7. Точность систем автоматического регулирования (ч. 2)
7.4 Точность по возмущающему воздействию
Рассмотрим замкнутую САР, на которую может воздействовать возмущающее входное воздействие
Предположим, что
В этом случае
Используя передаточную функцию замкнутой САР по возмущающему воздействию
7.4.1 Ступенчатое возмущающее воздействие
Пусть ступенчатое возмущение
Передаточная функция
Анализ соотношения (7.4.3) показывает, что:
- если САР – статическая (т.е. полином
- если САР – астатическая (степень астатизьма
Графическая иллюстрация переходного процесса:
Кривые 1 на рисунках соответствуют случаям, когда полином
Случай, когда полином
7.4.2 Линейное возмущающее воздействие
Пусть возмущающее воздействие
Подстановка в формулу (7.4.2) показывает, что если САР не имеет астатизм по возмущающему воздействию, то:
Если САР имеет астатизма по возмущающему воздействию
В завершении обсуждения рассмотренных подразделов сделаем некоторые заключающие выводы:
Система автоматического регулирования называется астатической по управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся к установившемуся значению ошибка (рассогласование) стремится к нулю независимо от величины управляющего воздействия.
Система автоматического регулирования называется астатической по возмущающему воздействию, если при его приложении ошибка (рассогласование) стремится к некоторому установившемуся значению, зависящему от величины установившегося значения возмущающего воздействия.
Хорошей практикой при проектировании САР является придание ей свойства астатизма как по управляющему воздействию
Анализ подраздела (7.3) показывает, что астатизм по управляющему воздействию обеспечивается за счет астатических регуляторов (структура которого содержит интегрирующие звенья) – например ПИ-регуляторов.
Наряду со статическими и астатическими САР различают статические и астатические регуляторы.
Статический регулятор при ступенчатом управляющем воздействии на его входе обеспечивает на выходе (регулятора) асимптотически-устанавливающиеся значения.
У астатических регуляторов при ступенчатом входном сигнале выходной сигнал (регулятора) линейно (или нелинейно) нарастает без ограничений по уровню.
Пример
Определить установившиеся ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям, если
Найдем
по управляющему воздействию, выполним преобразования к общей передаточной функции.
Передаточная функция разомкнутой САР
Легко видеть, что данная САР устойчива
Т.к. система астатична по управляющему воздействию, то
Найдем
Найдем
- установившуюся ошибку по возмущающему воздействию. Используя замену цепи с местной обратной связью
, получаем следующую структурную схему: Рисунок 7.4.6 Эквивалентная САР по возмущему воздействию
Найдем передаточную функцию по возмущающему воздействию (для замкнутой САР):
Замечаем, что САР астатична по возмущающему воздействию, т.к. числитель не имеет свободного члена.
Используя первую предельную теорему:
7.5 Установившаяся ошибка при медленно изменяющемся произвольном воздействии (коэффициенты ошибок)
Сначала прокомментируем название данного раздела:
1. произвольное воздействие – форма воздействия не соответствует любому типовому воздействию:
Причем закон изменения
2. Медленно изменяющееся – подразумевает, что скорость протекания собственной части переходного процесса намного больше (т.е. характерная постоянная времени существенно меньше), чем скорость (относительная) изменения входного воздействия. Например, если
Поскольку входное (управляющее) воздействие и непосредственно САР имеют значительно различающиеся постоянные времени, в первом приближении можно считать, что САР почти без инерции «отслеживает» управляющее воздействие, т.е. рассогласование
По аналогии с предыдущими подразделами:
Учитывая, что
где
Раскрывая свертку с помощью интеграла Дюамеля-Карсона (смотри раздел 2.9), получаем:
Если
Разложим
Напомним сведения из математики:
Если
В нашем случае в качестве переменной
Подставляя выражение (7.5.4) в соотношение (7.5.3), получаем:
где:
Коэффициенты
Если аналитическое выражение
Если известна экспериментально-определенная весовая
Второй способ определения установившейся ошибки при произвольном воздействии, отталкиваясь от формулы
Подставляя последнее соотношение в формулу для рассогласования
Замечая, что оригиналы равны:
Окончательно:
где:
Второй способ вывода явно более простой.
Коэффициенты ошибок могут быть определены и путем деления полином числителя
Для систем с различным порядком астатизма первые три коэффициента ошибок принимают следующие значения:
для статической САР
для астатической САР 1-го порядка
; для астатической САР 2-го порядка
.
Пример 3
Найти установившуюся ошибку для САР, замкнутой единичной обратной связью, если разомкнутая САР состоит из последовательно-соединенных идеального интегрирующего звена
Численное решение данной задачи в видео:
Аналитическое решение
Сначала рассмотрим первую часть задачи, когда возмущающее воздействие отсутствует.
Очевидно, что данная САР имеет астатизм 1-го порядка, следовательно
где новые переменные
Найдем коэффициенты ошибок:
Найдем коэффициент
Аналогичным путем можно найти
Вычислим значения
Пренебрегая в первом приближении составляющими высокого порядка (
Пусть
Если учесть член
Дифференцируя
Анализ показывает, что учитывать члены более высокого порядка нет смысла, т.к. они очень малы.
Теперь рассмотрим 2-ю часть задачи: найдем установившиеся отклонения
Найдем передаточную функцию системы для ошибки по воздействию:
где новые переменные
Найдем коэффициент ошибок:
Найдем
Найдем
Найдем
Члены более высокого порядка не учитываем, т.к. они второго порядка малости.
В заключение пример анализа САР по возмущающему воздействию.
В предыдущих сериях:
1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.
4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).
6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.