Вот я что-то никак не пойму спустя годы, а в чем концепция другая? Если в Linux чтобы настроить samba мне надо ставить сервер и конфигурировать его, то и в Windows чтобы настроить FTP мне надо ставить сервер и конфигурировать его. В одном случае (Linux) мне дали команды и текстовый редактор для настройки (хотя в некоторых дистрибутивах есть GUI), в другом случае (Windows) мне дали команды и GUI. Получается, что у нас за разная концепция? Алфавитно-цифровой интерфейс vs GUI?
Вы всегда можете разделить интервал на два интервала каким-то числом, дав ему имя. Проблема в том, что вы никогда не узнаете, что это за число (даже приближенно, если не знаете границ интервала).
Полезное число - это очень хороший термин, надо разобраться что это такое. Число имеющее только имя на самом деле нельзя даже складывать с другими числами. Ну, то есть можно, но мы получим выражение вида a + x, с неизвестным x. Полезно это или нет? Может быть и полезно. Но если мы захотим обозвать полезными только те числа, которые могут иметь позиционную, например, запись (чтобы ими все же можно было оперировать не только как символами), то надо потребовать уже что-то большее имени числа - его запись или формулу, то есть, в обоих случаях, алгоритм построения.
Этими вопросами занимается не классический, а конструктивный анализ. А то, что континуум не нужен - это сильное утверждение, на самом деле, континуум многое упрощает в классическом анализе.
С п. в) все хорошо, потому что можно представить себе некоего пифагорейского оракула, который выдает вам одно за другим число из полного списка а далее вы применяете к нему "диагонализацию".
Дух, демон, божество, техническое устройство - не важно, как устроен пифагорейский оракул, важно что мы ему доверяем. Если мы согласились с этим, то п. в) уже не является проблемой.
Ну и на самом деле, такой оракул существует - это абстракция прямой, с точкой O, от которой можно откладывать отрезки ОА, ОВ, ОС и т.д. записывая их в некотором порядке. У каждого отрезка будет длина = какому-то числу. Ясно, что такая прямая содержит все числа. Ясно, что из нее всегда можно извлечь счетное подмножество чисел.
Вопрос в том, можно перенумеровать все числа, таящиеся в этой прямой? Или извлекая числа одно за другим, извлечь все числа. Ответ: нет, ни то, ни другое невозможно.
Нет, не такое же. Еще раз посмотрите что я написал, и что вы пишете.
Попробую еще раз, но это последняя попытка )))
Если список чисел полный (включает все числа), то он либо счетный, либо нет.
Если он счетный, то я могу его перенумеровать. Но я нахожу некое число (которое есть в списке в силу его полноты и которое не имеет номера. Значит, список не счетный.
Этот вывод никак не затрагивает предположение о том, что список полный.
Зайдем с другой стороны (судя по вашим комментариям, вы смотрите с этой точки зрения или близкой к ней на предмет)
Пусть дан счетный список чисел. Тогда он либо полный, либо нет. Если он полный, то я найду в нем все числа, и каждое число будет в нем под каким-то номером.
Ой, вот незадача - я нашел число которое не имеет номера. Значит, мой счетный список не полный. Добавив к нему это новое число я получу новый счетный список, который, очевидно, тоже будет не полным (для этого я запишу новое число в начало списка и повторю рассуждение уже для этого нового списка).
Повторяя эту процедуру я всегда буду получать счетный список чисел, который, однако же, никогда не будет полным.
Ключевое в этом рассуждении: фраза "путь дан счетный список чисел".
Значит, что мы получаем? Если только мы можем перебрать все счетные списки чисел, то любой из них не является полным, а раз так, то полный список не может быть счетным.
Это - альтернативное построение аргумента, как и первый случай оно имеет ту же уязвимость: а что, на самом деле, мы перебираем? Откуда уверенность, что мы можем перебрать все такие объекты?
Еще раз повторю, на дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел строится арифметика, они удовлетворяют всем аксиомам поля и представляют собой модель действительных чисел. По определению, действительным числом называется сечение, определенное своим представителем - классом рациональных чисел.
То, что единичнаясущность может быть задана множеством объектов другого рода - это очень сильная идея в теории Дедекинда. На практике сталкивался с подобным, это очень неочевидно.
Проблема в том, что нет способа вообще никакого выбрать бесконечно близкие числа.
Для аргумента Кантора это не нужно. Выбрать в каком смысле?
Только записав предел. А пределы не являются числами. С ними нельзя оперировать как с полем.
Как раз идея состояла в том, чтобы узаконить пределы как числа) если последовательность имеет предел, то он является числом; иначе говорим о последовательности не имеющей предела, такое тоже бывает.
Желание Кантора ввести порядок трудно назвать исполненным. Даже вообразив возможность упорядочивания он сразу уткнулся в противоречие, только вывод сделал ошибочный, что это полный список получилось дополнить и сделать его вдруг несчетным. Да с чего вдруг? Нет оснований для такого вывода. И какие тут звездные математики могут это спасти своим авторитетом?
Мы предполагаем, что: а) список полный и б) список счетный
Раз так, то мы считаем что можем записать его в табличку. Но тут находится число которое есть в списке (так как он полный) но у которого нет и не может быть номера это противоречит пункту б) но не пункту а).
Значит, надо отмести пункт б). Но пункт а) не пострадал.
Пункт а) недостоверен по той причине, что не понятно, что это такое "полный список действительных чисел" и как его построить.
п. б) Допустим, вы построили такой список. Докажите теперь, что на нем возможна какая-либо структура порядка.
Этот пункт не существенный, то, что порядок нужен - иллюзия, возникающая при таком изложении аргумента Кантора, когда приводящая к противоречию гипотеза "существует нумерованный список таких чисел" записывается в виде таблицы; но это не обязательно, можно же показать, что для любой инъекции f: (0,1) -> N существует y = y(f), такое, что для любого натурального n f(y) не равно n.
Это означает, что любая инъекция такого вида не есть биекция, и взаимно-однозначное соответствие между (0,1) и N невозможно.
Таким образом уязвимым местом в "аргументе Кантора" остается лишь пункт а) причем изложенный более строго, чем я написал выше, а именно:
- существует (бесконечное) множество инъекций интервала (0,1) в множество натуральных числе N которое мы можем перебрать.
То, что множество таких инъекций - существует - очевидно (достаточно взять последовательность x_n = 10^-n. То, что оно бесконечное, т.к. содержит счетное множество - тоже увидеть несложно и это факт конструктивный. Сомнения может вызывать только сама возможность перебора всех отображений такого вида. В этом и есть суть "наивного" подхода Кантора, который считал, что это возможно.
И вот тут есть конечно же проблема. Пусть у нас есть некое бесконечное множество X, и x - его произвольный элемент. Суждение "Если этот произвольный элемент x обладает неким свойством Q, то таким свойством Q должны обладать все элементы X." - на первый взгляд кажется несомненным.
Но что такое есть произвольный элемент x?
При трезвом размышлении становится ясно, что это не более чем символ, обозначение (имя) для какого-то объекта, для которого нет на самом деле гарантии возможности его выбора. Ведь в самом деле, если я выбрал этот элемент один раз, то я должен иметь возможность выбрать его и второй раз и третий (разумеется, положив его в исходное множество обратно перед каждым выбором).
И если я произвожу такие повторные выборы, то я должен быть уверен, что выбираю именно первоначальный элемент x, а не какой-то другой, очень на него похожий, но на самом деле им не являющийся, то есть x', и далее x'' и т.д.
Следовательно, должна быть процедура верификации того, что x'' = x' = x. На чем же может быть основана такая процедура? Только на некоем тексте, который, очевидно, должен быть конечным и который описывает существенные (индивидуальные) признаки нашего объекта x. Для чисел, например, это может быть формула, позволяющая вычислить их с заданной заранее точностью.
Даже если вы каким-то образом определили, зачем я оставил здесь свой коммент, для меня цель написания этой статьи осталась загадкой, могу предполагать, что цели у нас были разные.
Ну а если критиковать по существу - статья не раскрывает тему блокчейна. Вообще. Ни одной технической подробности. Вместо этого вы проталкиваете мысль что биткоин это то же самое, почти, что доллар США. Хотя это не так, очевидно, хотя бы юридически :)
Кантор рассуждал так: пусть у нас есть список всех возможных бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Мы якобы можем их пронумеровать: первая, вторая, третья и так далее. Теперь мы возьмём по одной цифре с диагонали этого списка (от первой — первую, от второй — вторую и т.д.) и заменим каждую: 0 на 1, 1 на 0. Получим новую последовательность.
Эта новая последовательность гарантированно отличается от каждой в списке хотя бы в одном разряде — значит, она в этот список не входит. Следовательно, никакой полный список не существует, и множество всех таких последовательностей — несчётно.
Вчитался, и вижу, что Вы неправильно описали суть диагонального аргумента Кантора. Суть как раз заключается в том, что при таком построении аргумента, а) постулируется, что полный список последовательностей из нулей и единиц существует. б) предполагается, что этот список можно занумеровать в) строится элемент списка, который занумеровать нельзя.
По п. в) все хорошо. Этот пункт конструктивный, так как он по сути выражается алгоритмом:
пусть дан бесконечный список упорядоченных бесконечных двоичных последовательностей, тогда на каждом i шаге выбирай i-ю цифру и пиши новую последовательность. где i - натуральное число, номер шага.
Следовательно, критика аргумента должна быть направлена на
п. а) Бесконечный список бесконечных последовательностей из нулей и единиц? А такое существует? Дайте его конструктивное построение тогда.
п. б) Допустим, вы построили такой список. Докажите теперь, что на нем возможна какая-либо структура порядка.
Без этих двух важных уточнений "диагональный аргумент Кантора" можно отвергать как несостоятельный (надо же, а когда-то я его изложение наизусть учил как в лекциях, чтобы пятерку получить).
Число будем называть финитным, если для него существует итеративный строго детерминированный (не включающий генераторы случайных величин) алгоритм построения, завершающийся за N шагов.
Тогда целые и рациональные числа - последние именно как дроби P/Q, а не десятичное представление, где запись иногда будет бесконечной - финитны.
Аналогично, финитным назовем геометрический объект, который определяется однозначно конечным набором своих точек. Финитными будут в этом смысле, например, многоугольники и, самое простое, пары точек. Ясно, что между парами точек и рациональными числами можно установить соответствие выбрав одну из пар за эталон.
Таким образом, мы имем соответствие между финитными объектами, и оказывается, что и счетным и измеримым величинам соответствует понятие, которое можно назвать числом.
Однако, диагональ единичного квадрата - которая тоже задается парой точек - не выражается никаким финитным в смысле данного выше определения числом. Для нее существует итеративный алгоритм приближения к числу, выражающему эту длину, но он бесконечный.
Возникает вопрос: считать ли длину диагонали единичного квадрата числом или нет? Если мы считаем ее числом, то далее следует теория (Дедекинда), в которой строится континуум из классов рациональных чисел, называемых сечениями (представляющих действительные числа).
Несчетность континуума следует из невозможности построить взаимно-однозначное соответствие с множеством рациональных чисел. Множество рациональных чисел однако вкладывается в эту новую структуру, поэтому множество сечений имеет по определению, большую мощность.
Все построение теории Дедекинда можно провести на рациональных дробях и последовательностях. За пределы строго финитных рассуждений мы выходим только начиная работать с последовательностями, т.к. последовательность в целом есть бесконечное множество.
Но тут есть одна важная деталь: для построения теории достаточно таких последовательностей, которые описываются алгоритмами с итеративным повторением одинаковых шагов или конечных последовательностей одинаковых шагов. Такие описания ни ужаса, ни удивления не вызывают - каждый элемент такой последовательности конструктивен, он вычисляется за конечное число шагов.
Так что, получается, существование континуума не нужно постулировать, он строится вполне понятным, конструктивным образом из финитных объектов.
Другое дело, что мы не можем конструктивно оперировать с континуумом в целом. Из всех чисел, которые в нем обитают нам доступно в каждый данный момент времени лишь счетное подмножество чисел имеющих формулы или хотя бы обозначения.
Любое математическое доказательство является ошибочным или безошибочным только относительно принятой системы аксиом и правил вывода, в которых оно строится. Не нравится ZNF - используйте другую систему. У вас будет другая математика.
Эксплойты встраиваются в doc, docm, pdf. Теоретически можно устроить атаку через шаблон и с docx. А вот png, jpg, jpeg, mp3, mp4 - в них тоже можно встроить какой-то эксплойт? o_O
1) Аутист пишет в свой персональный блог при помощи Chat GPT. Этот блог никому не известен и не интересен, как и сам аутист. 2) Далее CMM издательства Питер (скорее всего самозанятый на разовом заказе), получив задание "написать пост для поддержания интереса к блогу издательства на Хабре", долго думает что бы такое выдать. 3) Но поскольку задание поставлено без четких ожиданий, а CMM не будучи вообще IT-специалистом, и не обладая компетенцией выбрать что-то действительно интересное для IT-специалистов, находит заметку с хайповым топиком в каком-то никому не известном блоге. 4) Поскольку это кажется чем-то новым, переводит статью аутиста при помощи Chat GPT, немного правит грамматику и структуру и отдает заказчику. 5) Заказчик читает - структурно, понятно, рекламно, окей, публикуем. CMM получил гонорар. Издательство привлекло внимание к своему существованию
Тема "Что такое Chat GPT?" однако, осталась полностью нераскрытой... Очень хочется, других, глубоких статей, где было бы раскрыто по-настоящему как работать с Chat GPT хотя бы, какие есть проблемы, что он не умеет, а что умеет. Еще круче - с техническими характеристиками применяемого железа и проч., но это уже мечта )
А "вау-вау, оно умеет говорить почти как человек, крутотенечки" - это конечно очень здорово, но слишком гуманитарно.
Скажем так, все это верно, но...
Linux немного приблизился (в некоторых дистрибах) к удобству GUI - например, в SuSe есть утилиты админа, есть в ALT что-то похожее, есть Cockpit.
Windows значительно приблизился к удобству CLI из-за потребностей автоматизации. Да и сам Linux в него уже встроен )
Так что все не так уже сильно отличается, как 20 лет назад.
Но так да, если впервые с одного на другое пересел... шок и трепет.
Вот я что-то никак не пойму спустя годы, а в чем концепция другая? Если в Linux чтобы настроить samba мне надо ставить сервер и конфигурировать его, то и в Windows чтобы настроить FTP мне надо ставить сервер и конфигурировать его. В одном случае (Linux) мне дали команды и текстовый редактор для настройки (хотя в некоторых дистрибутивах есть GUI), в другом случае (Windows) мне дали команды и GUI. Получается, что у нас за разная концепция? Алфавитно-цифровой интерфейс vs GUI?
Вы всегда можете разделить интервал на два интервала каким-то числом, дав ему имя. Проблема в том, что вы никогда не узнаете, что это за число (даже приближенно, если не знаете границ интервала).
Полезное число - это очень хороший термин, надо разобраться что это такое. Число имеющее только имя на самом деле нельзя даже складывать с другими числами. Ну, то есть можно, но мы получим выражение вида a + x, с неизвестным x. Полезно это или нет? Может быть и полезно. Но если мы захотим обозвать полезными только те числа, которые могут иметь позиционную, например, запись (чтобы ими все же можно было оперировать не только как символами), то надо потребовать уже что-то большее имени числа - его запись или формулу, то есть, в обоих случаях, алгоритм построения.
Этими вопросами занимается не классический, а конструктивный анализ. А то, что континуум не нужен - это сильное утверждение, на самом деле, континуум многое упрощает в классическом анализе.
С п. в) все хорошо, потому что можно представить себе некоего пифагорейского оракула, который выдает вам одно за другим число из полного списка а далее вы применяете к нему "диагонализацию".
Дух, демон, божество, техническое устройство - не важно, как устроен пифагорейский оракул, важно что мы ему доверяем. Если мы согласились с этим, то п. в) уже не является проблемой.
Ну и на самом деле, такой оракул существует - это абстракция прямой, с точкой O, от которой можно откладывать отрезки ОА, ОВ, ОС и т.д. записывая их в некотором порядке. У каждого отрезка будет длина = какому-то числу. Ясно, что такая прямая содержит все числа. Ясно, что из нее всегда можно извлечь счетное подмножество чисел.
Вопрос в том, можно перенумеровать все числа, таящиеся в этой прямой? Или извлекая числа одно за другим, извлечь все числа. Ответ: нет, ни то, ни другое невозможно.
Нет, не такое же. Еще раз посмотрите что я написал, и что вы пишете.
Попробую еще раз, но это последняя попытка )))
Если список чисел полный (включает все числа), то он либо счетный, либо нет.
Если он счетный, то я могу его перенумеровать. Но я нахожу некое число (которое есть в списке в силу его полноты и которое не имеет номера. Значит, список не счетный.
Этот вывод никак не затрагивает предположение о том, что список полный.
Зайдем с другой стороны (судя по вашим комментариям, вы смотрите с этой точки зрения или близкой к ней на предмет)
Пусть дан счетный список чисел. Тогда он либо полный, либо нет. Если он полный, то я найду в нем все числа, и каждое число будет в нем под каким-то номером.
Ой, вот незадача - я нашел число которое не имеет номера. Значит, мой счетный список не полный. Добавив к нему это новое число я получу новый счетный список, который, очевидно, тоже будет не полным (для этого я запишу новое число в начало списка и повторю рассуждение уже для этого нового списка).
Повторяя эту процедуру я всегда буду получать счетный список чисел, который, однако же, никогда не будет полным.
Ключевое в этом рассуждении: фраза "путь дан счетный список чисел".
Значит, что мы получаем? Если только мы можем перебрать все счетные списки чисел, то любой из них не является полным, а раз так, то полный список не может быть счетным.
Это - альтернативное построение аргумента, как и первый случай оно имеет ту же уязвимость: а что, на самом деле, мы перебираем? Откуда уверенность, что мы можем перебрать все такие объекты?
Еще раз повторю, на дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел строится арифметика, они удовлетворяют всем аксиомам поля и представляют собой модель действительных чисел. По определению, действительным числом называется сечение, определенное своим представителем - классом рациональных чисел.
То, что единичная сущность может быть задана множеством объектов другого рода - это очень сильная идея в теории Дедекинда. На практике сталкивался с подобным, это очень неочевидно.
Для аргумента Кантора это не нужно. Выбрать в каком смысле?
Как раз идея состояла в том, чтобы узаконить пределы как числа) если последовательность имеет предел, то он является числом; иначе говорим о последовательности не имеющей предела, такое тоже бывает.
Вы все же не поняли идею Кантора.
Конечно возможно, сечение натуральным числом: слева -inf, n] справа все что больше n т.е. (n, + inf).
Например x <=3 | x > 3.
Аналогично правое сечение -inf, n) | [n, +inf
x < 3 | x>=3
И далее для рациональных чисел то же самое.
Для таких сечений вводится арифметика, они ведут себя как числа.
Проблема корня из двух как раз и заключается в том, что нет такого рационального числа чтобы было на нем получено левое или правое сечение.
Прочитайте первую главу 1 тома "Курса математического анализа" Г.М. Фихтенгольца.
Там классическое, многословное еще, подробнейшее изложение этой теории с кучей примеров.
Вот вы так считаете, а сторонники идеи континуума утверждают, что континуум делим бесконечно и каждая часть эквивалентна целому.
Ну нет, конечно.
Мы предполагаем, что:
а) список полный
и б) список счетный
Раз так, то мы считаем что можем записать его в табличку.
Но тут находится число которое есть в списке (так как он полный) но у которого нет и не может быть номера это противоречит пункту б) но не пункту а).
Значит, надо отмести пункт б). Но пункт а) не пострадал.
Пункт а) недостоверен по той причине, что не понятно, что это такое "полный список действительных чисел" и как его построить.
Этот пункт не существенный, то, что порядок нужен - иллюзия, возникающая при таком изложении аргумента Кантора, когда приводящая к противоречию гипотеза "существует нумерованный список таких чисел" записывается в виде таблицы; но это не обязательно, можно же показать, что для любой инъекции f: (0,1) -> N существует y = y(f), такое, что для любого натурального n f(y) не равно n.
Это означает, что любая инъекция такого вида не есть биекция, и взаимно-однозначное соответствие между (0,1) и N невозможно.
Таким образом уязвимым местом в "аргументе Кантора" остается лишь пункт а) причем изложенный более строго, чем я написал выше, а именно:
- существует (бесконечное) множество инъекций интервала (0,1) в множество натуральных числе N которое мы можем перебрать.
То, что множество таких инъекций - существует - очевидно (достаточно взять последовательность x_n = 10^-n. То, что оно бесконечное, т.к. содержит счетное множество - тоже увидеть несложно и это факт конструктивный. Сомнения может вызывать только сама возможность перебора всех отображений такого вида. В этом и есть суть "наивного" подхода Кантора, который считал, что это возможно.
И вот тут есть конечно же проблема. Пусть у нас есть некое бесконечное множество X, и x - его произвольный элемент. Суждение "Если этот произвольный элемент x обладает неким свойством Q, то таким свойством Q должны обладать все элементы X." - на первый взгляд кажется несомненным.
Но что такое есть произвольный элемент x?
При трезвом размышлении становится ясно, что это не более чем символ, обозначение (имя) для какого-то объекта, для которого нет на самом деле гарантии возможности его выбора. Ведь в самом деле, если я выбрал этот элемент один раз, то я должен иметь возможность выбрать его и второй раз и третий (разумеется, положив его в исходное множество обратно перед каждым выбором).
И если я произвожу такие повторные выборы, то я должен быть уверен, что выбираю именно первоначальный элемент x, а не какой-то другой, очень на него похожий, но на самом деле им не являющийся, то есть x', и далее x'' и т.д.
Следовательно, должна быть процедура верификации того, что x'' = x' = x. На чем же может быть основана такая процедура? Только на некоем тексте, который, очевидно, должен быть конечным и который описывает существенные (индивидуальные) признаки нашего объекта x. Для чисел, например, это может быть формула, позволяющая вычислить их с заданной заранее точностью.
Спасибо) теперь стало понятнее. Да, ожидания были немного другие )
Даже если вы каким-то образом определили, зачем я оставил здесь свой коммент, для меня цель написания этой статьи осталась загадкой, могу предполагать, что цели у нас были разные.
Ну а если критиковать по существу - статья не раскрывает тему блокчейна. Вообще. Ни одной технической подробности. Вместо этого вы проталкиваете мысль что биткоин это то же самое, почти, что доллар США. Хотя это не так, очевидно, хотя бы юридически :)
Вчитался, и вижу, что Вы неправильно описали суть диагонального аргумента Кантора. Суть как раз заключается в том, что при таком построении аргумента,
а) постулируется, что полный список последовательностей из нулей и единиц существует.
б) предполагается, что этот список можно занумеровать
в) строится элемент списка, который занумеровать нельзя.
По п. в) все хорошо. Этот пункт конструктивный, так как он по сути выражается алгоритмом:
пусть дан бесконечный список упорядоченных бесконечных двоичных последовательностей, тогда на каждом i шаге выбирай i-ю цифру и пиши новую последовательность. где i - натуральное число, номер шага.
Следовательно, критика аргумента должна быть направлена на
п. а) Бесконечный список бесконечных последовательностей из нулей и единиц? А такое существует? Дайте его конструктивное построение тогда.
п. б) Допустим, вы построили такой список. Докажите теперь, что на нем возможна какая-либо структура порядка.
Без этих двух важных уточнений "диагональный аргумент Кантора" можно отвергать как несостоятельный (надо же, а когда-то я его изложение наизусть учил как в лекциях, чтобы пятерку получить).
Ну хорошо, ограничимся финитными рассуждениями.
Число будем называть финитным, если для него существует итеративный строго детерминированный (не включающий генераторы случайных величин) алгоритм построения, завершающийся за N шагов.
Тогда целые и рациональные числа - последние именно как дроби P/Q, а не десятичное представление, где запись иногда будет бесконечной - финитны.
Аналогично, финитным назовем геометрический объект, который определяется однозначно конечным набором своих точек. Финитными будут в этом смысле, например, многоугольники и, самое простое, пары точек. Ясно, что между парами точек и рациональными числами можно установить соответствие выбрав одну из пар за эталон.
Таким образом, мы имем соответствие между финитными объектами, и оказывается, что и счетным и измеримым величинам соответствует понятие, которое можно назвать числом.
Однако, диагональ единичного квадрата - которая тоже задается парой точек - не выражается никаким финитным в смысле данного выше определения числом. Для нее существует итеративный алгоритм приближения к числу, выражающему эту длину, но он бесконечный.
Возникает вопрос: считать ли длину диагонали единичного квадрата числом или нет? Если мы считаем ее числом, то далее следует теория (Дедекинда), в которой строится континуум из классов рациональных чисел, называемых сечениями (представляющих действительные числа).
Несчетность континуума следует из невозможности построить взаимно-однозначное соответствие с множеством рациональных чисел. Множество рациональных чисел однако вкладывается в эту новую структуру, поэтому множество сечений имеет по определению, большую мощность.
Все построение теории Дедекинда можно провести на рациональных дробях и последовательностях. За пределы строго финитных рассуждений мы выходим только начиная работать с последовательностями, т.к. последовательность в целом есть бесконечное множество.
Но тут есть одна важная деталь: для построения теории достаточно таких последовательностей, которые описываются алгоритмами с итеративным повторением одинаковых шагов или конечных последовательностей одинаковых шагов. Такие описания ни ужаса, ни удивления не вызывают - каждый элемент такой последовательности конструктивен, он вычисляется за конечное число шагов.
Так что, получается, существование континуума не нужно постулировать, он строится вполне понятным, конструктивным образом из финитных объектов.
Другое дело, что мы не можем конструктивно оперировать с континуумом в целом. Из всех чисел, которые в нем обитают нам доступно в каждый данный момент времени лишь счетное подмножество чисел имеющих формулы или хотя бы обозначения.
Любое математическое доказательство является ошибочным или безошибочным только относительно принятой системы аксиом и правил вывода, в которых оно строится. Не нравится ZNF - используйте другую систему. У вас будет другая математика.
Из статьи совершенно непонятно, что из себя представляет программа Ленглендса и чем она важна, поэтому оценить достижение можно так:
- вау, круто, математик получил 3 млн долларов непонятно за что.
и так:
- 3 млн долларов - это неплохо, но слишком мало за такое достижение.
но большинство пройдет мимо, пожав плечами, - "ну получил и получил".
Нужна какая-то отдельная нормальная статья или цикл статей - "Введение в программу Ленглендса".
Зачем была написана эта статья?
Эксплойты встраиваются в doc, docm, pdf. Теоретически можно устроить атаку через шаблон и с docx. А вот png, jpg, jpeg, mp3, mp4 - в них тоже можно встроить какой-то эксплойт? o_O
Ну, это не страшно - всех загнать в закрытые учреждения по образцу XIX в. - и никакого ИИ :)
Побуду занудой.
Возникло ощущение, что
1) Аутист пишет в свой персональный блог при помощи Chat GPT. Этот блог никому не известен и не интересен, как и сам аутист.
2) Далее CMM издательства Питер (скорее всего самозанятый на разовом заказе), получив задание "написать пост для поддержания интереса к блогу издательства на Хабре", долго думает что бы такое выдать.
3) Но поскольку задание поставлено без четких ожиданий, а CMM не будучи вообще IT-специалистом, и не обладая компетенцией выбрать что-то действительно интересное для IT-специалистов, находит заметку с хайповым топиком в каком-то никому не известном блоге.
4) Поскольку это кажется чем-то новым, переводит статью аутиста при помощи Chat GPT, немного правит грамматику и структуру и отдает заказчику.
5) Заказчик читает - структурно, понятно, рекламно, окей, публикуем. CMM получил гонорар. Издательство привлекло внимание к своему существованию
Тема "Что такое Chat GPT?" однако, осталась полностью нераскрытой...
Очень хочется, других, глубоких статей, где было бы раскрыто по-настоящему как работать с Chat GPT хотя бы, какие есть проблемы, что он не умеет, а что умеет. Еще круче - с техническими характеристиками применяемого железа и проч., но это уже мечта )
А "вау-вау, оно умеет говорить почти как человек, крутотенечки" - это конечно очень здорово, но слишком гуманитарно.