С тех пор, как мне исполнилось девять лет, в моей жизни было лишь два занятия, которые меня по-настоящему интересовали. К ним относились мой любимый спорт и учёба. Я совмещала игру в гольф за сборную команду России с учёбой на отличные оценки в инженерном классе Московской школы. По окончанию школы, моим следующим шагом было поступление в университет США, где программа student-athlete очень сильно развита. Тебе дают возможность получать высшее образование, а также быть частью спортивной команды, которая соревнуется с командами других университетов в течении всего учебного года. И вот, прошло уже три с половиной года с тех пор, как я стала частью этой команды, а значит, остался один семестр до того, как я надену мантию. И по случаю завершения моей карьеры, в моей голове возник вопрос, а есть ли что-то, что связывает студенческий гольф и знания, которые я приобрела.

Александр Теофил Вандермонд (28 февраля 1735 - 1 января 1796) - французский музыкант и математик, известный благодаря своей работе в области высшей алгебры.

Главным увлечением Вандермонда длительное время была лишь музыка, но к 35-ти годам юный ученый обратился к математике. Первым делом он провел исследование симметрических функций и решения круговых полиномов, после чего выпустил три статьи: про задачу о ходе коня, про комбинаторику и про основы теории детерминантов. 

В честь Александра Теофила был назван специальный класс матриц - матрицы Вандермонда, о котором пойдет речь в данной статье. [1]

Введение

Карл Давид Тольме Рунге (30 августа 1856 - 3 января 1927) - выдающийся немецкий математик, физик и спектроскопист. Обучался в Берлинском университете, где получил степень PhD, являлся профессором математики в Ганноверском университете, а также главой кафедры прикладной математики в Гёттингене. [1]

в 1901 году Карл открыл "Феномен Рунге" - в численном анализе эффект нежелательных колебаний, возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней - о котором пойдёт речь в данной статье. [2]

Но прежде, чем мы окунёмся глубже в изучение данного феномена, давайте поговорим об интерполяционном многочлене Лагранжа, на примере которого мы и разберём Феномен Рунге.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Полином Лагранжа - это математическая функция, позволяющая записать полином n-степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Многочлен в форме Лагранжа в явном виде содержит значения функций в узлах интерполяции, поэтому он удобен, когда значения функций меняются, а узлы интерполяции неизменны. Число арифметических операции, необходимых для построения многочлена Лагранжа, пропорционально и является наименьшим для всех форм записи. [3]

Полином Лагранжа в общем виде выглядит следующим образом:

Еще в 1940-х годах, Джон фон Нейман и Станислав Улам изобрели моделирование Монте-Карло или численный метод Монте-Карло. Они назвали его в честь известного места азартных игр в Монако, поскольку этот метод имеет те же случайные характеристики, что и игра в рулетку.

Методы Монте-Карло представляют собой широкий класс вычислительных алгоритмов, которые полагаются на повторяющуюся случайную выборку для получения численных результатов. Основная концепция заключается в использовании случайности для решения проблем, которые в принципе могут быть детерминированными. Численный метод Монте-Карло использует три класса задач, такие как оптимизация, численное интегрирование и генерация результатов на основе распределения вероятностей.

Метод Монте-Карло используется в реальной жизни, например, в задачах, связанных с физикой, создании искусственного интеллекта, прогнозировании погоды и так далее, а также имеет огромное применение в финансах, где числовой метод Монте-Карло используется для расчёта стоимости акций, прогнозировании продаж, управления проектами и многого другого.^[1]

Основное преимущество использования Монте-Карло заключается в том, что этот метод обеспечивает множество возможных результатов и вероятность каждого из большого пула случайных выборок данных, однако, метод зависит от предположений, и это иногда может быть сложной задачей. Некоторые другие преимущества Монте‑Карло: он изучает поведение системы без её построения, обеспечивает в целом точные результаты, по сравнению с аналитическими моделями, помогает обнаружить неожиданное явление и поведение системы, а также выполнить анализ «что, если». ^[2]