Математика *

Недавно перевел замечательный видеоролик. Вы знаете, что сферу в трёхмерном пространстве можно вывернуть наизнанку в классе погружений, т. е. с возможными самопересечениями, но без перегибов, а окружность нельзя?

В ролике наглядно показан способ выворачивания сферы, изобретенный не так давно Уильямом Терстеном. Сначала это кажется чем-то невероятно сложным и просто немыслимым, однако к концу ролика все становится понятно. Посмотрите до конца, и вы не пожалеете!:)

Наверняка многие из вас слышали про Мебиуса — это немецкий математик и астроном-теоретик, наиболее известный благодаря так называемому «листу мебиуса». Даже вон наш дизайнер Всея Руси торгует эспандерами на его основе.

Лист Мебиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Nigma.ru добавила в свою копилку новую фичу для пользователей. Теперь прямо через строку поиска можно решать различные математические задачи, например, x2-3x+2=0, sin2 x + cos2 x, 2 ч * 30 м/мин = х, системы уравнений типа 2x-y=4, 3y+x=9, x2+y=1, x*y=0 и т.п. (подробный список тут). Сервис рассчитан на школьников 6-10 класса.

Подробнее о системе можно узнать, прочитав документацию и новость на нашем сайте.

Nigma.ru добавила в свою копилку новую фичу для пользователей. Теперь прямо через строку поиска можно решать различные математические задачи, например, x2-3x+2=0, sin2 x + cos2 x, 2 ч * 30 м/мин = х, системы уравнений типа 2x-y=4, 3y+x=9, x2+y=1, x*y=0 и т.п. (подробный список тут). Сервис рассчитан на школьников 6-10 класса.

Подробнее о системе можно узнать, прочитав документацию и новость на нашем сайте.

В продолжение темы клиентской оптимизации слиянием ресурсов.

Как было показано раньше, выгодно разделить ресурсы на две группы: «ядро» (загружаются на всех страницах) и «ресурсы страницы» (загружаются только на страницах, которые их используют). Проблема состоит в выборе ресурсов, которые должны быть включены в ядро — слишком большое ядро может значительно увеличить время первоначальной загрузки сайта.

Есть три основных вида обращения к странице:

1. начальная загрузка (загружается и ядро, и ресурсы выбранной страницы)
2. загрузка новой страницы (ядро находится в кеше, загружаются ресурсы выбранной страницы)
3. загрузка старой страницы (и ядро, и ресурсы страницы находятся в кеше).

На скорость загрузки в третьем случае мы повлиять не можем. Кроме того, для ускорения начальной загрузки выгодно уменьшить объем ядра, поэтому оптимизация случая (1) ухудшает время загрузки в случае (2) и наоборот. Что делать?

Во встроенном калькуляторе на Google.com обнаружились проблемы с простейшими математическими вычислениями. Ошибки имеют необъяснимую природу, они действительно странные и проявляются только на очень больших числах. Например, если из 500 000 000 000 002 вычесть 500 000 000 000 001, то результат должен быть 1, но Google показывает ноль.



Опытном путём удалось установить, что проблемы именно с этой операцией у калькулятора начинаются после 333 трлн. То есть на 333 трлн ещё всё нормально, а вот на 334 трлн при вычитании уже показывается неправильный результат.

Есть и другие странности. Например, если чуть подкорерктировать вышеприведённый пример, и из 500 000 000 000 008 вычесть 500 000 000 000 003, то результат правильный: это 5.

Я подрабатываю репетитором. Помогаю школьникам (в основном 6-9 класс) с математикой. Находят меня, естественно, родители, поскольку самим школьникам это обычно неинтересно и не нужно. Тем более, что репетиторов нанимают для тех, кто учится не очень-то хорошо.
Занимаюсь репетиторством уже лет пять, учеников было человек десять. В основном девочки. C некоторыми занимаюсь не один год. И практически у всех напрочь отсутствует мотивация. Им, во-первых, неинтересно, во-вторых, трудно, а в-третьих, они не очень уверены в том, что это вообще нужно. Разумеется, периодически приходится слышать возмущенные фразы вроде «Да зачем вообще нужна эта алгебра?!»

Пару-тройку месяцев назад наткнулся на замечательный ресурс Project Euler.

Project Euler представляет собой набор математических задач, которые вам предлагается решить хоть программным методом, хоть на бумаге.

Для участия в проекте надо пройти быструю регистрацию, после чего можно смело штурмовать алгоритмы.

Максимальное количество ходов, которое требуется для сбора кубика Рубика, сокращено до двадцати трёх. Эту математическую задачу решил стенфордский выпускник Томаш Рокицки. Разработанная им стратегия была запущена на вычислительной станции, которая подтвердила правильность расчётов.

Рокицки применил оригинальный подход. Вместо анализа отдельных ходов он взял в расчёт форму кубика и разбил её на набор его состояний. Всего получилось 2 млрд состояний (sets) с 20 млрд элементов в каждом. В этой концепции ходы рассматриваются как пары «связанных состояний» (cosets). Рокицки доказал, что большое количество состояний на самом деле повторяют друг друга и поэтому могут быть проигнорированы. Но даже после оптимизации для расчёта всей модели требуются очень большие вычислительные ресурсы. Предыдущий рекорд (25 ходов) потребовал 1500 часов на машине с процессором и Q6600 (1,6 ГГц) и 8 ГБ оперативной памяти. Сейчас Рокицки позаимствовал 7,8 ядро-лет вычислений на более мощном кластере в известной киностудии Sony Pictures Imageworks (вычисления выполнялись во время простоя на тех же машинах, где просчитывались спецэффекты «Человека-паука 3» и мультика «Лови волну»): всего было проанализировано более 200 тыс. связанных состояний.

via http://nfccomic.com/

Хочу порадовать уважаемое хабрасообщество ещё одной занимательной задачей, она мне показалась достойной внимания просвещённой компании и я ее предлагаю вам, друзья.

Навеяно вот этим постом.
В большинстве своем математика оперирует с понятием актуальной бесконечности, это вся аналитическая геометрия, почти весь математический анализ, алгебра полей характеристики ноль и многое многое другое.
Мы настолько к привыкли к значку ∞, что даже не замечаем как его используем, причем не только в математике, но и в реальной жизни. Приятно считать время непрерывным, но понятие непрерывности задается через предел, который в свою очередь оперирует именно с бесконечностью.
Понятие бесконечности одно из максимально простых. Не верите?
Скажите, что вам проще воспринять — ∞ или число 1307489315878623114365278078516974?
На самом деле реальная бесконечность начинается совсем недалеко. Для примера возьмем чиселко 10¹⁰¹⁰, про которое можно смело утверждать, что это реальная плюс бесконечность. Именно реальная, а не введенная на уровне абстракции.

Несколько лет назад одна моя знакомая с гуманитарным образованием сказала: «Да что у вас в математике, все строго, все открыто, 2+2 всегда равно 4, скукота». К сожалению я еще был школьником и достойно ответить не смог.


Сколько же раз, во время подготовки к экзамену, я ворчал: «Ну Коши, блин, напридумывал тут, ничего не понятно, ему делать что ли нечего было». Разумеется, я понимал, что все это не просто так, но порой, от обилия различных абстрактных теорем мне начинало казаться, что это все придумано только чтобы загрузить студентов.

Людям, использующим математику на практике, понятно, что это не так. Они представляют, зачем может понадобиться то или иное. Но что делать другим? Вот, например, урок в обычной школе:

«Сегодня мы узнаем, что такое синус угла. Синус — это отношение длины противоположного катета к длине гипотенузы… Что, Иванов, у тебя вопрос?… Зачем это нужно? Понимаешь, это основа тригонометрии, которая используется в частности в аналитической геометрии… Иванов! Да ты спишь что ли?»

В это время Иванову снился сон, в котором он был великим математиком давних времен:

Дураку «авторитетные люди» сказали, что дважды два пять. С этой новостью он приходит к математику. Математик сидит за столом, погруженный в работу.

Дурак: Дважды два пять.
Математик (в рассеянности):

Всё новые программы переходят на интернет-платформу и начинают работать через браузер. После офисных программ, графических и видеоредакторов теперь такая миграция ожидает популярную систему компьютерной алгебры Mathematica.

Технологическая школа O'Reilly заключила лицензионное соглашение с разработчиками Mathematica из компании Wolfram Research. Соглашение предусматривает выпуск веб-версии этой программы. Она будет выпущена в духе современных тенденций Веб 2.0 с использованием Ajax-технологий. Программа уже создаётся под кодовым названием Hilbert (по фамилии знаменитого немецкого математика).

Директор школы O’Reilly в интервью раскрыл некоторые подробности проекта. Он уверяет, что интернет-версия практически ничем не будет отличаться от обычной десктоп-версии. Единственная разница будет заключаться в том, что её нужно запускать через браузер.

Два выпускника Оксфорда разработали уникальную математическую модель, которая вполне была бы достойна Нобелевской премии, если бы работала так, как надо. Это система, которая предсказывает будущее, а точнее — судьбу высокотехнологических стартапов. Теперь двое предпринимателей сами основали собственный стартап YouNoodle.com и пытаются найти венчурные инвестиции в Кремниевой долине. Они уже попали на страницы NY Times. Это хорошее начало.

Разумеется, их разработка не позиционируется как предсказатель будущего. Это «система для автоматизации некоторых аспектов в принятии решения о финансировании». Звучит вполне научно.

Авторами программы являются Кирилл Макаринский (22 года, на фото справа, математик русского происхождения, один из самых талантливых студентов Великобритании по версии журнала Real World Magazine, знакомый Макса Левчина, основателя Paypal и Slide.com), а также Боб Гудсон (27 лет, CEO). «Наша программа не заменит венчурных инвесторов, — говорит Боб, — но мы верим, что каждая индустрия достаточно крупного размера должна использовать искусственный интеллект для принятия решений».

Принципы работы системы, естественно, не разглашаются. Известно лишь, что она учитывает социальные и деловые качества каждого предпринимателя, а также вычисляет совместимость сооснователей стартапа друг с другом. На сайте YouNoodle.com уже открылась регистрация стартапов.

Думаю, эта задача не является чем-то очень сложным или оригинальным, тем не менее, уверен, что она многим понравится. Её рассказал мой друг, которому его нынешний работодатель при устройстве на работу предложил её решить.

Есть два стеклянных шарика и 100-этажный дом. Вы бросаете шарик с разных этажей этого дома, чтобы выяснить, на каком этаже шарик начинает разбиваться от падения (например, на пятом уже разбивается, а на четвёртом ещё нет). Вопрос: какое точное минимальное количество шагов понадобится для того, чтобы точно узнать на каком именно этаже шарики начинают разбиваться?

Просьба ответ писать белым шрифтом ;)

UPD! Шаг — это один бросок одного шарика.
UPD! Шарик начинает разбиваться с определённого этажа.
UPD! Не все правильно поняли формулировку задачи, поэтому уточняю. Спасибо Aleco. Существуют разные алгоритмы бросания шаров для поиска номера этажа с которого начинается разбиваться шарик. Каждый алгоритм гарантирует определение этажа не более чем за N бросков (например не более чем за 100, если бросать последовательно начиная с нижних этажей). Найдите минимум N и опишите оптимальный алгоритм.

Сисадмин пришёл из дома и парализовал офис на полчаса. (Сам-то он ещё дома решил эту задачку для дочки)



Поставьте циферки и картиночку вместо вопросительных знаков.

Второкласники знают сложение, вычитание и деление.

Навеяно вчерашним постом про чудную задачку для дошкольников.
Вспомнилось из детства.
В школе на олимпиаде была одна задачка, которую помню до сих пор, потому как на самой олимпиаде её никто, в том числе и я не решил, но я тогда её переписал и только дома, после нескольких часов размышлений, она поддалась.

Правила простые — за буквами спрятаны цифры, каждая буква только одна цифра, равенство при правильной замене букв на цифры справедливо.

СОРОК + ОДИН = ТРИСТА

UPD: может быть интересующимся не совсем ясно условие. Но могу поклястся, на олимпиаде оно звучало именно так.
Ответ должен представлять из себя равенство, где вместо букв написаны цифры. Каждая буква — только одна цифра.

Прочитал на хабре появление задачки, и вспомнил ещё одну.

На отдыхе мне её показал преподаватель из школы ФСБ. Сказал, что взял из учебника 5 класса. На моей памяти три человека её разгадали. Мальчик лет 10 за 5 минут. Женщина за 30 минут и мой знакомый, за неделю.

Корова — 2
Коза — 2
Кошка — 3
Собачка — 3
Петух — ?

Я даже отгадывать не стал ибо мой мозг сразу задымился.