maisvendoo Jul 16 2015 at 23:06

Магия тензорной алгебры: Часть 9 — Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем Maxima

8 min

14K

Mathematics*

+25

Comments 7

PapaBubaDiop Jul 17 2015 at 07:57

И все таки хотелось бы картинки формулы тензора угловой скорости, зависящей от углов поворота в декартовой системе координат. Я выписал ее лет 20 назад на бумажку из какой-то статьи, но со временем чернила стерлись, одна надежда на вас.

maisvendoo Jul 17 2015 at 08:24

зависящей от углов поворота в декартовой системе координат

Конкретный вид матрицы зависит от того какие это углы. Если речь идет о поворотах вокруг координатных осей, то можно глянуть здесь.

А можно получить непосредственно из (3), например для оси Z. Формула (3) в матричном виде

$\mathbf{B} = \left(1 - \cos\varphi \right ) \mathbf{u} \, \mathbf{u}^{\,T} + \cos\varphi \, \mathbf{E} + \sin\varphi \, \mathbf{U}$

Орт оси поворота и порождаемая им кососимметричная матрица

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{U} = \begin{bmatrix} 0 && -1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \end{bmatrix}$

Матричное произведение столбца на строку

$\mathbf{u} \, \mathbf{u}^{\,T} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

Складываем всё вместе

$\mathbf{B_z} = \begin{bmatrix} 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 - \cos\varphi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos\varphi && 0 && 0 \\ 0 && \cos\varphi && 0 \\ 0 && 0 && \cos\varphi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 && -\sin\varphi && 0 \\ \sin\varphi && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} \cos\varphi && -\sin\varphi && 0 \\ \cos\varphi && \sin\varphi && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

И таким образом для декартовой системы координат можно получить матрицу поворота вокруг произвольной оси, заданной в пространстве компонентами вектора u

PapaBubaDiop Jul 17 2015 at 09:11

Эту матрицу бе-Зет и второклассник знает наизусть, тем более она у вас с ошибкой написана))
А вот вокруг вектора на произвольный угол нужна на хабре, чтобы бумажку не искать.

-1

PapaBubaDiop Jul 17 2015 at 09:13

И пожалуйста тензор деформации в углах поворота фи и пси.

-1

maisvendoo Jul 17 2015 at 09:14

вокруг вектора на произвольный угол

Вот она
$\mathbf{B} = \left(1 - \cos\varphi \right ) \mathbf{u} \, \mathbf{u}^{\,T} + \cos\varphi \, \mathbf{E} + \sin\varphi \, \mathbf{U}$

c ошибкой

Да, перепутал при наборе
$= \begin{bmatrix} \cos\varphi && -\sin\varphi && 0 \\ \sin\varphi && \cos\varphi && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix}$

maisvendoo Jul 17 2015 at 08:24

del

PavelSandovin Jul 17 2015 at 10:15

>> Жестокие тензоры не хотели упрощаться. Вернее, они то хотели, но при преобразованиях, раскрытии скобок, в силу невнимательности возникали мелкие ошибки, которые не позволяли взглянуть на картину в целом.

Вы не пробовали нотацию Пенроуза для тензорных вычислений? Она изложена в дополнении к книге Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время (в 2-х томах). Т.1: Два-спинорное исчисление и релятивистские поля.

Выглядит как пляшущие человечки, но, говорят, очень хороша для ручных вычислений.

Show the best of all time