Comments 17
( \mathbf{e_1e_2} )^2 = \mathbf{e_1e_2e_1e_2} = -\mathbf{e_1e_1e_2e_2} = \mathbf{(e_1)^2 (e_2)^2} = -1
Здесь в формуле потерялся минус в предпоследнем выражении? Должно быть -(е1^2)(e2^2)? Или я что-то неправильно понимаю? Также с рисунком, где представляется тривекторы и их связь с ассоциативностью — долго разглядывал, но либо опять же рисунок не совсем соответствует подписанным формулам, либо я что-то не совсем понял.
В целом очень интересно и доступно, спасибо! Действительно очень естественные конструкции.
1. Обычно замалчивается тот факт, что векторное пространство фактически игнорирует наличие в нем независимых точек. В том смысле, что все векторы считаются исходящими из одной точки. При таком допущении внешнее произведение двух векторов действительно образует бивектор (плоскостной элемент). Математически это можно выразить формулой внешнего произведения: (ab) ^ (bc) = (abc). Здесь (ab) = b — a — это вектор, представленный как разность точек. Но если векторы не имеют общей точки, то слияния вершин не происходит: (ab) ^ (cd) = (ab) (cd). Это уже не плоскость. И в общем случае надо различать, какие именно векторы перемножаются.
2. Само «геометрическое произведение» выглядит довольно искусственным. Тут смешаны операции внешнего умножения и деления (это скалярное произведение). По аналогии можно определить подобную операцию для чисел: f(x, y) = x*y + x/y, и далее выражать через неё какие-либо тождества. Наверное, можно что-то любопытное нарыть, но выглядит подозрительно.
2. Математика — вообще очень искусственная наука. Квадратичные расширения (двумерное пространство с базисом (1, \sqrt{C} | C \in Q)), например, очень полезные, хотя мало отличаются от нашей конструкции. Тут изящество в том, что мы быстро забываем про слагаемые и произведение начинает само по себе какие-то формулы доказывать.
По теме — прикольно, но хотелось бы понять, почему всё так красиво и в физике и в чисто инженерных областях одновременно.
1. Да нет, в определении векторного пространства нет никаких точек, только вектора и скаляры.
Ну формально-то да. Только при таком определении данному пространству сложно придать хоть какой-то прикладной смысл. И в геометрии, и в физике векторы привязывают к точкам, но при этом продолжают использовать свойства векторного пространства, что не выглядит логичным.
2. Математика — вообще очень искусственная наука.Математика — она разная. Геометрическая алгебра претендует на описание существующего, а не воображаемого мира. Поэтому я бы удивился, если бы его создатель использовал такое усложненное произведение. Оно больше похоже на трюк, хотя безусловно прикольный.
Геометрическое произведение — это трюк, позволивший Клиффорду объединить метод кватернионов с геометрическим языком Грассмана. Поэтому оно самое известное. В геометрической алгебре есть много произведений на все случаи жизни. Сам Грассман, как пишут историки, ввёл аж 16 разных произведений. Я знаю шесть. Они все могут быть выражены через геометрическое произведение, поэтому оно действительно удобное, но это не значит, что данная операция обязана иметь сакральный смысл. Это просто удобная форма, через которую можно соединять разные операции над мультивекторами в одно выражение.
Я не силен в истории математики (да и насчёт самой математики тоже не уверен). Поэтому не знаю, оперировали ли Грассман и/или Клиффорд понятием копространства. Подозреваю, что нет. Иначе зачем бы вводить такие странные произведения. Внешнее произведение и копространство, ну ещё линейные формы. Все, больше не надо ничего плодить.
Думаю, Клиффорд знал о симметрии векторной алгебры, то есть понимал за копространство. Но, вообще, не особо понял тезис. Одно другому не мешает.
На сайте projectivegeometricalgebra.org есть и копространство и всё, чего угодно.
Линейных форм от координат мультивектора классической Cl алгебре, конечно, нехватает. Фактически при введении линейных операторов мы получаем переход от геометрической алгебры к тензорному исчислению, что позволяет… объяснить некоторые особенности тензорного исчисления.
Извиняюсь за дилетанство, я не нашел четкого определения копространства, что вы упомянули. Но судя по всему, как мне кажется, вы называете копространством то что они называют дуальность. В этом случае вы 100% правы, геометрическое произведение это и есть основа, и все другие произведения выводятся из него тем или иным образом, в том числе с помощью дуальности. И сама дуальность это тоже умножение на псевдо-скаляр. Все эти произведения введены по-большому счету для удобства, без них формулы будут многоэтажными.
Очень хорошее наблюдение. Сейчас мода на т.н. "языки программирования" - и многие "пилят" свой. В 19-м веке то же, наверное, было и с математикой: многие пытались "запилить" свою алгебру (или хотя бы повводить операторы на существующих). А проверялся сий продукт просто: насколько полученная алгебра удобна для отображения ("моделирования") физики реального мира, или насколько она сокращала математику физ-мат-моделей. Отсюда под разные кейсы "Сам Грассман, как пишут историки, ввёл аж 16 разных произведений", и при этом скомбинировал их через "все могут быть выражены через геометрическое произведение". Молодец. :)
PS Полагаю, в этом весь "сакральный смысл" этих операторов, впрочем, как и всех прочих.
Это довольно интересно и проясняет многие моменты, откуда берутся все эти суммы «разноразмерных» величин типа e2 + e1·e3 + e1·e2·e3.
Например, в 4-ёх мерном пространстве любая алгебра Клиффорда имеет 16 базисных «векторов», но при этом всего 4 генератора. А те же матрицы Паули это как раз генераторы в алгебре Клиффорда.
И вообще, представляется, что путь к ГА «сверху» от алгебр Клиффорда и их матричных представлений более рационален, нежели «снизу» путём «усложнения» векторов и введения поистине интригующих операций в этом зоопарке.
Я например интуитивно понимаю что в ГА можно интегрировать (какую-нибудь формулу) по мультивектору. И это чертовски охрененно! Можно делать closed form solutions для проблем которые требовали сложных алгоритмов! Но как именно интегрировать — это уже выше моего понимания.
У меня получается интегрировать по компонентам мультивектора, и это даже работает
( github.com/sergehog/tiny_pga/blob/main/test/autodf_pga3d_test.cpp#L100 )
но все же это не так круто как если бы вывести формулу просто решив диф-уравнение аналитически.
Единый математический язык для физики и инженерного искусства в 21 веке