Comments 12
Знаете, чем отличаются хорошие математические теории от тавтологичных или вовсе неверных? С их помощью можно решать задачи, которые можно сформулировать и без них. Есть какая-то задача, которую можно сформулировать в общеизвестных математических терминах и которая имеет верное нетривиальное решение благодаря вашей теории? Если есть, то начните с того, что продемонстрируйте её - тогда отношение к вам на Хабре станет серьёзным. Если нет, то признайте, что вы занимаетесь не математикой, а кое-чем другим.
V задачи, которые можно сформулировать и без них.
Задача 1: Найти решения квадратичного сравнения при заданном вычете а и модуле приведения N;
Задача 2: Построить закон распределения делителей N составного модуля кольца вычетов
Задача 3: Найти идемпотенты, инволюции кольца вычетов по составному модулю N
Предлагаемая в теории модель обеспечивает решение этих задач исключая перебор, что другими методами сделать без перебора не удается.
Обо всем этом я уже писал в публикациях и в этой статье делаю ссылки.
Задача 3: Найти идемпотенты, инволюции кольца вычетов по составному модулю N
Ну вот сколько я помню, кольцо вычетов по составному модулю изоморфно декартову произведению по примарным:
Для примарных колец идемпотентами являются только вычеты 0 и 1. Ну и остается решить систему
По китайской теореме об остатках - система однозначно разрешима для любого набора эпсилон. Итого получаем 2^n решений. Все решения легко находятся по алгоритму из той же китайской теоремы об остатках.
РS. Теперь несколько разочарую Вас. Дело в том, что Вы решаете другую задачу, в которой кроме числа N известны его делители. В моей статье о делителях ничего неизвестно, их-то как раз я и предлагаю находить через найденную инволюцию, так что КТО воспользоваться нельзя.
Тем не менее, то, что Вы свободно разбираетесь в понятиях о кольцах, мне понравилось. Если есть время и желание пройдитесь по тексту статьи. Делители определяются как результат решения, а не как исходные данные.
В формулах для номеров строк, в которые происходит вытеснение центральных строк троек, я выписываю и делители, чтобы показать как от них зависят эти номера. Но первично эти номера определяются вычислениями строк модели с проверкой свойства ССС для среднего вычета. Эти вычисления требуются до первого обнаружения среднего вычета rccc.
Проверьте себя хотя бы для N=119 =7х17. Что есть нетривиальные идемпотенты и что есть инволюции? А элементы 0 и 1 - это тривиальные.
В 
и 
нетривиальных идемпотентов нет. Поэтому в 
будет ровно 2*2=4 идемпотента (из них два элементарных). Неэлементарные находим по китайской теореме об остатках. Это 85 и 35.
Для инволюций рассуждения примерно такие же. Единственно, что если в разложении есть p=2 в степени a>2 их будет 4, а не 2 (в этом разложении), а для случая p=2 и его степени a=1 - будет 1. Ну и всего снова 
или 
, если N делится на 8 или 
, если N делится на 2 и не делится на 4.
В данном случае (N=119) инволюции это 1, 50, 69, 118
Для получения решения используется модель составного числа и Закон распределения делителей
Вы можете сформулировать алгоритм этого решения? Я правильно понимаю, что первый шаг тут построить всю таблицу "модель составного числа", выписав все числа от 1 до (n-1)/2, их квадраты по модулю и еще значения нескольких тривиальных функций?
Чем это отличается от тривиального алгоритма поиска инволюций: проверить все числа от 1 до (n-1)/2 и посмотреть, являются ли они инволюциями?
Получается, что уважаемый академик Арнольд знает, что не существует универсального метода определения делителей составных чисел
Уважаемый академик, очевидно, утверждал про какие-то эффективнфые методы. Потому что наивный же перебор всех чисел и проверку на делимость всегда есть. Универсальнее некуда. Приведенный вами метод ничем не лучше, ибо точно так же требует постоения почти всей таблицы, а значит точно также не эффективен.
Определённо не хватает теоркат схемы отношений всех этих штук между собой.
Вы можете довольно быстро закончить все Ваши исследования с помощью chatGPT 4o. Даже бесплатной. Просто поручите ему проверить сложность каждого шага Вашей гипотезы и Вы увидите, что Ваш алгоритм имеет экспоненциальную сложность, то есть ничем не отличается от перебора. Увы, многие увязли в этой ловушке. Идеи симметрии кратных делителей и квадратичных вычетов ещё более наглядны в треугольных вычетах и кратных разностях делителей
Модель числа I. Нахождение инволюции