7.4 Точность по возмущающему воздействию

Рассмотрим замкнутую САР, на которую может воздействовать возмущающее входное воздействие .

Предположим, что  , т.е. управляющее воздействие отсутствует. В этом случае САР обязана поддерживать на выходе  (с некоторой степенью точности)

В этом случае , поэтому установившуюся ошибкуможно вычислить как:

Используя передаточную функцию замкнутой САР по возмущающему воздействию , имеем:

7.4.1 Ступенчатое возмущающее воздействие

Пусть ступенчатое возмущение

Передаточная функция  равна:

Анализ соотношения (7.4.3) показывает, что:

- если САР – статическая (т.е. полином  имеет свободный член, равный 1), то:

- если САР – астатическая (степень астатизьма ), то:

Графическая иллюстрация переходного процесса:

Кривые 1 на рисунках соответствуют случаям, когда полином  имеет свободный член, равный  (причем для данных рисунков  ), а кривые 2 соответствуют случаям, когда полином  не имеет свободного члена.

Случай, когда полином не имеет свободного члена принято называть астатизмом по возмущающему воздействию.

7.4.2 Линейное возмущающее воздействие

Пусть возмущающее воздействие перейдем в изображение

Подстановка в формулу (7.4.2) показывает, что если САР не имеет астатизм по возмущающему воздействию, то:

Если САР имеет астатизма по возмущающему воздействию , то .

В завершении обсуждения рассмотренных подразделов сделаем некоторые заключающие выводы:

Система автоматического регулирования называется астатической по управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся к установившемуся значению ошибка (рассогласование) стремится к нулю независимо от величины управляющего воздействия.

Система автоматического регулирования называется астатической по возмущающему воздействию, если при его приложении ошибка (рассогласование) стремится к некоторому установившемуся значению, зависящему от величины установившегося значения возмущающего воздействия.

Хорошей практикой при проектировании САР является придание ей свойства астатизма как по управляющему воздействию , так и по возмущающему воздействию .

Анализ подраздела (7.3) показывает, что астатизм по управляющему воздействию обеспечивается за счет астатических регуляторов (структура которого содержит интегрирующие звенья) – например ПИ-регуляторов.

Наряду со статическими и астатическими САР различают статические и астатические регуляторы.

Статический регулятор при ступенчатом управляющем воздействии на его входе обеспечивает на выходе (регулятора) асимптотически-устанавливающиеся значения.

У астатических регуляторов при ступенчатом входном сигнале выходной сигнал (регулятора) линейно (или нелинейно) нарастает без ограничений по уровню.

Пример

Определить установившиеся ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям, если   и  для следующей САР:

1. Найдем по управляющему воздействию, выполним преобразования к общей передаточной функции.

Передаточная функция разомкнутой САР 

Легко видеть, что данная САР устойчива

Т.к. система астатична по управляющему воздействию, то 

Найдем . Преобразуем  к свободным членам, равным единице:

2. Найдем - установившуюся ошибку по возмущающему воздействию.

   Используя замену цепи с местной обратной связью , получаем следующую структурную схему:

   Рисунок 7.4.6 Эквивалентная САР по возмущему воздействию

Найдем передаточную функцию по возмущающему воздействию (для замкнутой САР):

Замечаем, что САР астатична по возмущающему воздействию, т.к. числитель не имеет свободного члена.

Используя первую предельную теорему:

7.5 Установившаяся ошибка при медленно изменяющемся произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)

Сначала прокомментируем название данного раздела:

1. произвольное воздействие – форма воздействия не соответствует любому типовому воздействию:

Причем закон изменения   - не известен.

2. Медленно изменяющееся – подразумевает, что скорость протекания собственной части переходного процесса намного больше (т.е. характерная постоянная времени существенно меньше), чем скорость (относительная) изменения входного воздействия. Например, если  , где  – период разгона, причем , где  – например, время переходного процесса при подаче на вход САР ступенчатого воздействия.

Поскольку входное (управляющее) воздействие и непосредственно САР имеют значительно различающиеся постоянные времени, в первом приближении можно считать, что САР почти без инерции «отслеживает» управляющее воздействие, т.е. рассогласование  можно считать приблизительно «установившимся»:

По аналогии с предыдущими подразделами:

Учитывая, что  , используем обратное преобразование Лапласа:

где - весовая функция замкнутой САР для ошибки; - свертка.

Раскрывая свертку с помощью интеграла Дюамеля-Карсона (смотри раздел 2.9), получаем:

Если , то аргумент функции - отрицателен, следовательно

Разложим в ряд Тейлора:

Напомним сведения из математики:

Если  - действительная функция, имеющая на интервале   n-ю производную, то значение функции можно расчитать по выражению:

В нашем случае в качестве переменной   выступает ; в качестве  - время ; в качестве   - переменная  .

Подставляя выражение (7.5.4) в соотношение (7.5.3), получаем:

где:

Коэффициенты  - называются коэффициентами ошибок.

Если аналитическое выражение   - известно, то «нетрудно» рассчитать  и, соответственно, рассчитать значения коэффициентов ошибок  по выше приведенным интегралам.

Если известна экспериментально-определенная весовая   (или переходная ), то расчет коэффициентов ошибок  тоже не представляет проблем.

Второй способ определения установившейся ошибки при произвольном воздействии, отталкиваясь от формулы , разложим  в ряд Тейлора (а точнее в ряд Маклорена):

Подставляя последнее соотношение в формулу для рассогласования , имеем:

Замечая, что оригиналы равны:

Окончательно:

где:

Второй способ вывода явно более простой.

Коэффициенты ошибок могут быть определены и путем деления полином числителя   на полином знаменателя и сравнением полученного ряда с выражением (*).

Для систем с различным порядком астатизма первые три коэффициента ошибок принимают следующие значения:

• для статической САР 

• для астатической САР 1^-го порядка ;

• для астатической САР 2^-го порядка .

Пример 3

Найти установившуюся ошибку для САР, замкнутой единичной обратной связью, если разомкнутая САР состоит из последовательно-соединенных идеального интегрирующего звена  и апериодического звена первого порядка а входное управляющее воздействие где  возмущающее воздействие , где .

Численное решение данной задачи в видео:

Аналитическое решение

Сначала рассмотрим первую часть задачи, когда возмущающее воздействие отсутствует.

Очевидно, что данная САР имеет астатизм 1-го порядка, следовательно   Тем не менее проведем эти вычисления:

где новые переменные

Найдем коэффициенты ошибок:

Найдем коэффициент :

Аналогичным путем можно найти , , и т.д.

Вычислим значения и подставля занчения

Пренебрегая в первом приближении составляющими высокого порядка ( ), получаем:

Пусть , тогда  подставляем в 

Если учесть член проведя вычисления

Дифференцируя 

Анализ показывает, что учитывать члены более высокого порядка нет смысла, т.к. они очень малы.

Теперь рассмотрим 2-ю часть задачи: найдем установившиеся отклонения  при возмущающем воздействии где  и нулевым входным воздействием

Найдем передаточную функцию системы для ошибки по воздействию:

где новые переменные

Найдем коэффициент ошибок:

- это означает, что рассматриваемая САР имеет астатизм по возмущающему воздействию.

Найдем :

Найдем :

Найдем :

Члены более высокого порядка не учитываем, т.к. они второго порядка малости.

- подставляя значения 

В заключение пример анализа САР по возмущающему воздействию.

В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13. 

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. 

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.

7. Точность систем автоматического управления (ч.1)

   В следующих сериях:

8. Качество преходного процесса часть 1 и часть 2

9. Синтез и коррекция систем автоматического регулирования (САР)