Фото взято из публикации

Введение

Одна из наиболее актуальных задач цифровой обработки сигналов – задача очистки сигнала от шума. Любой практический сигнал содержит не только полезную информацию, но и следы некоторых посторонних воздействий помехи или шума. Кроме этого, при вибродиагностике сигналы от вибродатчиков имеют не стационарный частотный спектр, что усложняет задачу фильтрации.

Существует множество различных способов удаления высокочастотного шума из сигнала. Например, библиотека Scipy содержит фильтры, основанные на различных методах фильтрации: Калмана; сглаживание сигнала путём его усреднения по оси времени, и другие.

Однако, преимущество метода дискретного вейвлет преобразования (DWT) состоит в многообразии форм вейвлет. Можно выбрать вейвлет, который будет иметь форму, характерную для ожидаемых явлений. Например, можно выделить сигнал в заданном частотном диапазоне, форма которого отвечает за появление дефекта.

Целью настоящей публикации является анализ методов фильтрации сигналов вибродатчиков с применением DWT преобразования сигнала, фильтра Калмана и метода скользящего среднего.

Исходные данные для анализа

В публикации работу фильтров основанных на различных методах фильтрации будем анализировать используя набор данных НАСА. Данные получены на экспериментальной платформе PRONOSTIA:



Набор содержит данные о сигналах вибродатчиков по износу подшипников различных типов. Назначение папок с файлами сигналов приведено в таблице:



Мониторинг состояния подшипников обеспечивается сигналами датчиков вибрации (горизонтальным и вертикальным акселерометрами), силы и температуры.



Сигналы получены для трёх различных нагрузок:

• Первые рабочие условия: 1800 об / мин и 4000 Н;
• Вторые рабочие условия: 1650 об / мин и 4200 Н;
• Третьи рабочие условия: 1500 об / мин и 5000 Н.

Введение

Одним из первых радиотелескоп построил американец Грот Рёбер в 1937 году. Радиотелескоп представлял собой жестяное зеркало диаметром 9.5 м, установленное на деревянной раме:



К 1944 году Рёбер составил первую карту распределения космических радиоволн в области Млечного пути.

Развитие радиоастрономии повлекло за собой ряд открытий: в 1946 г. было открыто радиоизлучение из созвездия Лебедь, в 1951 г. – внегалактическое излучение, в 1963 г. – квазары, в 1965 г. открыто реликтовое фоновое излучения на волне 7.5 см.

В 1963 был построен уникальный 300-метровый радиотелескоп в Аресибо (Пуэрто-Рико). Это неподвижная чаша, имеющая перемещающийся облучатель, построена в естественной расщелине местности.

Введение

При проведении CWT анализа средствами библиотеки PyWavelets (бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом, выпущенное по лицензии MIT) возникают проблемы с визуализацией результата. Предложенная разработчиками тестовая программа по визуализации приведена в следующем листинге:


При работе с комплексными вейвлетами, например с 'cmor1-1.5', программа выдаёт ошибку:

File"C:\Users\User\AppData\Local\Programs\Python\Python36\lib\site-packages\matplotlib\image.py", line 642, in set_data
    raise TypeError("Image data cannot be converted to float")
TypeError: Image data cannot be converted to float

Указанная ошибка, а так же сложности с выбором масштаба (widths) для обеспечения необходимого временного разрешения, затрудняют, особенно для начинающих пользователей, изучение CWT анализа, что и побудило меня к написанию данной статьи учебного характера.

Целью настоящей публикации является рассмотрение применения нового модуля визуализации scaleogram для анализа простых и специальных сигналов, а так же при использовании методов нормализации, логарифмического масштабирования и синтеза, которые позволяют получить дополнительную информацию при анализе временных рядов.

Введение

В данной публикации рассматривается вейвлет – анализ временных рядов. Основная идея вейвлет-преобразования отвечает специфике многих временных рядов, демонстрирующих эволюцию во времени своих основных характеристик – среднего значения, дисперсии, периодов, амплитуд и фаз гармонических компонент. Подавляющее большинство процессов, изучаемых в различных областях знаний, имеют вышеперечисленные особенности.

Целью настоящей публикации является описание методики непрерывного вейвлет- преобразования временных рядов средствами библиотеки PyWavelets..

Немного истории

Инженер-геофизик Д. Морле в конце 70-х годов XX в. столкнулся с проблемой анализа сигналов от сейсмодатчиков, которые содержали высокочастотную компоненту (сейсмическая активность) в течение короткого промежутка времени и низкочастотные составляющие (спокойное состояние земной коры) – в течение длительного периода. Оконное преобразование Фурье позволяет анализировать либо высокочастотную составляющую, либо низкочастотную составляющую, но не обе составляющие сразу.

Поэтому, был предложен метод анализа, в котором ширина оконной функции для низких частот увеличивалась, а для высоких частот – уменьшалась. Новое оконное преобразование получалось в результате растяжения (сжатия) и смещения по времени одной порождающей (так называемой скейлинг-функции – scaling function, scalet) функции. Эта порождающая функция была названа вейвлетом Д. Морле.

Введение

Рассмотрим дискретное вейвлет – преобразования (DWT), реализованное в библиотеке PyWavelets PyWavelets 1.0.3. PyWavelets — это бесплатное программное обеспечение с открытым исходным кодом, выпущенное по лицензии MIT.

При обработке данных на компьютере может выполняться дискретизированная версия непрерывного вейвлет-преобразования, основы которого описаны в моей предыдущей статье. Однако, задание дискретных значений параметров (a,b) вейвлетов с произвольным шагом Δa и Δb требует большого числа вычислений.

Кроме того, в результате получается избыточное количество коэффициентов, намного превосходящее число отсчетов исходного сигнала, которое не требуется для его реконструкции.

Дискретное вейвлет – преобразование (DWT), реализованное в библиотеке PyWavelets, обеспечивает достаточно информации как для анализа сигнала, так и для его синтеза, являясь вместе с тем экономным по числу операций и по требуемой памяти.

Когда нужно использовать вейвлет-преобразование вместо преобразования Фурье

Преобразования Фурье будет работать очень хорошо, когда частотный спектр стационарный. При этом частоты, присутствующие в сигнале, не зависят от времени, и сигнал содержит частоты xHz, которые присутствует в любом месте сигнала. Чем нестационарнее сигнал, тем хуже будут результаты. Это проблема, так как большинство сигналов, которые мы видим в реальной жизни, нестационарны по своей природе.

Введение

Английское слово wavelet (от французского «ondelette») дословно переводится как «короткая (маленькая) волна». В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: «всплеск», «всплесковая функция», «маловолновая функция», «волночка» и др.

Вейвлет-преобразование (ВП) широко используется для анализа сигналов. Помимо этого, оно находит большое применение в области сжатия данных. ВП одномерного сигнала – это его представление ввиде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций.

$$, (1)

сконструированных из материнского (исходного) вейвлета $$, обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени ( b ) и изменения временного масштаба (a).

Множитель $$ обеспечивает независимость нормы функций (1) от масштабирующего числа (a). Для заданных значений параметров a и b функция $$ и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом $$.

В качестве примера приведём вейвлет «мексиканская шляпа» во временной и частотной областях:

Введение

На Habr достаточно много публикаций, в которых рассматривается понятие энтропии, вот только некоторые из них [1÷5]. Публикации были позитивно восприняты читателями и вызвали большой интерес. Достаточно привести определение энтропии, которое дал автор публикации [1]: «энтропия — это то, как много информации вам не известно о системе». Публикаций о явлении хаосе на Habr тоже достаточно [6÷9]. Однако связь энтропии и хаоса в обеих группах публикаций не рассматривалась.

Это объясняется тем, что различные области знаний выделяют разные виды меры хаоса:

• информационная;
• термодинамическая;
• дифференциальная;
• культурная.

Также описываются меры хаоса с учётом их специфики даже в одной из указанных областей довольно сложно.

Пробуя предельно упростить задачу, я решил рассмотреть связь информационной энтропии и хаоса на примере сходства областей прохождения от порядка к хаосу на диаграммах в виде точечных отображений и на графиках энтропийного коэффициента для этих областей.

Что из этого получилось Вы узнаете заглянув под кат.

В чем проблема гистограмм экспериментальных данных

Основой управления качеством продукции любого промышленного предприятия является сбор экспериментальных данных с последующей их обработкой.

Первичная обработка результатов эксперимента включает сопоставление гипотез о законе распределения данных, описывающем с наименьшей погрешностью случайную величину по наблюдаемой выборке.

Для этого выборка представляется в виде гистограммы, состоящей из $$ столбцов, построенных на интервалах протяженностью $$.

Идентификации формы распределения результатов измерений требует также ряд задач, эффективность решения которых отличается для различных распределений (например, использование метода наименьших квадратов или вычисление оценок энтропии).

Кроме того, идентификация распределения нужна ещё и потому, что рассеяние всех оценок (среднеквадратичного отклонения, эксцесса, контрэксцесса и др.) также зависит от формы закона распределения.

От объема выборки зависит успешность идентификации формы распределения экспериментальных данных и, если он мал, особенности распределения оказываются замаскированными случайностью самой выборки. На практике обеспечить большой объем выборки, например больше 1000, не представляется возможным в силу разных причин.

В такой ситуации важно наилучшим образом распределить выборочные данные по интервалам, когда для дальнейшего анализа и расчетов интервальный ряд необходим.

Введение:
Большое число самых разнообразных задач, относящихся практически ко всем важнейшим разделам математической физики и призванных ответить на актуальные технические вопросы, связано с применением функций Бесселя.

Функции Бесселя широко используются при решении задач акустики, радиофизики, гидродинамики, задач атомной и ядерной физики. Многочисленные приложения функций Бесселя к теории теплопроводности и теории упругости (задачи о колебаниях пластинок, задачи теории оболочек, задачи определения концентрации напряжения вблизи трещин).

Такая популярность функций Бесселя объясняется тем, что решение уравнений математической физики, содержащих оператор Лапласа в цилиндрических координатах, классическим методом разделения переменных приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению, служащему для определения этих функций[1].

Введение

На Habr были опубликованы несколько статей [1,2,3], прямо или косвенно касающиеся указанной темы. В связи с этим, нельзя не отметить публикацию [1] с названием “Математика на пальцах: линейно-квадратичный регулятор”, которая популярно поясняет принцип работы оптимального LQR контролера.

Мне захотелось продолжить указанную тему, рассмотрев практическое применения метода динамической оптимизации, но уже на конкретном примере средствами Python. Сначала пару слов о терминологии и методе динамической оптимизации.

Методы оптимизации делятся на статические и динамические. Объект управления находится в состоянии непрерывного движения под действием различных внешних и внутренних факторов. Следовательно, оценка результата управления дается за время управления Т, и это задача динамической оптимизации.

С помощью методов динамической оптимизации решаются задачи, связанные с распределением ограниченных ресурсов на протяжении некоторого промежутка времени, а целевая функция записывается в виде интегрального функционала.

Математическим аппаратом решения таких задач являются вариационные методы: классическое вариационное исчисление, принцип максимума Л.С. Понтрягина и динамическое программирование Р. Беллмана.

Анализ и синтез систем управления выполняется во временной, частотной областях и в пространстве состояний. Анализ и синтез систем управления в пространстве состояний введен в учебные программы, однако приведенные в учебных материалах методики с применением SQR контролера рассчитаны на применение Matlab и не содержат практически реализуемых примеров анализа.

Введение

На Habr математическое описание работы фильтра Калмана и особенности его применения рассматривались в следующих публикациях [1÷10]. В публикации [2] в простой и доходчивой форме рассмотрен алгоритм работы фильтра Калмана (ФК) в модели «пространства состояний», Следует отметить, что исследование систем контроля и управления во временной области с помощью переменных состояния широко используется в последнее время благодаря простоте проведения анализа [11].

Публикация [8] представляет значительный интерес именно для обучения. Очень эффективен методический приём автора, который начал свою статью с рассмотрения распределения случайной погрешности Гаусса, рассмотрел алгоритм ФК и закончил простой итерационной формулой для подбора коэффициента усиления ФК. Автор ограничился рассмотрением распределения Гаусса мотивируя это тем, что при достаточно больших $$ (многократных измерений) закон распределения суммы случайных величин стремится к распределению Гаусса.

Теоретически такое утверждение, безусловно, справедливо, однако на практике число измерений в каждой точке диапазона не может быть очень большим. Сам R. E. Kalman получил результаты о минимуме ковариации фильтра на базе ортогональных проекций, без предположения о гауссовости ошибок измерений [12].

Целью настоящей публикации является исследование возможностей фильтра Калмана для минимизации энтропийного значения случайной погрешности с не Гауссовым распределением.
Для оценки эффективности фильтра Калмана при идентификации закона распределения или суперпозицией законов по экспериментальным данным воспользуемся информационная теорией измерений основанной на теории информации К. Шеннона, согласно которой информация, подобно физической величине, может быть измерена и оценена.

Введение

На Habr уже обсуждалась теория хаоса в статьях [1,2,3]. В этих статьях рассмотрены следующие аспекты теории хаоса: обобщённая схема генератора Чуа; моделирование динамики системы Лоренца; программируемые логическими интегральными схемами аттракторы Лоренца, Ресслера, Рикитаке и Нозе-Гувера.

Однако, техники теории хаоса используются и для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех, что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий, до аритмических сердцебиений [4].

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов, процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но, если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Целью настоящей статьи является рассмотрение теории хаоса на примере роста численности биологических популяций и удвоения цикла в механических системах с графической визуализацией математических моделей основанной на простых интуитивно понятных программах, написанных на Python.

Статья написана с целью обучения, но позволит, даже не имеющему опыта программирования читателю, используя приведенные программы, самостоятельно решить большинство новых учебных задач по теме моделирования явлений хаоса.

Системы отсчёта для определения орбиты

Для нахождения траекторий относительных движений в классической механике используется предположение об абсолютности времени во всех системах отсчета (как инерциальных, так и неинерциальных).

Используя данное предположение, рассмотрим движение одной и той же точки в двух различных системах отсчета $$ и $$, из которых вторая движется относительно первой с произвольной скоростью $$, где $$ радиус-вектор, описывающий положение точки начала системы координат $$ относительно системы отсчета $$).

Будем описывать движение точки в системе $$ радиус-вектором $$, направленным из начала координат системы $$ в текущее положение точки. Тогда движение рассматриваемой точки относительно системы отсчета $$ описывается радиус-вектором $$:

$$, (1)

а относительная скорость $$

$$,(2)

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].



Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Введение

Наиболее распространённым уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона.
К решению этого уравнения сводятся многие задачи математической физики, например задачи о стационарном распределении температуры в твердом теле, задачи диффузии, задачи о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов и многие другие.

Для решения эллиптических уравнений в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Точность решения опреде­ляется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера [1]

Цель публикации получить решение уравнения Пуассона для граничных условий Дирихле и Неймана, исследовать сходимость релаксационного метода решения на примерах.

Введение:

При математическом моделировании ряда технических устройств используются системы дифференциальных нелинейных уравнений. Такие модели используются не только в технике, они находят применение в экономике, химии, биологии, медицине, управлении.

Исследование функционирования таких устройств требуют решения указанных систем уравнений. Поскольку основная часть таких уравнений являются нелинейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение.

Возникает необходимость использовать численные методы, наиболее известным из которых является метод Рунге — Кутты [1]. Что касается Python, то в публикациях по численным методам, например [2,3], данных по применение Рунге — Кутты крайне мало, а по его модификации — методу Рунге-Кутта-Фельберга вообще нет.

В настоящее время, благодаря простому интерфейсу, наибольшее распространение в Python имеет функцию odeint из модуля scipy.integrate. Вторая функция ode из этого модуля реализует несколько методов, в том числе и упомянутый пятиранговый метод Рунге-Кутта-Фельберга, но, вследствие универсальности, имеет ограниченное быстродействие.

Целью настоящей публикации является сравнительный анализ перечисленных средств численного решения систем дифференциальных уравнений с модифицированным автором под Python методом Рунге-Кутта-Фельберга. В публикации так же приведены решения по краевым задачам для систем дифференциальных уравнений (СДУ).

Часто в общеобразовательных публикациях о космонавтике не различают разницу между ядерным ракетным двигателем (ЯРД) и ядерной ракетной электродвигательной установкой (ЯЭДУ). Однако под этими аббревиатурами скрывается не только разница в принципах преобразования ядерной энергии в силу тяги ракеты, но и весьма драматичная история развития космонавтики.

Драматизм истории состоит в том, что если бы остановленные главным образом по экономическим причинам исследования ЯДУ и ЯЭДУ как в СССР, так и в США продолжились, то полёты человека на марс давно бы уже стали обыденным делом.

Всё начиналось с атмосферных летательных аппаратов с прямоточным ядерным двигателем

Конструкторы в США и СССР рассматривали «дышащие» ядерные установки, способные втягивать забортный воздух и разогревать его до колоссальных температур. Вероятно, этот принцип образования тяги был заимствован от прямоточных воздушно-реактивных двигателей, только вместо ракетного топлива использовалась энергия деления атомных ядер диоксида урана 235.

Введение

Определение скорости подъёма и спуска летательных аппаратов легче воздуха (ЛАЛВ) до настоящего времени является практически важной задачей, возникающей при проектировании таких аппаратов.

Большое количество публикаций посвящено ЛАЛВ, например, только на нашем ресурсе приведены две очень интересные статьи [1,2], касающиеся истории развития на примере конкретных конструкций дирижаблей и стратостатов. Однако очень мало расчётов динамики вертикального полёта таких устройств, позволяющих хотя бы ориентировочно определять скорости подъёма и спуска ЛАЛВ.

Последнее утверждение требует определённого пояснения, поскольку искушённый читатель хорошо помнит школьный курс физики, в котором решались задачи на высоту подъёма и другие параметры воздушных шаров, заполненных газами легче воздуха или самим подогреваемым во время полёта воздухом.

Все указанные задачи были основаны на равенстве двух сил: силы веса и выталкивающей силы. Газы считались идеальными и их параметры вычислялись по закону Менделеева Клапейрона. Однако, даже простой учёт третьей силы сопротивления воздуха уже приводит к системе дифференциальных уравнений, которая аналитически не решается. Необходимо так же учитывать изменение плотности атмосферного воздуха с высотой подъёма и температурой.

Кроме этого, если нужно рассмотреть не только подъём, но и зависание шара и его спуск на землю, то совсем уж не детская задача получается. Надеюсь, что рассмотрение решения подобной задачи средствами Python не только будет способствовать расширению знаний по физике, но и популяризации самого языка программирования Python. Что я и пытаюсь делать в своих публикациях на этом ресурсе.

Информацию о состоянии окружающей среды или, например, некоторого объекта управления можно получать, измеряя текущие значения параметров, характеризующих те или иные свойства среды или объекта. Для получения, обработки и передачи такой информации техническими средствами, значение измеряемого параметра необходимо преобразовать автоматическими измерительными устройствами в сигнал измерительной информации. Для этого реализуют информационно-измерительный канал (ИИК), как совокупность технических средств, каждое из которых будет выполнять свою определённую функцию, начиная от восприятия измеряемой величины и заканчивая получением измерительной информации в форме, удобной для восприятия человеком или для дальнейшей её обработки. И всё бы хорошо, да вот по пути следования информации на полезный сигнал y(t) измерительной информации накладывается помеха e(t) – случайная функция времени, которая может моделировать и случайную погрешность измерительного преобразователя, и электрические наводки в соединительных проводах, и случайные пульсации измеряемого параметра, и другие факторы.

Введение

Для определения баллистико-временных характеристик движения центра масс парашютиста приходится выбирать упрощенную математическую модель, вполне доступную для аналитического исследования и в то же время сохраняющую наиболее характерные черты исходного объекта.

Для построения упрощённых математических моделей движения парашютиста проводится анализ, определение, систематизация постоянных и временных параметров.

Регулярных и достаточно обоснованных методов построения нелинейных математических моделей в настоящее время не существует, однако для решения частных задач, при правильном составлении исходных систем нелинейных дифференциальных уравнений, численные методы их решения могут давать вполне адекватные результаты.