Часть 1: скалярное произведение и метрика

Часть 3: стереографическая проекция

Существуют как минимум две конкурирующие теории о форме Земли, первая из которых утверждает, что земля плоская, а вторая, что поверхность земли напоминает сферу (не учитывая перепады высот из-за гор и т.п. географических объектов). Лично я не придерживаюсь никакой из этих теорий, хотя в этом посте будем считать что верна вторая, исключительно ради наглядности.

Гипотетический вид Земли из космоса, если бы она имела форму сферы

В этой части разберем сферу: введем параметризацию этой поверхности, индуцируем на ней метрику, поймем что такое прямые на поверхности и как они выглядят на сфере.

Параметризация сферы

Сферу радиуса и центром в начале координат в трехмерном пространстве можно записать как множество решений уравнения или в параметрической форме, т.е. как зависимость вектора от параметров $(\theta,\phi)$ (без , потому что радиус фиксированый): $(x,y,z)=(r \sin \theta \cos \phi, r\sin \theta \sin \phi, r\cos\theta)$ . При подстановке этих выражений в неявное уравнение сферы получится тождество (проверьте!), а значит эти два вида задания поверхности эквивалентны.

Параметрическая форма часто удобнее - в ней есть интерпретация параметров - $\theta$ это угол поворота точки вдоль меридиана, где 0 указывает на северный полюс, а $\pi$ на южный, $\phi$ это угол поворота точки вдоль экватора. На картинке обозначет точку на сфере.

Любая точка на сфере однозначно определяется двумя углами: $\phi, \theta$

Некоторые кривые на сфере очень просто задать в параметрической форме: например, любой меридиан получается фиксированием угла $\phi$ , а параметр $\theta$ меняется от до $\pi$ . Экватор тоже легко задать: $(\phi \in [0, 2\pi], \theta=\pi/2 )$ .

Ещё один плюс параметрического задания сферы - оно подчеркивает двумерность сферы, то есть то, что каждую точку сферы можно описать двумя числами, хотя сама сфера и лежит в трехмерном пространстве. По этой причине сферу называют двумерной и обозначают .

Метрика сферы

Индуцируем метрику из объемлющего пространства на сферу:

${dl}^2={dx}^2 + {dy}^2 + {dz}^2$ $\begin{equation*} \begin{cases} x=r\sin{\theta}\cos{\phi}, \\ y=r\sin{\theta}\sin{\phi}, \\ z=r\cos{\theta} \end{cases} \end{equation*}$ $\begin{align*} dx&=r\cos{\theta}\cos{\phi}d\phi-r\sin{\theta}\sin{\phi}d\phi \\ dy&= ... \\ dz&=-r\sin{\theta}d\theta \end{align*}$ $\begin{align} {dx}^2&=...; {dy}^2= ...; {dz}^2=r^2({d\theta}^2+\sin{\theta}{d\phi}^2) \\ dl^2 &=r^2({d\theta}^2+\sin^2\theta{d\phi}^2) \end{align}$

Используя эту метрику, можно считать длины кривых, например, длина экватора на сфере единичного радиуса равна $2\pi$ , рассчет

$\gamma = (\phi \in [0, 2\pi], \theta = \pi / 2);$

$\sin{\frac{\pi}{2}}=1, d\theta=0, {dl}^2={d\phi}^2$

$l(\gamma) = \int_0^{2\pi}d\phi = 2\pi$

Прямые на сфере 🤯

Теперь нужно сделать очень важный шаг - понять, что такое прямые в евклидовом пространстве и как это понятие перенести дальше, на поверхности. Википедия говорит:

Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.

На евклидовой плоскости понятие прямой интуитивно - это неограниченная линия со следующим свойством: если на прямой выбрать две точки A и B и начать проводить различные кривые $\gamma$ так, что обе точки будут лежать на них, то среди всех таких кривых прямая имеет наименьшую длину.

Среди всех кривых между выделенными точками прямая имеет наименьшую длину — Среди всех кривых между выделенными точками прямая $\gamma_2$ имеет наименьшую длину

Среди всех кривых между выделенными точками прямая $\gamma_2$ имеет наименьшую длину

На поверхностях можно точно так же находить кривые, отрезки которых от точки до точки будут иметь наименьшую длину. Нестрого и неформально, таким свойством обладают геодезические - важный объект в дифференциальной геометрии. На произвольной поверхности геодезическая определяется единственным образом для каждой точки как кривая, идущая через эту точку в определенном направлении. Чтобы найти геодезическую на поверхности, нужно выписать и решить систему дифференциальных уравнений второго порядка. Формальное определение и его суть не сильно важны для нас, по этому лучше не фокусироваться на этом, а воспользоваться следующей интуицией: геодезическая на поверхности - это аналог прямой на евклидовой плоскости по свойству кратчайших расстояний. В дальнейшем я буду использовать слова “геодезическая” и “прямая” как синонимы.

Геодезические довольно сложная тема, и полноценное погружение даже в частный случай - геодезические на двумерных поверхностях - слишком сложно для этой статьи, поэтому предлагаю ознакомиться с ними в книжках или курсах по дифференциальной геометрии.

На некоторых поверхностях геодезические найти просто - на плоскости это всевозможные прямые , а на сфере это большие круги, то есть пересечения сферы с плоскостями, которые проходят через начало координат. Прямую на сфере можно написать как множество решений системы $\{x^2 + y^2 + z^2 = 1, ax + by + cz = 0\}$ , где фиксированы и определяют конкретную плоскость, или в параметрической форме: $(\cos\phi\cos t-\sin\phi\sin t\cos\theta, \sin\phi\cos t + \cos\phi\sin t\cos\theta,\sin t\sin\theta)$ , где $(\phi, \theta)$ фиксированы и определяют углы наклона большого круга, схоже с координатами на сфере, а изменяется от до $2\pi$ - это параметр одномерной кривой.

Вот анимация поворота геодезической на сфере:

Анимация поворота геодезической на сфере

Параллельных прямых на сфере нет 🤯🤯🤯

После того как мы поняли, какой вид имеют прямые на сфере - можно сделать вывод как в заголовке. Прямые на сфере делятся на два, так сказать, ортогональных класса: меридианы, которые проходят через северный и южный полюса - они уже пересекаются в этих точках - и экваторо-подобные прямые. Очевидно, что экватор пересекается дважды с любым из меридианов. Параллели с глобуса не рассматриваем, потому что они хоть и не пересекаются, но не являются прямыми - геодезическими. На мой взгляд, все довольно интуитивно, вот картинка с несколькими прямыми на сфере. Обратите внимание, что они все пересеклись.

Несколько прямых на сфере, любые две из них пересекаются в двух точках

Этот факт, что прямые это большие круги, можно проиллюстрировать и на картах Земли. Их делают при помощи проекций какого-либо рода, и прямые на сфере больше не выглядят как прямые на карте. Поэтому на карте не всегда правильно мерять расстояние “по прямой” просто приложив линейку - ведь поверхность Земли искривлена.

Кратчайшие расстояния между точками на карте будут достигаться не прямыми линиями, а “дугами”, и это явно можно заметить на глобусе

Сфера это отличный и наглядный пример поверхности, на которой нет параллельных прямых - её очень легко представить, легко понять как выглядят на ней прямые и что они все пересекаются. Однако есть и один существенный минус - сфера представляется как поверхность в евклидовом пространстве, и хоть на ней и нет параллельных прямых, они все ещё есть в пространстве, в которое она вложена. Перед переходом к другой геометрии необходимо сделать ещё один шаг - "вынуть" сферу из объемлющего пространства. Про один из способов как это сделать напишу в следующей части.

Путь к геометрии Лобачевского 2: сфера