Математика *

Печатая эти строки, я вижу мир вокруг, слышу его звуки, чувствую, как течет время. Ветер колышет верхушки елей, птица выводит трель, пахнет ивовой корой, горное солнце печет мою кожу. Я ощущаю себя, и это ощущение само по себе кажется мне чудом. Как оно рождается? Как множество разрозненных и неразумных клеток, потоков жидкостей и электрических импульсов внутри моего тела объединяются в единое целое и становятся тем, что мы называем собственным "Я"?

Можем ли мы математически описать природу самоощущения, можем ли мы построить машины, которые обладали бы им наподобие нас?

В комментариях к статье про теорему Миттаг-Леффлера я пообещал разобрать гипотезу Римана понятно и подробно. Неожиданно оказалось, что пока я писал текст, ИИ произвел в этой области исследований новый прорыв и поэтому содержание статьи пришлось расширить.

10 августа 2026-го года Anthropic выложила препринт на тридцать пять страниц. В графе «автор» они указали Claude. Утверждение о достигнутом результате выглядит невероятно: ИИ доказал, что не менее двух третей нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической прямой.

В последние десятки лет прогресс в этой задаче измерялся в сотых долях одного процента и каждый такой сдвиг считался достижением: настолько хватало мощи человеческого гения.

В этой статье я расскажу о том, что это всё значит и почему это очень круто.

Ниже также — обещанный вывод связи между нулями дзеты и простыми числами, потом что именно доказано, как (идея действительно умещается на страницу и она красивая), как её нашли — там настоящий детектив, — и чего всё это не значит. Последнее важнее всего, потому что новостные заголовки на эту тему врут как минимум наполовину.

Известно, что чем больше продается мороженого, тем больше регистрируется несчастных случаев с утонувшими. Корреляция есть - значит, мороженое опасно?

Эта статья — о том, почему знание правила «correlation ≠ causation» еще не гарантирует, что вы сами на нем не попадетесь

Величайшие математические успехи искусственного интеллекта связаны с решениями задач, поставленных неординарным ученым середины XX века. Изучая особенности задач Эрдёша, математики пытаются понять, как искусственный интеллект может изменить остальные области математики.

20 мая 2026 года компания OpenAI сделала заявление, которое потрясло математический мир. Внутренняя модель ИИ — недоступная для широкой публики — нашла контрпример к задаче «единичного расстояния», гипотезе, выдвинутой в 1946 году Полом Эрдёшом, плодовитым венгерским математиком, любившим переезжать с место на место.

Эрдёш сформулировал тысячи вопросов, но этот был особенным: его было просто объяснить, и при этом он отличался большой математической глубиной. Это было первое исторически значимое доказательство, полученное с помощью модели искусственного интеллекта. Хотя модель выдала не окончательный результат — математики‑люди существенно его усовершенствовали в течение нескольких недель — он был новаторским, поскольку использовал идеи из отдаленной области математики, которые ранее никто не применял к этой задаче. И он оказал большое влияние: в течение нескольких дней аналогичные методы уже использовались для решения других важных задач.

Затем 1 августа компания OpenAI объявила, что еще не выпущенная модель под названием Astra добилась 10 дополнительных математических прорывов, в том числе нашла решения еще для трех задач, поставленных Эрдёшем.

Многие математики оценили подобные достижения как фазовый переход в математических возможностях моделей искусственного интеллекта. Эти модели «радикально меняют подход к проведению математических исследований», — отметила Нога Алон из Принстонского университета, которая за свою многолетнюю карьеру решила десятки задач Эрдёша.

В 2003 году немецкая аспирантка по имени Бритта Шпет наткнулась на гипотезу Маккея — одну из крупнейших нерешённых задач в области математики, известной как теория групп. Сначала её цели были относительно скромными: она надеялась доказать одну‑две теоремы, которые позволили бы сделать небольшой шаг вперёд в решении этой задачи, как делали многие другие математики до неё. Но с годами она снова и снова возвращалась к ней. По её словам, всякий раз, когда она пыталась сосредоточиться на чём‑то другом, «это не срабатывало».

Существовал риск, что столь упорное стремление к решению столь сложной задачи может навредить её академической карьере, но Шпет всё равно посвятила ей всё своё время. Это привело её в кабинет Марка Кабанеса — математика, ныне работающего в Институте математики Жюссьё в Париже, который, вдохновлённый её усилиями, тоже полностью погрузился в работу над этой гипотезой. Работая вместе, они влюбились друг в друга и в конце концов создали семью.

Проблема, которая поглотила их внимание, берёт за основу одну из ключевых тем математики и превращает её в конкретный инструмент для исследователей теории групп. Математика полна чрезвычайно сложных абстрактных объектов, которые невозможно изучить в полном объёме. Однако, как обнаружили математики, зачастую достаточно рассмотреть лишь небольшой фрагмент такого объекта, чтобы понять его более общие свойства. Например, в III веке до н. э. древнегреческий математик Эратосфен оценил окружность Земли — примерно 40 000 км — путём измерения теней, отбрасываемых солнцем, всего в двух городах, расположенных на расстоянии около 800 км друг от друга. Аналогичным образом, когда математики хотят понять невероятно запутанную функцию, они могут посмотреть, как она ведёт себя на небольшом подмножестве возможных входных значений. Этого может быть достаточно, чтобы понять, как функция ведёт себя при всех возможных входных данных.

В этой статье я разбираю PCA с пяти разных сторон: как возникают различные постановки метода, почему все они приводят к одним и тем же главным компонентам и как связаны между собой.

Рассмотрим следующую задачу:Пусть есть металлическая равномерно заряженная и очень тонкая(высота пренебрежимо мала по сравнению с размерами) прямоугольная пластина размера 2a на 2b. Поверхностная плотность заряда σ>0. Требуется определить

электрическое поле E(x0,y0,z0), созданное этой пластиной в любой точке x0,y0,z0 трёхмерного евклидова пространства. А также рассмотреть случай пластины в форме эллипса.

Посмотрев интервью Маска и выступления, обнаружил в нем одно интересное математическое противоречие, которое делает достижение сингулярности практически невозможным при условии, что люди будут вести себя хоть сколько-то рационально. Чтобы возникла экономико-технологическая сингулярность, люди должны инвестировать в нее. Но эти инвестиции не рациональны, и поэтому она не должна возникнуть.

Предлагаю ознакомиться с сутью этого парадокса.

Итан Сигел (американский астрофизик-теоретик и научный журналист, автор рубрики "Спросите Итана", один из пропагандистов современных научных знаний), опубликовал, скажем так, если не скандальную, то далеко не нейтральную статью, отвергающую претензии теории струн на то, чтобы стать объясняющей теорией для микромира (назвав ее "спекулятивной", и поставив намного ниже рангом, чем более близкие ему, как астрофизику, теории инфляции, темной материи и темной энергии).

@avshkol перевел эту статью (и снабдил несколькими разъясняющими примечаниями). Эта статья будет интересна всем, кто интересуется современным положением дел в теоретической физике (противостоянием "ортодоксов", к которым, безусловно, относится и Итан, несмотря на нестандартную внешность, и групп сторонников различных новых теорий, где одна из крупнейших, безусловно, группа струнных теоретиков), а также проблемой "энергетической стены", в которую уперлись экспериментаторы, не позволяющей пока исследовать физику на энергиях горизонта ЧД или первых моментов Большого взрыва...

Почему одни интегралы берутся в два счёта, а другие заставляют математиков годами изобретать специальные функции? Дело совсем не в том, что кому-то в голову не приходит идея для красивой замены. В этой статье мы отправимся в путешествие от школьных уравнений к дифференциальным системам и увидим, как занимательная прогулка по петлям комплексной плоскости позволяет выносить приговоры неразрешимости. Рассказываем, как топологическая теория Галуа превращает неберущиеся интегралы в забавные пространственные узлы, которые даже Александр Македонский побоялся бы разрубать.

Физики открыли геометрический объект, похожий на драгоценный камень, который значительно упрощает расчёты взаимодействий частиц и ставит под сомнение представление о том, что пространство и время являются фундаментальными составляющими реальности. 

«Это совершенно новое открытие, и оно намного проще всего того, что делалось ранее», — сказал Эндрю Ходжес, физик‑математик из Оксфордского университета, следивший за этой работой. 

Открытие того, что взаимодействия частиц — самые базовые явления в природе — могут быть следствием геометрии, значительно продвигает многолетние усилия по переформулировке квантовой теории поля — свода законов, описывающих элементарные частицы и их взаимодействия. Взаимодействия, которые ранее рассчитывались с помощью математических формул, состоящих из тысяч слагаемых, теперь можно описать путём вычисления объёма соответствующего «амплитуэдра», похожего на драгоценный камень, что даёт эквивалентное выражение, состоящее из одного слагаемого. 

«Степень эффективности модели просто ошеломляет», — сказал Джейкоб Бурджайли, физик‑теоретик из Гарвардского университета и один из исследователей, разработавших эту новую идею. «Теперь на бумаге можно без труда выполнять вычисления, которые раньше были невозможны даже с помощью компьютера». 

Новая геометрическая версия квантовой теории поля также может облегчить поиск теории квантовой гравитации, которая плавно соединила бы крупномасштабную и мелкомасштабную картины Вселенной. Попытки, предпринятые до сих пор с целью включения гравитации в законы физики на квантовом уровне, наталкивались на абсурдные бесконечности и глубокие парадоксы. Амплитуэдр или подобный ему геометрический объект мог бы помочь, устранив два глубоко укоренившихся принципа физики: локальность и унитарность. 

Возьмите функцию на комплексной плоскости, у которой производная существует всюду, кроме отдельных изолированных точек.

Что необходимо о ней знать, чтобы восстановить её целиком?

Ответ поразительный: достаточно списка точек, где функция не дифференцируема, и «силы» каждой поломки. Формулу написал шведский математик Гёста Миттаг-Леффлер, и она — одна из самых красивых в комплексном анализе.

В статье далее — электростатика на комплексной плоскости, спины у классических мультиполей, контрчлены как в квантовой теории поля, вывод в две строчки, самая дорогая ошибка Пуанкаре и разбор легенды о том, почему не бывает Нобелевской премии по математике. И картинки на matplotlib, разумеется, — с кодом.

Статья для тех, кто хочет по-настоящему понять суть основ комплексного анализа!

В естественном языке распространена ситуация, когда значение слова нельзя установить без контекста: «замок закрыли ключом», «замок окружён рвом».

С позиции здравого смысла кажется, что у каждой отдельной вещи должно быть своё отдельное имя, но, как видно на практике, в этом нет необходимости.

В языке существует способ упаковать несколько значений в одно слово-омоним. В этой работе мы сознательно отказываемся от однозначности слов. Будет представлен алгоритм, сжимающий словарь русского языка в десятки и сотни раз, используя раскраску графа.

Мы рассмотрим, насколько естественные языки поддаются такому сжатию, и посмотрим, как выглядят языки с максимальным числом омонимов.

Привет, Хабр, в этой статье я хочу представить новую функцию активации для нейронных сетей под названием Kazry, которая по результатам тестов обошла SiLU.

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! Сегодня день рождения Нила Армстронга, первого человека, ступившего на Луну в ходе экспедиции корабля «Аполлон-11». И тема соответствующая — по такому случаю мы даже сместили время публикации со вторника на среду. Давайте разбираться, как измерить расстояние от Земли до Луны.

Идея предлагаемой архитектуры возникла из наблюдения за тем, как человеческий мозг осваивает новые действия и превращает их в привычки.

Когда человек впервые сталкивается с незнакомой задачей, её решение требует сознательного внимания. Необходимо сосредоточиться, попробовать один или несколько вариантов, получить обратную связь и скорректировать поведение. Однако после многократного успешного повторения действие постепенно становится автоматическим и выполняется практически без участия сознания.

В общем случае наш мозг работает по принципу «стимул-желание-реакция-подкрепление». Этот принцип хорошо описывается в книге Джеймса Клира «Атомные привычки», что и вдохновило меня на создание подобной архитектуры.

Хороший пример — обучение вождению. Начинающий водитель отдельно контролирует положение педалей, переключение передач, поворот руля и дорожную обстановку. По мере накопления опыта значительная часть этих операций превращается в привычку и начинает выполняться автоматически.

Прямо во время написания статьи я сдаю на водительские права, так что мне везёт воочию наблюдать как обучается моя собственная «нейронка».

Предлагаемая архитектура переносит этот принцип в систему из нескольких простых нейронных сетей. Незнакомые входные данные сначала обрабатываются «сознательной» сетью. После получения правильного ответа и положительного подкрепления генеративная сеть создаёт множество похожих примеров. На них дообучается «подсознательная» сеть, после чего сходные ситуации начинают обрабатываться быстро и автоматически.

хочу представить вам свой очень быстрый алгоритм нахождения простых делителей огромных составных чисел. Однажды на уроке математики мне нужно было найти делители какого-то числа. Раз уж "лень — двигатель прогресса", я решил поручить эту задачу компьютеру. Но простая программа на Python по перебору до корня мне показалась скучной, и тогда я решил найти более интересный способ.

Диэдральная группа — это математическое обозначение всех поворотов и отражений правильного многоугольника. Для n‑стороннего многоугольника всегда существует n возможных поворотов и n отражений, что даёт нам 2n возможных симметрий.

Сочетание любых двух симметрий даёт нам элемент из той же группы, и это превращает её в группу в математическом смысле.

Теория групп полезна при разработке игр. Я вспомнил об этом, прочитав девлог Factorio, в котором разработчик рассказал о проблемах, возникших из‑за того, что изначально он забыл учесть все случаи.

Любая гипотеза жива ровно до тех пор, пока о ней не спросят языковую модель в правильном настроении. Звучит как шутка. Но за последние недели эта шутка перестала быть шуткой трижды — и каждый раз по-разному эффектно.

1) Сначала чувак из Anthropic между таймами финала ЧМ опроверг гипотезу, которой было 87 лет — прямо в X. 2) Потом модель OpenAI закрыла проблему Эрдёша про расстояния на плоскости, 80 лет никто не мог. 3) А следом — доказательство полувековой гипотезы о двойном покрытии циклами в графах, добытое за час силами 64 параллельных субагентов. Если это совпадение, то очень организованное.

Короче, собираю всё в один текст — с разбором что вообще происходило, как выглядели твиты и доказательства, и почему у истории тревожный постскриптум - ту самую модель OpenAI, которая размотала Эрдёша, позже пришлось приостанавливать, потому что она слишком настойчиво вылезала из песочницы.

В продуктовых экспериментах нередко возникает следующая ситуация, когад бизнесу важна долгосрочная или малочувствительная метрика, но оценить эффект на такие метрики в рамках короткого A/B-теста сложно.

Как корректно находить прокси-метрики, почему наивная регрессия может обмануть и как отделить настоящую связь экспериментальных эффектов от статистического шума?