет. Тогда ответьте мне на следующие вопросы: Какому из многочисленных известных вариантов аксиоматической теории множеств соответствует данный вариант? И можно ли с этим вариантом получить те результаты, о которых сказано в двух моих статьях об основаниях логики? Я имею в виду обоснование законов алгебры множеств (и законов классической логики соответственно) и математическую модель полисиллогистики.
Иногда вырванные из текста отрывки, если не учитывать весь текст, можно истолковать по-разному. В первом отрывке, который Вы привели, речь идет о **математической теории множеств**, хотя раздел назван авторами **Алгебра множеств** и речь дальше идет об алгебре множеств, но не о теории множеств. И дальше, кстати, идут слова, которые показывают, что алгебра множеств и теория множеств - разные сущности. Вот эти слова (с. 135):
«*Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к изучению нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллюстрирует большую общность идей современной математики*». Мне представляется, что **алгебраические методы** можно отнести к аксиоматической теории множеств с большой натяжкой. А вот к алгебре множеств – без сомнения.
Далее во втором отрывке Вы приводите якобы аксиомы, которые сами авторы почему-то аксиомами не называют. Ничего не вижу алогичного в том, чтобы назвать эти «аксиомы» определениями операций.
На стр. 140 Курант и Роббинс показывают, как можно построить алгебру множеств как «дедуктивную теорию» с помощью 3-х равенств (их можно назвать аксиомами). Но этот подход рассматривается ими как один из вариантов построения алгебры множеств. И этот вариант назван ими вполне справедливо Булевой алгеброй.
Я не претендую на теорию множеств и занят не булевой алгеброй, а алгеброй множеств, причем в том значении этого термина, которое определено всемирно известными математиками. Поэтому Ваши вопросы не ко мне и не по теме. Посмотрите вступление к Части 1, пожалуйста.
Согласен с Вами: в основаниях и в преподавании математики надо больше обращать внимание на ДП и его свойства. Но многие из тех, от кого это хоть как-то зависит, категорически против этого. Та же коллизия с алгеброй множеств, которую, кстати, «удачно» обозвали «наивной теорией множеств». Как можно доверять системе с таким названием?
Что касается терминологии АК, тот тут не все так просто. Вообще-то менять термины, когда им уже более четверти века, штука безнадежная. Разве что найдется субъект, который поменяет все термины в АК, да саму АК назовет иначе, например, «Алгебра Пупкина». Кстати, прецедент уже есть – только не всю АК заменили, но АК-объекты по другому названы. Например, D-системы – это «сжатые таблицы D-типа». И об АК ни слова. Персона: А.А. Зуенко, бывший мой соавтор. И на мои (и даже совместные с ним) публикации перестал ссылаться.
Но, предположим, что заменить термины можно. Тогда я бы не согласился с Вами насчет «многозначности» таких терминов, как «атрибут», «домен», «фиктивный атрибут».
Атрибут – одновременно подтверждает сходство с табличным (матрицеподобным) представлением информации в реляционной алгебре и в то же время означает одно из свойств АК-объекта. В таблице это, например атрибуты «Возраст», «Должность» и т.д.
Домен – одновременно связь с реляционной алгеброй и областью изменения переменной в исчислении предикатов (domain).
Фиктивный атрибут – его добавление не меняет семантику отношения, потому и «фиктивный». Служит лишь для большего удобства вычислений. Кстати, это термин я встретил у В.М. Глушкова. Только у него не символ «звездочка», а поэлементное перечисление всего атрибута. Не очень-то удобно…
Что касается термина «компонента», то согласен с Вами – не очень удачный. Мне кажется, было бы лучше использовать для данного случая термин «фрагмент». Или нет?
Спасибо за совет, как построить систему по Гильберту. Подумаю. Только пока что непонятно, что использовать в качестве «пластов» для АК.
Дорогой MasterMentor! Спасибо за очередной комментарий. Уже много лет пытаюсь «облегчить слог», но, увы! – получаются лишь мелкие шажки в сторону облегчения. Кто бы подсказал, как это сделать!
Что касается Вашего «лирического отступления», то хотел бы вот что к нему добавить.
Алгебра кортежей – это своеобразный гибрид алгебраической системы и n-местных отношений. Может быть, поэтому этот гибрид трудно выразить несколькими словами. Он позволяет описывать и графы, и просто отношения, и логические формулы, и даже функции. О них скажу чуть подробнее (потом кое-что скажу и о кванторах).
Функция - это то же отношение (АК-объект), только к этому добавлены два условия:
1) атрибуты разделены на два класса: область отправления и область прибытия;
2) каждому кортежу элементов из области отправления соответствует не более одного кортежа элементов из области прибытия.
Если условие 2) не соблюдается, то это уже не функция, а соответствие. В математической логике использование функций не всегда правомерно. Например, в алгоритме унификации вместо квантора существования используют функции, хотя было бы более точным использовать соответствия.
Кванторы. От этого «туманного словечка» трудно избавиться. Оно прочно заняло место и в математической логике, и в теории доказательств, и в обоснованиях математики. Что касается предложенного Вами эквивалента «сокращение», то это не совсем точно. Если квантор с переменной x «навешивается» на логическую формулу, у которой переменная x свободная, то это, действительно, сокращение, которое в АК выражается с помощью операции элиминация атрибута. Но если в формуле переменная x отсутствует (или связана, что по сути то же самое), то получается добавление фиктивного атрибута, т.е. сокращения нет. Даже есть «расширение», но без изменения смысла.
«Определение. Группой наз. произвольное множество G с одной бинарной операцией…» (Математическая энциклопедия в 5-ти томах, М.: Советская энциклопедия. 1977. Т.1. С. 1138).
На форуме dxdy (https://dxdy.ru/topic155252.html ) предложили программу на языке PARI/GP, с помощью которой заданное целое число в десятичной системе счисления можно преобразовать в запись этого числа в FPR-системе, причем в формате TeX. Пример работы программы (перевод числа 1234567890 в FPR-запись):
В моей статье помимо вычитания и сложения для числовых кортежей определены операции inf и sup и умножение на константу (целую или дробную). И еще. Я не уверен, в том, что когда в группу добавляют частичный порядок и «супрематизм/инфинум для любых двух элементов» (???), то она остается группой.
Вы отказываете мне в праве связывать используемые в статье математические объекты с другими математическими объектами? Что, по Вашему, числовой кортеж? Группа (как считают некоторые комментаторы), решетка или алгебраическая система, не имеющая названия, поскольку в ней помимо inf и sup есть другие операции? Как прикажете назвать операции inf и sup в числовых кортежах, если они таковыми и являются, и дано объяснение для чего они нужны? Насчет вопроса, стоит ли «всеръез заниматься», ответ сейчас мало кто знает. Время покажет.
Это мой ответ ripatti. Почему-то не вставился в нужное место.
Выговорите, что это группа. Но группа слишком упрощает эту систему, так как в этой системе минимум две «решеточные» операции и отношение частичного порядка. И еще надо добавлять операции (сложение, вычитание и умножение на константу кортежей). Для описания этой системы и решетки не достаточно.
И к тому же Вы мне приписываете то, чего я не говорил. И критикуете за это. Я нигде в статье не утверждал, что простые множители и их степени до меня не использовались, а Вы в качестве возражения приводите мне примеры, где они используются. В моей статье описывается способ описания обширного множества чисел (целые, дроби, с дробными степенями), в это множества входят и те частные случаи, на которые Вы ссылаетесь.
Честно, сказать, мне трудно понять Ваши выкладки. Почему, например, отношение возврата долга третьему лицу рефлексивно? Возвращают долг тому, кому должны, а что тогда означает фраза «должен самому себе»?
Какая формулировка задачи исключает роль брадобрея? Как трактирщик получит оплату многократно?
И еще. Вы используете для отношения «бриться» то логику нулевого порядка, то N+1-го. Мне это тоже непонятно. Как показал наш с Вами собеседник Kergan88, для этого достаточно логики первого порядка. И в литературе то же самое говорится. Или я чего-то не знаю?
Это что-то новенькое: начинать определение самоприменимости с выражения в логике нулевого порядка, т.е. в исчислении высказываний. Но, как мне кажется, ясности это вовсе не прибавляет, наоборот, сильно усложняет и без того непростую ситуацию. В литературе по математической логике самоприменимость пляшет от двуместного предиката, а не от бесструктурного высказывания. Предложение «A бреет A», также как и предложение «A не больше A» к логике нулевого порядка никакого отношения не имеют.
Вы, по-моему, путаете равенство множеств в конкретной ситуации и подмену термина в рассуждениях, в которых, допустим, говорится о «деревянных предметах», а из контекста рассуждения ясно, что речь идет всего лишь о «табуретках». В своем определении я говорю всего лишь о том, что при логическом анализе не рекомендуется отождествлять деревянные предметы и табуретки для всех возможных случаев.
Не понимаю, почему в математической логике первого порядка нельзя записать утверждение о бреющемся брадобрее? Представим отношение «брить» как предикат S(x,y). Тогда отношение «бриться» можно записать как S(x,x). Отношение «больше или равно» можно записать как предикат M(x,y). Тогда запись M(x,x) тоже правильна и для множества чисел всегда истинна. Самоприменимые предикаты не редкость в математической логике. Взять хотя бы теорему Геделя о неполноте, при доказательстве которой используется самоприменимый предикат.
Жаль, мне бы было очень интересно и полезно узнать, в чем я не прав.
Спасибо за замечание. Не стану доказывать, что моя статья не демагогия. Не мое дело. Зато Ваша заметка, по-моему, демагогия. То, что «изначально у нас не было утверждения "все честные люди не мошенники"» не означает демагогии. Это утверждение можно было вставить в задачу сразу, а не потом. Это ничего бы не изменило с точки зрения логики. И то, что «это утверждение взялось из воздуха» - это с Вашей точки зрения, а не с точки зрения алгебры логики. Алгебра логики не предписывает порядок посылок. В ней все посылки соединены операцией И (конъюнкция), а эта операция коммутативна (т.е. не зависит от порядка).
Выберу время и посмотрю. Но прежде был бы Вам весьма признателен, если бы Вы сами написали, что думаете об этой статье.
Простите, но здесь речь идет не о математической логике, а об алгебре множеств и теории отношений, которую тоже можно изложить на основе алгебры множеств (если определить отношение как подмножество декартова произведения множеств). Там «самоприменимость» (т.е. по сути рефлексивность некоторых отношений) имеет содержание и не вызывает непонимания в естественном языке (можно привести немало ясных примеров рефлексивных бинарных отношений). В аксиоматической теории множеств, которая, кстати, формулируется на основе исчисления предикатов, такой формализм для самоприменимости имеется и часто используется. Хотя ясности, как мне представляется, это не прибавляет. Согласен с Вами в том, что множество всех множеств определяется с помощью бесконечной рекурсии, и это как раз и есть «артефакт нечеткости» в естественном языке.
Давайте договоримся быть с терминами поаккуратнее. Ранее Вы говорили об аксиомах, а теперь постулаты появились. Некоторые исследователи не считают их точными синонимами. И давайте уважать авторов, тем более таких всемирно известных, как Курант и Роббинс, и не приписывать им того, чего они не говорили. Описанию операций объединения и пересечения предшествуют в книге следующие слова: «Мы определим теперь две операции над множествами …». Перед описанием операции дополнения (с. 138) имеются следующие слова: «Остается дать определение еще одной операции в алгебре множеств». О каких постулатах тут говорится?
Вы можете быть с ними не согласны – это Ваше право. Но тогда и скажите об этом открыто!
И разве Вы не видите разницу между аксиомой и определением? В аксиоме говорится о закономерности, принимаемой без доказательств. Например, в одной из аксиом геометрии утверждается, что через любые две точки проходит прямая и причем только одна. В аксиоме выбора утверждается существование функции с определенными свойствами. А в определениях операций рассказывается, что надо делать конкретно с определенными ранее сущностями, чтобы получить результат. Есть разница?
И еще одно. Предположим, что Вы правы и определения операций над множествами – это аксиомы. И других аксиом у нас нет. Тогда ответьте мне на следующие вопросы: Какому из многочисленных известных вариантов аксиоматической теории множеств соответствует данный вариант? И можно ли с этим вариантом получить те результаты, о которых сказано в двух моих статьях об основаниях логики? Я имею в виду обоснование законов алгебры множеств (и законов классической логики соответственно) и математическую модель полисиллогистики.
Иногда вырванные из текста отрывки, если не учитывать весь текст, можно истолковать по-разному. В первом отрывке, который Вы привели, речь идет о **математической теории множеств**, хотя раздел назван авторами **Алгебра множеств** и речь дальше идет об алгебре множеств, но не о теории множеств. И дальше, кстати, идут слова, которые показывают, что алгебра множеств и теория множеств - разные сущности. Вот эти слова (с. 135):
«*Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к изучению нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллюстрирует большую общность идей современной математики*». Мне представляется, что **алгебраические методы** можно отнести к аксиоматической теории множеств с большой натяжкой. А вот к алгебре множеств – без сомнения.
Далее во втором отрывке Вы приводите якобы аксиомы, которые сами авторы почему-то аксиомами не называют. Ничего не вижу алогичного в том, чтобы назвать эти «аксиомы» определениями операций.
На стр. 140 Курант и Роббинс показывают, как можно построить алгебру множеств как «дедуктивную теорию» с помощью 3-х равенств (их можно назвать аксиомами). Но этот подход рассматривается ими как один из вариантов построения алгебры множеств. И этот вариант назван ими вполне справедливо Булевой алгеброй.
Слова «самой элементарной логики» в книге Куранта и Роббинса вовсе не относятся к аксиомам. Почитайте внимательно с. 137 цитируемого издания.
Я не претендую на теорию множеств и занят не булевой алгеброй, а алгеброй множеств, причем в том значении этого термина, которое определено всемирно известными математиками. Поэтому Ваши вопросы не ко мне и не по теме. Посмотрите вступление к Части 1, пожалуйста.
Согласен с Вами: в основаниях и в преподавании математики надо больше обращать внимание на ДП и его свойства. Но многие из тех, от кого это хоть как-то зависит, категорически против этого. Та же коллизия с алгеброй множеств, которую, кстати, «удачно» обозвали «наивной теорией множеств». Как можно доверять системе с таким названием?
Что касается терминологии АК, тот тут не все так просто. Вообще-то менять термины, когда им уже более четверти века, штука безнадежная. Разве что найдется субъект, который поменяет все термины в АК, да саму АК назовет иначе, например, «Алгебра Пупкина». Кстати, прецедент уже есть – только не всю АК заменили, но АК-объекты по другому названы. Например, D-системы – это «сжатые таблицы D-типа». И об АК ни слова. Персона: А.А. Зуенко, бывший мой соавтор. И на мои (и даже совместные с ним) публикации перестал ссылаться.
Но, предположим, что заменить термины можно. Тогда я бы не согласился с Вами насчет «многозначности» таких терминов, как «атрибут», «домен», «фиктивный атрибут».
Атрибут – одновременно подтверждает сходство с табличным (матрицеподобным) представлением информации в реляционной алгебре и в то же время означает одно из свойств АК-объекта. В таблице это, например атрибуты «Возраст», «Должность» и т.д.
Домен – одновременно связь с реляционной алгеброй и областью изменения переменной в исчислении предикатов (domain).
Фиктивный атрибут – его добавление не меняет семантику отношения, потому и «фиктивный». Служит лишь для большего удобства вычислений. Кстати, это термин я встретил у В.М. Глушкова. Только у него не символ «звездочка», а поэлементное перечисление всего атрибута. Не очень-то удобно…
Что касается термина «компонента», то согласен с Вами – не очень удачный. Мне кажется, было бы лучше использовать для данного случая термин «фрагмент». Или нет?
Спасибо за совет, как построить систему по Гильберту. Подумаю. Только
пока что непонятно, что использовать в качестве «пластов» для АК.
Дорогой MasterMentor! Спасибо за очередной комментарий. Уже много лет пытаюсь «облегчить слог», но, увы! – получаются лишь мелкие шажки в сторону облегчения. Кто бы подсказал, как это сделать!
Что касается Вашего «лирического отступления», то хотел бы вот что к нему добавить.
Алгебра кортежей – это своеобразный гибрид алгебраической системы и n-местных отношений. Может быть, поэтому этот гибрид трудно выразить несколькими словами. Он позволяет описывать и графы, и просто отношения, и логические формулы, и даже функции. О них скажу чуть подробнее (потом кое-что скажу и о кванторах).
Функция - это то же отношение (АК-объект), только к этому добавлены два условия:
1) атрибуты разделены на два класса: область отправления и область прибытия;
2) каждому кортежу элементов из области отправления соответствует не более одного кортежа элементов из области прибытия.
Если условие 2) не соблюдается, то это уже не функция, а соответствие. В математической логике использование функций не всегда правомерно. Например, в алгоритме унификации вместо квантора существования используют функции, хотя было бы более точным использовать соответствия.
Кванторы. От этого «туманного словечка» трудно избавиться. Оно прочно заняло место и в математической логике, и в теории доказательств, и в обоснованиях математики. Что касается предложенного Вами эквивалента «сокращение», то это не совсем точно. Если квантор с переменной x «навешивается» на логическую формулу, у которой переменная x свободная, то это, действительно, сокращение, которое в АК выражается с помощью операции элиминация атрибута. Но если в формуле переменная x отсутствует (или связана, что по сути то же самое), то получается добавление фиктивного атрибута, т.е. сокращения нет. Даже есть «расширение», но без изменения смысла.
«Определение. Группой наз. произвольное множество G с одной бинарной операцией…» (Математическая энциклопедия в 5-ти томах, М.: Советская энциклопедия. 1977. Т.1. С. 1138).
Обратите внимание на слово "одной".
На форуме dxdy (https://dxdy.ru/topic155252.html ) предложили программу на языке PARI/GP, с помощью которой заданное целое число в десятичной системе счисления можно преобразовать в запись этого числа в FPR-системе, причем в формате TeX. Пример работы программы (перевод числа 1234567890 в FPR-запись):
? fpr(1234567890)
[math]$1234567890_{10}=[P_{1}P_{2}P_{3}P_{504}P_{529}](1,2,1,1,1)$[/math]
А вот код программы ( с разрешения автора):
[code]fpr(x)=my(f=factor(x),n=#f[,1]);print1("$",x,"_{10}=[");for(i=1,n,print1("P_{",primepi(f[i,1]),"}"));print("](",strjoin(f[,2],","),")$")[/code]
Спасибо за разрешение связывать. Хотел бы также заметить, что я Вам не отказывал «в праве указывать, что тут сова натянута на глобус».
В моей статье помимо вычитания и сложения для числовых кортежей определены операции inf и sup и умножение на константу (целую или дробную). И еще. Я не уверен, в том, что когда в группу добавляют частичный порядок и «супрематизм/инфинум для любых двух элементов» (???), то она остается группой.
Вы отказываете мне в праве связывать используемые в статье математические объекты с другими математическими объектами? Что, по Вашему, числовой кортеж? Группа (как считают некоторые комментаторы), решетка или алгебраическая система, не имеющая названия, поскольку в ней помимо inf и sup есть другие операции? Как прикажете назвать операции inf и sup в числовых кортежах, если они таковыми и являются, и дано объяснение для чего они нужны? Насчет вопроса, стоит ли «всеръез заниматься», ответ сейчас мало кто знает. Время покажет.
Это мой ответ ripatti. Почему-то не вставился в нужное место.
Выговорите, что это группа. Но группа слишком упрощает эту систему, так как в этой системе минимум две «решеточные» операции и отношение частичного порядка. И еще надо добавлять операции (сложение, вычитание и умножение на константу кортежей). Для описания этой системы и решетки не достаточно.
И к тому же Вы мне приписываете то, чего я не говорил. И критикуете за это. Я нигде в статье не утверждал, что простые множители и их степени до меня не использовались, а Вы в качестве возражения приводите мне примеры, где они используются. В моей статье описывается способ описания обширного множества чисел (целые, дроби, с дробными степенями), в это множества входят и те частные случаи, на которые Вы ссылаетесь.