Comments 297
Почему зеркало меняет местами правое и левое, в верх и низ нет?!
Не для всех ))). Это хороший вопрос, но пусть читатели подумают над ним сами. Почему для меня зеркало меняет верх с низом и не меняет право и лево я ответил вам личным сообщение.
Правильный ответ - потому что гладиолус.
Ну а если позанудствовать, то ничего зеркало не меняет.
Вопрос из серии — почему, когда мы рождаемся видим перевернутый мир? :)
как это узнали?
Экспериментировали с новорожденными. Трясут у него перед лицом какой-нибудь блестючкой слева вверху — а он руку тянет вправо-вниз (первое время, а потом через несколько дней начинает тянуть уже в правильном направлении).
это не обязательно зрение перевёрнуто
Скажите, Вы правда ожидаете, что я всё-всё распишу в одном комментарии страничек так на пять? Вкратце — написал, а если нужны подробности...
Серьёзно? Вот серьёзно? Не верю.
С "верю-не верю" — это не к нам, это к священникам.
Ну так вы чем то лучше священника сейчас аргументируете?
Я не "аргументирую", я делюсь имеющейся у меня информацией. Что Вы с ней будете делать дальше — мне несколько всё равно.
Ну, раз даже аргументировать такую дичь не желаете, то и отнесусь к этому как к полной дичи. Быстрое гугление показало, что это миф.
"Быстрое гугление" находит 100500 сайтов для милых дам мам, где да, написано именно так, но если какие ссылки и есть, то максимум на британских учёных, так что это, мягко говоря, так себе источник.
Честно признаюсь, что последний раз вскользь интересовался этим вопросом лет 30-35 назад, и тогда утверждалось (как я написал), что в первое время младенец тянется в сторону, строго противоположную заинтересовавшему объекту (что как бы намекает именно на ту самую перевёрнутость), однако развивающаяся нейросеть (тогда использовались другие слова) пытается минимизировать наблюдаемую невязку, и вскоре поведение (и восприятие) изменяется в правильную сторону; естественно, ввиду крайней юности воспоминаний об этом ни у кого не остётся. За давностью лет, естественно, уже не вспомню, где это читал — естественно, не в интернете; предполагаю, что в "Науке и жизни", но, естественно, не уверен.
Я уже сказал: к моему большому сожалению, ввиду давности лет, затруднит, но это не так принципиально: информация абсолютно точно не из Интернета — он появился (в России, не в США) лет на десять позже.
Так я и не говорил, что я суперспециалист в вопросе — я выдал те данные, которые имеются у меня, а дальше — за что купил, за то и продаю.
"доинтернетность" источника не гарантирует верность информации.
Всё так, но по крайней мере тогда не занимались безбожным хайпованием ввиду его безумной цены и полной бессмыссленности.
здесь должна быть физика-оптика, если глаз это кагбэ стеклянный шарик то он должен давать по идее перевёрнутое изображение. что там дальше с нейронами происходит уже не важно - если мы говорим про аппаратное обеспечение. программа может потом это изображение перевернуть если мозгу так удобнее
Так ровно про то и говорим, только другими словами.
Кто вообще сказал, что мозгу будет чем-то удобнее, когда Земля снизу или наоборот — сверху? Какая принципиальная разница между этими двумя возможностями? Зачем мозгу потом переворачивать изображение? Кто сказал, что перевёрнуто изображение, а не проциоцепционное ощущение верха или низа в нашем теле? Можно, конечно, сказать, что мы на самом деле живём вверх тормашками, и только воспринимаем всё, как будто у нас голова сверху а ноги снизу. Но, по моему, это не имеет никакого смысла — верх он и есть верх, а низ это низ. Проводили вполне реальный эксперимент Стреттона, в котором людей учили ходить в очках, отзеркаливающих лево и право, и люди адаптировались за неделю, учились тянуть руку влево, когда брали предмет, находящийся правее. А потом снимали очки и приходилось адаптироваться заново. Что говорит, что мозгу, собственно, всё равно.
Сомнительно, что это так. В мозг идет пучок нервов, перемешанных между собой, правда, в каждое полушарие свой, причем крест-накрест. В итоге в мозг поступает массив импульсов, в котором нет низа, верха, эти понятия возникают позже в процессе обработки. Кроме того, новорожденный не умеет управлять своими руками сразу, этот навык приходит постепенно в процессе обучения. А на самом деле перевернуто лишь изображение на сетчатке глаза.
Потому, что акушерке удобно держать ребенка за ноги: ничего не сломается, ничего не оторвется
Мы всегда видим перевернутый мир - по законам оптики, просто потом мозг переварачивает изображение.
Проводили эксперимент - одевали очки, которые переворачивают изображение, примерно, через 2 недели использования мозг перестает переворачиваь изображение. После снятия очков - человек видит некоторое время мир перевернутым, пока мозг снова не станет переворачивать картинку.
Лежащее на полу или подвешенное на потолке — меняет.
Зеркало меняет не левое и правое, и не верх и низ.
Зеркало меняет перед и зад. Если бы оно сохраняло их, то в зеркале вы бы видели свой затылок.
А уже дальше человеку - в силу того, что мы
гораздо более манёвренны в горизонтальной плоскости (двигаемся и поворачиваемся), нежели в вертикальной (не любим наклоняться, а тем более, вставать на голову)
визуально почти симметричны по вертикали проще интерпретировать, что наше отражение повернулось к нам по вертикальной оси и отразилось в сагитальной плоскости (пенпердикулярной плоскости зеркала).
Какое-нибудь существенно несимметричное создание, например, камбала, или существенно по-другому симметричное, например, дождевой червяк, может считать иначе. Что зеркало его перевернуло та гепнуло!
На мой взгляд, относительно наблюдателя зеркало меняет зад и перед, зато другие направления наоборот сохраняет (-;
зеркало ничего не меняет местами, это иллюзия, а еще глаза расположены горизонтально
Положите зеркало на пол и встаньте на него. Поменялось ли местеми правое и левое?
Правое и левое не меняется даже если зеркало висит на стене. Встаньте перед зеркалом и поднимите руку которая правее вашей головы. В отражении вы тоже увидите что у вас поднята та рука, которая правее вашей головы. Или нарисуйте на бумажке стрелочку и покажите ее зеркалу. В реальности и в отражении стрелка будет указывать в ту же сторону (кроме случаев когда стрелка смотрит перпендикулярно плоскости зеркала).
Зеркало меняет только направление "от себя / на себя". Например, буквы в книге переворачиваются только в двух случаях - вы переворачиваете книгу, чтобы она смотрела на зеркало, а не на вас, либо вы держите книгу так, что в зеркале переворачивается направление "от себя/на себя". В первом случае понятно почему вы видите текст перевернутым - вы же сами перевернули книгу. Если бы сами страницы были прозрачными, а был виден только текст - то буквы в зеркале и на странице выглядели бы совершенно одинаково. Во втором случае - ну да, зеркало изменило направление "в глубину", но тогда текст будет выглядеть вверх-ногами, а не отраженным справа налево.
del
Да!!!!!
Отличный вопрос.
Как то обнаружил себя во втором часу ночи в коридоре перед зеркалом, будучи верхней частью тела повернутым на (примерно) прямой угол от вертикали :)
С тех пор зарекся на эту тему размышлять.
Это просто великолепно! Всё четко. Количество сделанной работы просто сногшибательно!
Приведу аналогию: был бы интересен опус про nftables, если читатель не знаком с iptables, сетевыми интерфейсами? Так какой смысл в выше описанном, если большинство не знакомы с общей алгеброй, теорией групп.
Так я вроде бы на пальцах. Никаких сложных концепций, ничего такого, чего бы вы и так не использовали в школе, наверное даже в начальной школе.
Вообще не на пальцах.
Я пришел на "Когда вы учились в школе, разве у вас не возникало желание получить простое объяснение, почему при умножении чисел “минус на минус” дает “плюс”?"
а получил кучу формул, позитроны какие-то, 3014 год и картины.
> простое объяснение
Да чтоб вам так объясняли что-то (-_- )
-- Доктор, у меня горло болит, можно вопрос почему?
-- Да легко, Si+2Cl2 => SiCl4
поэтому SiCl4+3H20 => H2Si03 + 4HCl
ну и следовательно 2HgO = 2Hg + O2 СаСО3 = СаО + СО2
отсюда и берем что
C + O2 = CO2; Na2O + CO2 = Na2CO3; NH3 + CO2 + H2O = NH4HCO3.
Ну и полному идиоту здесь будет понятно что
CuSO4 + Fe = FeSO4 + Cu
2NaI + Cl2 = 2NaCl + I2;
CaCO3 + SiO2 = CaSiO3 + CO2
-- Спасибо, доктор, и правда все понятно. Водорот, кислорот, да-да
Попробуйте объяснить проще, почему вычитание можно заменить сложением с противоположным. Напомню, что по определению (в той же начальной школе) вычитание - это операция, противоположная сложению. Мне правда интересно.
Во-первых "сам попробуй" это плохой аргумент, так ведь?
Был бы я таким умным, может бы понял ваше "простое, понятное в начальной школе" объяснение из кучи формул, картин и каких-то математических значков, сказал бы - нормально ты серега ваще телегу загнал, так этих малолеток, пусть получают А хештегом + Бэ хештегом по своей дурной голове, чтоб им А и Б в степени хештега деленное на p снилось теперь (формула зэ плюс 3 точка 1)
Во-вторых зачем это делать мне, если здесь уже в комментах пара неплохих, например у товарища @vedenin1980 чуть ниже по треду.
У товарища снизу пока еще не модель. Скажите вы мою статью подряд читали или урывками? Если подряд и вам что-то в каком-то месте было не понятно, будьте добры пояснить, что и где - я постараюсь переписать проще и понятнее.
у товарища снизу пока еще не модель
Ваши зелено-красные аннигилирующие кружочки ведь тоже не имеют отношения к реальной физике. В том смысле, что законы взаимодействия, которые вы им приписываете по ходу повествования, определяются не какими-то фундаментальными основами мироздания. Они скорее плод вашего воображения. Сказка.
А как известно: сказка - ложь. Здесь логика подсказывает, что из ложной посылки можно делать какие угодно выводы и это даже будут абсолютно законно. Но в плане доказательства, увы, не применимо.
Если умозрительный мир подчиняется строгим логическим законам, то выводы сделанные из наблюдения за этим миром имеют не меньший доказательный вес, чем выводы сделанные из наблюдений за реальным. Или в вашей картине мира нет места умозрительным и мысленным экспериментам.
.
Имея в распоряжении склад плоских телевизоров и программиста, я уверен, можно сделать мои "модельные" картины реальными.
Если умозрительный мир подчиняется строгим логическим законам, то выводы сделанные из наблюдения за этим миром имеют не меньший доказательный вес, чем выводы сделанные из наблюдений за реальным
Дело в том, что в математике доказательства так не работают. Математика создает свой строгий абстрактный мир, где все либо принимается за аксиомы, либо доказывается через аксиомы средствами математики.
По современным правилам математики нельзя перейти к модели реального мира или какой-то умозрительной, что-то доказать, а потом сказать, что это доказаывает мат.модель в общем случае.
Условно, легко доказать коммутативность сложения просто взяв яблоки и показав, что 3 яблока и 2 яблока тоже самое что 2 яблока и 3 яблока. Но такое доказательство это только для детского сада, а не для настоящих математиков. Коммутативность сложения либо принимается за аксиому, либо доказывается математически.
Можно вспомнить парадокс Зенона (Ахилле́с и черепа́ха), его несложно решить перейдя в некоторую модель реального мира и поставив практический эксперемент показав, что Ахилле́с догонит черепаху (что и так всем понятно). Смысл парадокс Зенона именно в том, что доказать это оставаясь только в рамках математических модели.
То же сравнение с позитронами и электронами неверно — при анигиляции выделяется энергия, а вовсе не ноль (ничего). Энергия может приводит к появлению других частиц из ваккума. Да, пока физика считает, что заряд должен при этом сохранятся, но если вдруг это окажется не так — то что?
Брать и переделывать математические модели, которые доказаны через модель позитронов и электронов? Именно поэтому такие переходы от мат.моделей к другим моделям допустимы только в одну сторону (с использованием математики можно доказать другие модели), а не в обратную.
Математические модели должны быть самодоказательны без использование других моделей.
Если умозрительный мир подчиняется строгим логическим законам, то выводы сделанные из наблюдения за этим миром имеют не меньший доказательный вес, чем выводы сделанные из наблюдений за реальным.
Или в вашей картине мира нет места умозрительным и мысленным экспериментам
Если речь идёт про какие-то слова из букв, связанные между собой какими-то правилами-формулами, то у нас формальная система. Мы можем брать слова, подставлять в формулы и на выходе получать новые слова, которые можно считать корректными. На этом уровне, здесь нет особой практической пользы, это просто физкультура для ума. e2 e4, e4 e5, Qh5..
Мы можем пойти дальше и сопоставить слова с какими-то объектами из физического мира. Например, словам "слон" и "конь" - не, не животных, а деревянные фигурки, которые ходят по клеткам, подчиняясь некоторым правилам. Шахматы. У нас по прежнему формальная система, но теперь с довольно удобной интерпретацией в физическом мире. Например , она не даёт случайно нарушить определенные правила, допустим поставить на одну клетку несколько фигур. Значит-ли это что все выводы, сделанные в рамках шахматные правил автоматически распространяются на реальный мир? Нет. Например, нам ни что не мешает фигурки взять и сжечь - это не противоречит законам физики. Точно так же геометрия фигур может позволить поставить их несколько штук на одну клетку, но это не меняет шахматных правил и не делает такой ход корректным. Т.е. речь идёт об ограниченной интерпретации, а не их полной эквивалентности. В такой ситуации мы не можем слепо переносить выводы из одного мира в другой.
Если говорить о связи математики с физикой, то здесь все мысленные эксперименты потом проверяются на реальных. Так уже было загублена масса красивых и логичных теорий.
-del
"Определения" в начальной школе не нужно рассматривать как определения в строгом математическом смысле. Начальная школа призвана развить интуитивное понимание арифметических операций.
Вообще, математика в начальной школе довольно таки противоречивая: сначала нельзя отнимать большие числа от меньших, потом оказывается что можно. Сначала 10 не делится на 3, потом делится но с остатком, а потом делится с образованием дробной части. Про квадратный корень из отрицательного числа я вообще молчу. Да, можно сказать что на самом то деле мы переходим от натуральных чисел к целым, от целых - к рациональным, от действительных - к комплексным, но школьникам от об этом не говорят! Ну кроме последнего случая, естественно.
Я видел своего читателя как 8 класс и выше. Конечно статья не для начальной школы.
Ну для 8 класса уже наверное можно и рассказать что "3 - 5" - это такой сокращенный способ написать "3 + (-5)". Соответственно, никакого вычитания на самом деле нет, а есть только сложение. Да и в 8 классе уже знают что умножение - это что-то более сложнее чем просто сложить n раз число m с самим собой. Хотя бы потому что сложить Пи раз квадрат радиуса с самим собой - это еще надо постараться.
Все верно, но вы не можете умножить что-то на число пи, так как вам оно не известно. Вы можете умножить что-то на некоторое приближение к числу пи, сколь угодно близкое, но не на число пи и, внезапно, это приближение находится при помощи операции сложения дробей :)
Честно говоря, показалось, что многовато слов для довольно очевидной и тривиальной вещи.
И потом, любое -N можно представить как N*(-1). Тогда очевидным образом (-N)*(-M)=(-1)*(-1)*NM=sqr(-1)*NM=1*NM=NM.
сначала нельзя отнимать большие числа от меньших, потом оказывается что можно
Чтобы "нельзя" - не помню такого. "Вы этого пока не умеете, в старших классах научитесь, а пока такого не будет, а если попалось, то вы где-то ошиблись" - да, такое было. (Впрочем, мне родители где-то в первом классе на прогулке рассказали про отрицательные числа и я даже понял в общих чертах, так что это вопросов не вызывало).
Сначала 10 не делится на 3, потом делится но с остатком, а потом делится с образованием дробной части
В общеупотребительном смысле слово "делится" означает именно целочисленное деление. Так что да, 10 на 3 не делится.
Про квадратный корень из отрицательного числа я вообще молчу.
Это вообще лютый вышмат, в отношении которого, в общем-то, есть вопрос, являются ли комплéксные мнимые числа числами. Так что мы вполне можем сказать, что чётные корни из отрицательных чисел не извлекаются, а то, что извлекается - некая вымышленная сущность. Ну это как температура в -500 градусов: физически невозможно, но в теории сочинять и решать математически верные задачки на тему теплоёмкости с такими данными можно. Комплéксная температура, так сказать.
нельзя отнимать большие числа от меньших
Это вы просто не умеете!
Король Бизонов приподнял бровь.
— Тогда, возможно, вы просто хотите присоединиться к своим друзьям сейчас, потому как я хорошо знаком с математикой — от теории множеств до дифференциального исчисления и даже дальше. Боюсь, что мало что вы сможете мне показать.
— Я в курсе, Ваше Величество, но позвольте объяснить. Вы, без сомнения, знакомы с понятиями целого числа, группы положительных и отрицательных чисел и аддитивного обратного?
— Конечно. Все очень просто, уверяю вас.
Куница улыбнулась.
— Идея отрицательных чисел никогда не забавляла Ваше Величество?
— Забавляла? — Брови Короля Бизонов сморщились. — Почему отрицательные числа должны меня забавлять?
— Разве это не заставляет Вас задуматься, Ваше Величество, как можно сложить что—то с чем—то и получить ничто?
Король Бизонов рассмеялся.
— Отрицательное число — это всего лишь математическое удобство: оно не имеет физической реальности.
Куница подняла лапу.
— Ваше Величество, Вы уверены в этом?
Это заставило Короля Бизонов на мгновение задуматься. Он наклонил голову.
— Ты хочешь сказать, что оно имеет?
— С Вашего позволения. — Куница снова поклонилась.
— Ну—ну... — Глаза Короля Бизонов загорелись, и он взмахнул копытом в сторону Куницы. — Давайте взглянем.
— Ваше Величество так добры. Мне понадобится ваш стол, Ваше Величество, и тарелка с тремя яблоками.
Король Бизонов с грохотом сдвинул копыта. Через мгновение вперед вышел буйвол, на спине которого балансировала серебряная тарелка с тремя красными яблоками. Буйвол позволил тарелке соскользнуть на стол; Куница вскочила на него и еще раз поклонилась королю.
— Ваше Величество мзволит видеть три яблока. — Она погладила каждое яблоко лапой. — Три красных яблока на тарелке. Теперь, три минус одно, — она взяла одно яблоко с тарелки и положила его на стол рядом с ней, — равняется двум. — Она погладила два яблока, оставшихся на тарелке. — Не так ли, Ваше Величество?
— Несомненно.
— А два минус одно, — она взяла второе яблоко, положила его на стол рядом с первым и продолжила, — равно одному. — Она погладила последнее яблоко на тарелке. — Не так ли, Ваше Величество?
— Воистину так: на тарелке больше нет яблок.
Куница подняла лапу.
— Но, Ваше Величество, разве не также верно, что ноль минус один, — Куница протянула лапу к пустой тарелке и... взяла яблоко когтями — яблоко такое же большое и красное, как и остальные на столе, — равно минус одному? — И Куница положила это другое яблоко на стол рядом с первыми тремя.
Рысь ошарашенно смотрел на сцену из—за ног окружавших его буйволов. Яблоко только что появилось у Куницы в лапе так же легко, как если бы она взяла его с тарелки.
Король Буйволов приподнялся, его лохматые брови встопорщились.
— И таким же образом, — продолжала Куница, — минус один минус один, — она протянула лапу и взяла еще одно большое красное яблоко с пустой тарелки, — равно минус двум. — И это яблоко присоединилось к остальным на столе рядом с ней.
— Это что за колдунство такое? — пробормотал Король Буйволов, оседая на подушке.
— О нет, Ваше Величество, никакого колдунства, всего лишь элементарная математика. В конце концов, минус два минус один, Вы согласитесь, — ещё одно яблоко было поднято с тарелки и поставлено в ряд с остальными, — должно быть равно минус трём. — Куница взглянула на Короля Бизонов. — Вы ведь превосходно знаете математику, Ваше Величество.
— Математика... — пробормотал Король Бизонов. — Но откуда взялись остальные три яблока?
Куница выглядела ошарашенной.
— Ваше Величество, здесь всего три яблока!
Глаза Короля Бизонов метнулись на нее.
— Как?! Я вижу шесть!
— Но Вашему Величеству не дОлжно забывать о трех отрицательных яблоках на тарелке. Шесть положительных яблок плюс три отрицательных яблока даёт три яблока. — Куница провела лапой от ряда яблок к тарелке. — Здесь может быть только три яблока. Ведь это математика, не так ли?
Король Бизон ошарашенно переводил взгляд с яблок на тарелку и обратно, не произнося ни слова.
Куница откашлялась:
— Возможно, станет ещё понятнее, если я буду действовать в обратном порядке. — Она взяла одно из яблок со стола и предъявила его Королю Бизонов. — Если к минус трём прибавить плюс один, — она опустила яблоко на тарелку — но когда она отвела лапу, тарелка осталась всё так же пуста, — равняется минус двум, видите? И оставшиеся здесь пять яблок, будучи сложенными с минус двумя яблоками на тарелке по—прежнему равяются трём яблокам.
Король Бизонов соскользнул с подушек так далеко вперед, что его нос почти касался столешницы.
Куница взяла еще одно яблоко из ряда.
— А если к минус двум прибавить плюс один, — яблоко опустилось на тарелку и тут же пропало, — выйдет минус один. — Куница постучала по тарелке когтем. — Одно отрицательное яблоко, оставшееся на тарелке, плюс эти четыре положительных яблока дают нам три яблока, которые у нас собственно всегда и были. Вы следите за мыслью, Ваше Величество?
Рысь едва слышал прерывистое дыхание Короля Бизона, когда тот склонил свою огромную голову над столом.
Куница подняла еще одно яблоко.
— Минус одно плюс плюс одно вернёт нас обратно, — она поставила яблоко на тарелку, и снова оно исчезло; она улыбнулась Королю Бизонов: — обратно к нулю, Ваше Величество.
Король Бизонов отполз немного назад, его глаза под густыми бровями были расшириены. Куница подняла лапу.
— Но, Ваше Величество, чисто чтобы вернуться в исходную точку... — Она взяла оставшиеся яблоки и поставила их одно за другим на тарелку. — Ноль плюс одно равно одному, одно плюс одно равно двум, и два плюс одно равно трём. Ваши три яблока, Ваше Величество. — Она погладила каждое из них и взглянула вверх с улыбкой. — Три красных яблока на тарелке.
— Michael H. Payne. The Blood Jaguar
Я бы рассказал про числовую прямую, про то, что сложение с неким числом означает движение по этой прямой, его величина обозначает расстояние а знак - направление. А вычитание - это движение в обратную сторону. Результатом выражения является позиция, в которую мы придем, если начнем с 0 и последовательно будем двигаться налево или направо.
Поскольку вычитание меняет направление на противоположное, и отрицательный знак числа тоже меняет направление на противоположное, то если это сделать два раза (сменить направление), то в итоге мы вернемся к первоначальному направлению.
И если объяснять это ребенку, то в этом месте надо встать и попрыгать, оттачивая умение менять направление на противоположное строго одним прыжком :)
А вот умножение я бы сравнил с площадью прямоугольника (или с дискретным ее аналогом, если мы считаем не непрерывные величины, типа площади комнаты, а количество яиц или конфет в коробке MxN)
И из этого сравнения сразу очевидным становится идея коммутативности умножения. Если мы поверем коробку с яйцами на 90 градусов, то M и N поменяются местами, но количество яиц в коробке не изменится (при соблюдении должной осторожности - яйца все же хрупкие).
Что до алгебры, я бы прогнал следующую телегу. Сначала мы учимся складывать яблоки, апельсиным счетные палочки или конфеты. Потом мы узнаем, что сложение работает независимо от того, какие предметы мы складываем - так мы постигаем идею абстрактного числа (а не конкретного количества определенных предметов). Алгебра - это следующий уровень абстракции, мы перестаем думать о числах и начинаем думать о самих операциях, которые ведут себя аналогично соответствующим операциям над числами.
Кстати, нет ли у кого идеи очевидно не числового алгебраического поля, притом не слишком невыносимо сложного?
Ваше объяснение проще, понятнее и нагляднее чем в статье. Спасибо.
Поля Галуа же.
Кстати, нет ли у кого идеи очевидно не числового алгебраического поля, притом не слишком невыносимо сложного?
Картофельное?
Так можно ли то, что получено в результате умножения складывать с тем что не умножалось и ... почему для арифметики целых с таким умножением верны все те же основные законы, что и для арифметики натуральных?
то, что получено в результате умножения складывать с тем что не умножалось
Конечно можно, потому что "то, что не умножалось" всегда можно умножить на 1 ?
Так можно ли то, что получено в результате умножения складывать с тем что не умножалось и ...
Можно.
почему для арифметики целых с таким умножением верны все те же основные законы, что и для арифметики натуральных?
По определению же.
Я бы рассказал про числовую прямую, про то, что сложение с неким числом означает движение по этой прямой, его величина обозначает расстояние а знак - направление.
Я это когда-то так для себя и "объяснил". Умножение на (-1) запомнил как операцию, которая просто меняет знак числа. Соответственно (-1)*(-1) это смена знака (-1), то есть просто 1. А (-3)*(-2) это просто 3*2*(-1)*(-1) = 3*2*1.
Иллюстрация же автора статьи выглядит как некоторый анахронизм. Насколько я помню, хотя могу и ошибаться, концепцию отрицательных чисел полноценно описали уже в 19 веке, то есть задолго до открытия антиматерии и позитронов.
Можно и без позитронов. Помните, как в полупроводниках, бывают электроны и дырки. Дырки вполне себя ведут, как антиэлектроны. А дальше можно к вполне себе осязаемым. механическим дыркам перейти. Например, складывать не портреты электронов, а поля для гольфа, с шариками и лунками
Автор пытался изобрести нечисленную алгебру, но у него это не очень получилось, увы
А для любопытных можно приоткрыть тайну, что в старших классах их научат не только менять направление на противоположное, а на любой угол.
О! Вспомнилось, как в 10-м классе "решал" тригонометрические неравенства на кругах Мора... так получилось, что поменял школу, и новая математичка мои "решения" отказалась принимать - аж к директору пришлось идти, чтобы та подтвердила возможность "графического решения" на четверть страницы, без выкладок формулами на пару полных разворотов...
Булева алгебра.
Пробовал как-то рассчитать периодическое поле (образованное абстрактной периодической функцией). Занимательная получилась вещь. Идея скорее экспериментальная, что-то показалось интересным, что-то так и не удалось доделать.
0000 >>>
0001 0010
0011 0101 0100 0110
0111 1011 1001 1101 1000 1100 1010 1110
повторитель >> | << накопитель
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
^^ проекция ^^Не знаю как будет отображаться, но на пк вроде видно четко. Для большего удобства графически лучше расставить как чередующиеся числовые прямые, образованные степенью двойки и обозначающие масштаб. Функция, написанная для расчета нужной точки, просто делает сдвиг бит на один шаг (для масштабирования). Двигаться по такому пространству лучше используя его проекцию на числовую прямую. Само собой у каждого масштаба своя проекция. Функция для расчета делает простые шаги, берет битовую последовательность нужного числа в проекции (например 6), отбрасывает первые нули (их там может быть 64 нуля) и начиная с верхнего бита производит расчет скаляра в периодическом пространстве. Биты - дальние прыжки, нули ближние. Число 6 - это 110 в битовом виде. Начиная с верхнего бита от нулевого скаляра делаем дальний прыжок на следующий масштаб вправо. Попадаем на скаляр 0010. Следующий бит еще вниз и вправо - попадаем на скаляр 0110. Последним идет нуль, поэтому делаем ближний прыжок - просто вниз. Попадаем на скаляр 1010. Функция при прыжках просто прибавляет к скаляру бит в нужном масштабе с одинарным или двойным сдвигом. Таким образом каждая точка на проекции имеет свой уникальный скаляр в периодическом пространстве.
Само по себе ничего интересного, но я делал эту функцию в другом контексте. Мне было интересно разместить в скалярах пространства матрицу искажения. Чтобы при движения до нужной точки проекции, рассчитать то или иное искажение. Для примера можно представить как из плоской растягивающейся карты мира, вытянули фигуру глобуса или другую фигуру. Т.е. если между 6 и 7 точкой проекции я условно вставил еще десять точек, чтобы они рассчитывались правильно. 6я так и останется 6й, а 7я станет 7 + 10 = 17.
Ну вы притащили абстрактную алгебру. Не то чтобы нормальному школьнику нельзя было объяснить что такое группа, кольцо и поле... Но нормальному школьнику вообще много чего можно пояснить, даже из университетской программы.
Я старался сделать это завуалированно: создать, так сказать, прецедентную базу.
Ну я не могу сказать что у вас получилось, к сожалению. Вообще хочу напомнить вам начало вашей статьи:
Несмотря на идейную простоту формальный подход требует множества долгих и скучных выкладок, а его доказательства вряд ли сделают доказываемое более понятным, поэтому мы не будем использовать формальный подход и пойдем другим путем.
А потом херак - и дофига формул с непонятными значками на 20 страниц. Несколько иронично, не находите ли?
Я учился в гимназии, в математическом классе, потом закончил факультет прикладной математики, так что я наверное могу сказать что определенную тягу к математике имел с детства. Так вот, в 8 классе я бы нифига не понял из того что вы написали. В 8 классе мне было бы проще проследить долгий нудный вывод используя обычные арифметические операции, чем пытаться сначала вникнуть в теорию групп на примере картин с позитронами. Я не говорю что теория групп сложна и не может быть объяснена школьнику. Просто надо идти тем же путем, которым идет преподавание арифметики и алгебры - небольшими шагами, с кучей примеров и практики, чтобы у школьника выработалось то интуитивное понимание, которое уже есть у вас.
Я учился в сельской школе и почти уверен, что в 8-9-том моя статья была бы мне по зубам, но, конечно, только при самостоятельном изучении, когда никто никуда не гонит, из-за чего есть время на подумать и поговорить с собой. Да, я с вами соглашусь, что примеров и упражнений в статье действительно должно быть больше, может, еще какие придумаю. Школьники - они вроде как умные: помню, в 10-том я легко понял теорию Карно обратимых тепловых машин, смог вывести основное уравнение МКТ - и это все по программе (сельской школы).
Я тоже учился в матшколе, притом в очень хорошей, и не думаю, что в 8-м классе осилил бы эту статью. Скорее, в 9-м - 10-м.
Идея картин с позитронами мне не очень понравилась потому, что это - те же числа. Интересно было бы придумать, как раз для таких ознакомительных целей, алгебраическую структуру на множестве, которое, очевидно, на числа совсем не похоже.
Может, алгебраические типы?
Нужно очень осторожно относится к тем моделям из реального, физического мира, которые математики подобирают для иллюстрации каких-либо математических идей.
Самый известный пример - задача про бассейн и две трубы из которых втекает и вытекает вода. С втеканием проблем нет. Проблема с вытеканием. Скорость (и соответственно объём) вытекания жидкости - степенная функция от высоты уровня этой самой жидкости. Тут как бы интеграл по высоте напрашивается. И да, общее время опорожнения ёмкости стремится к бесконечности. Проще говоря, вы никогда не знаете, какая капля последняя.
Мне кажется, все куда проще представить, что мы стоим на дороге к дому и вы можем идти либо к дому, либо от дома. Изначально стоим лицом. Каждый минус это поворот на 180 градусов.
Если два минуса — повернулись дважды и пошли в прежнем направлении. Один или три минуса — идем от дома. Точно так же показывается любое количество минусов.
Вообще с практической стороны, минусы они присоединяются к числам исключительно для математического удобства. По факту, минусы это отдельная сущность (нам должны или мы должны), как количество поворотов прежде чем мы пойдем в каком-либо направлении. Минус 3 раза или минус 5 яблок — с практической точки зрения не очень имеет смысл. Вот у нас есть долг в 15 яблок или наоборот у нас есть 15 яблок это имеет смысл.
Ну либо можно представить, что мы с соседом в суде определяем кто кому должны яблоки — сначала мы привели аргументы и судья говорит да это они должны, потом сосед привел свои аргументы и судья поменял мнение, потом снова мы и так каждый раз до тех пор пока судья не примет решение. А дальше уже у нас либо корзина яблок (при четном количестве изменений мнения), либо мы тащим эту корзину соседу (при нечетном).
Каждый минус это поворот на 180 градусо
Так это и надо доказать.
Пап, я тут сначала повернулся на 180 градусов вокруг одной оси, потом на 180 градусов вокруг другой оси. Теперь я смотрю против дома и на голове. Это как?
В этот момент мудрый папа перестанет мучать ребенка математикой, осознав, что его путь лежит не на Мехмат МГУ, а в цирковое училище :)
Градусы проходятся в конце младшей шкрлы, если не ошибаюсь. Раньше чем отрицательные числа
Градусы проходятся
- Вода кипит при 90 градусах
- Не, вода кипит при 100 градусах. При 90 градусах кипит прямой угол
;)
Главное - не перепутать область применения аксиом (жы шы пишы через Ы, минус на минус дает плюс..)
мы с соседом в суде определяем кто кому должны
Когда в сааамом начале статьи увидел объяснение умножение положительного на отрицательное
это когда вы одолжили у соседа 3 корзины по 5 яблок
то первая мысль была: так в случае обоих отрицательных множителей мы не у соседа одалживаем, а соседу. Всё, теперь нам сосед должен, мы в плюсе.
А потом дочитал до слов "объяснение будет не таким уж простым" и с ужасом посмотрел на размер ползунка на скроллбаре странички... Не осилил, пролистал по диагонали.
Да, в этой схеме проще всего объяснить что такое мнимая единица из комплексных чисел - это повернуться на 90 градусов. Корень из -1 умножить на корень из -1 получается -1, то есть два раза по 90 градусов
Получившаяся модель — сама как творение художника-футуриста. Вроде красиво, но поймёт ли это обычный младшеклассник — непонятно.
Я бы предложил модель "яблок с направлением"/"договора о яблоках". В этой модели "1" — это то, что мы договорились одно моё яблоко передать тебе. А "-1" — мы договорились одно твоё яблоко передать мне. Т.е. минус меняет направление передачи яблок.
Давайте подумаем, какими качествами должен обладать художник, чтобы его работа изображала "$-1$"
А давайте ещё подумаем, какими качествами должен обладать художник, чтобы его работа изображала "$0$", для любой картины на входе с любым суммарным зарядом. И как удается этому гению обходить закон сохранения энергии?
Действительно, если взять три (непересекающиеся) кучки яблок размера $a$, $b$ и $c$, то не важно: объедините вы сначала первую со второй, а потом прибавите к ним третью, или объедините вторую и третью, а первую прибавите в конце — в результате у вас получится одно и то же множество яблок с одним и тем же их числом.
Смотря как посмотреть. Допустим у вас есть 3 кислых (k) яблока и 5 сладких (c), мы складывем их друг за дружкой, а потом делим этот паровозик ровно по середине. Все что слева достается Васе, а справа - Кате. kkk + ccccc = kkkccccc = kkkc + cccc . Кате достались все сладости, а Вася наелся кислых. Если же мы меняем порядок, то ccccc + kkk = ccccckkk = cccc + ckkk. Теперь все сладости достались Васе. Число яблок одинаковое, а дети чувствуют себя по разному) Вы скажите, что математическое сложение так не работает? Ну тем хуже для вашей математики. Модель-то вполне жизненная.
А вообще берём довольно простую вещь и делаем для неё максимально сложное объяснение. Как только оно перестает укладываться в голове, говорим что утверждение доказано)
Нет, с нулем все просто: такой художник берет все кружки и незаметно складывает их себе в карманы: позитроны в правый, а электроны - в левый )).
.
Ответ на второй вопрос - смотря как определить отношение равенства.
Нет, с нулем все просто: такой художник берет все кружки и незаметно складывает их себе в карманы: позитроны в правый, а электроны - в левый ))
Это фокусник случайно не родственник демону Максвелла?) Серьезно, если мы можем произвольным образом наделять модель нужными нам свойствами, значит можем доказать вообще все что угодно.
Модель с кислыми и сладкими яблоками напоминает комплексные числа
Если наесться мнимых яблок, здоровьечко запросто может стать мнимым :)
А можно вопрос?
Разве нельзя нарисовать график, умножить на * (-1), потом снова умножить на (-1) и этим проиллюстрировать?
Самый простой способ объяснения - это геометрия. Умножение это складывание (отрезков) n раз. Берем координаты от 0 до - бесконечности. Откладываем отрезки. Сумма длин всех отрезков величина положительная. Потому что это априори «сумма». Профит.
Создание модели требует от вас умножать подобное на подобное и получать подобное. То есть отрезок на отрезок и получать отрезок. Так какие отрезки у вас отрицательные, какие положительные и почему произведение двух отрицательных равно положительному?
Из ваших рассуждений выходит что произведение любых двух чисел будет положительное число.
В геометрии, если мы умножим два отрезка, то получим прямоугольник, с которым вообще непонятно что делать.
У него есть площадь. Она - тоже число. Это легко понять на дискретной модели, умножая не непрерывные расстояния, а конфеты в прямоугольной коробке MxN
Ну да, то покажите мне отрицательную площадь теперь. 3 * (-5) = - 15. Как это пояснить в терминах планиметрии?
Пойдем дальше и сложим площадь с отрезком: 3*2 + 2 = 8. Это как вообще?
Пойдем дальше и сложим площадь с отрезком: 3*2 + 2 = 8
Вы сложили не полщадь с отрезком, а число с числом. Для площади и отрезка операция "сумма" не определена.
Ну да, то покажите мне отрицательную площадь теперь. 3 * (-5) = - 15. Как это пояснить в терминах планиметрии?
Определить нормали, например. Тогда условный "вверх" это положительная площадь, а "вниз" - отрицательная.
Планиметрия - она по определению плоская. Окей, можно ввести еще одно измерение. Но чем это поможет то? Вы можете показать интуитивную геометрическую интерпретацию следующих действий?
1 * 1 = 1
(-1) * 1 = -1
(-1) * (-1) = 1
(-1) * 1 + 1 = 0
Напомню, что эта ветка комментариев как раз началась с того что @exrector предложил использовать геометрию для иллюстрации умножения.
Я это предложил в порядке бреда, не относитесь слишком серьёзно.
1 * 1 = 1
два ортогональных орта образуют единичную площадь с нормалью "вверх"
(-1) * 1 = -1
два ортогональных орта, один из которых "обратный", образуют единичную площадь с нормалью "вниз".
(-1) * (-1) = 1
два ортогональных обратных орта образуют единичную площадь с нормалью "вверх" (с этим сложнее, потому что тут некоторые свойства метрики принимаются за аксиому)
(-1) * 1 + 1 = 0
сложение двух площадей с разнонаправленными коллинеарными нормалями равно нулевой площади (те же условия)
Интересно, а есть ещё такие числа (обобщенные) кроме 0 и 1, что x*x=x ? Понятно, что в R их нет и в C их нет, ну а в других множествах?
В множестве кардиналов, очевидно есть такие элементы - например Алеф нуль* Алеф нуль = Алеф нуль.
И в лямбда исчислении скорее всего существуют такие x, что ((mult) x) x = x, но сходу доказать не могу.
x*x-x=0
x(x-1)=0
(x-0)(x-1)=0
x1=0, x2=1
В кольце без делителей нуля ))))
Возьмите кольцо линейных операторов (матриц) на линейном пространстве L размерности 2 и выше. Уравнению x*x = x будут удовлетворять в частности все операторы проекции пространства L на некоторое его подпространство L_1 вдоль какого-либо подпространства L_2.
Если вы всерьёз надеетесь на то, что ваше объяснение — простое и доступное школьнику-старшекласснику, то я вам гарантирую, что из этого ответа такой школьник не поймёт ни единого слова.
В p-адических числах есть другие решения
Да, такие числа есть — это двойные числа, они же гиперболические. Не путать с дуальными, где j2=0
Автор и правда справился лучше школы: учителям требуется от 9 до 11 лет, чтобы привить нелюбовь к математике, он же справился всего за 40к символов.
Кажется, это не то, что я, как школьник\студент\*кто-угодно кроме любителей мат. моделей*, ожидал и/или хотел в качестве объяснения, "почему минус на минус равно плюс"
"достаточно простым" - мама родная))
я будучи мелким школьником легко принял эту парадигму на уровне "двойное отрицание = утверждение".
У нас нет естественного умножения картин, зато есть естественное умножение зарядов. Закон Кулона.
Поместив две картины друг от друга на расстояние, много большее, чем размер картины, посчитаем кулоновскую силу между ними. Положительное направление силы выберем исходя из соображения, что 1*1=1.
Понимаете в чем дело. Умножение целого числа на целое - это не слон, не километр, а непременно целое число, то есть, подобное сложить/умножить на подобное равно подобному. Картинам силы не подобны, картинам подобны только картины. Так какой же картине должно быть равно произведение двух картин?
ну если метр умножают на метр, получается метр квадратный. насколько подобны метр квадратный и обычный -- вопрос принятых условностей.
Чтоб вам так квартиру продавали ))))
Если умножать яйца в прямоугольной коробке, яйца не становятся квадратными, а остаются круглыми
А откуда вы знаете что яйца не становятся квадратными?
Физический смысл умножения метров на метры — вычисление площади поверхности, единицы измерения которой — метры квадратные.
А каков физический смысл умножения количества яиц на количество яиц — пока никому не известно. Вполне может оказаться, что в результате будут квадратные яйца, по крайней мере размерность об этом точно говорит.
Физический смысл умножения количества яиц - это подсчет количества яиц в коробке MxN
Это жульничество, а не физический смысл.
Потому, что это не «подсчёт количества яиц в коробке», а подсчёт количества рядов и ячеек в рядах. Оно для каждой коробки постоянное, вне зависимости от того, содержат ли ячейки яйца или нет, и, таким образом, является численной характеристикой коробки, а не яиц.
А каков физический смысл умножения количества яиц на количество яиц — пока никому не известно
В случае с яйцами в коробке единицы измерения это "количество штук в ряде" и "количество рядов".
"Количество штук/ряд" умножается на "ряд", получается "количество штук".
Ой, правда, что ли?
А посчитайте, пожалуйста, количество яиц в этой коробке умножением штук на ряды.
Hidden text
Здесь есть 4 ряда яиц со значением «4 штуки/ряд», 1 ряд со значением «3 штуки/ряд» и 1 ряд со значением «2 штуки/ряд». Поэтому вычисление с единицами измерения выглядит так.
(4 штуки/ряд) * (4 ряда) + (3 штуки/ряд) * (1 ряд) + (2 штуки/ряд) * (1 ряд)
Ряды сокращаются, получается (16 штук) + (3 штуки) + (2 штуки) = 21 штука.
Коробка тут ни при чем, потому что таким способом можно посчитать количество яиц вообще без коробки, когда они просто лежат рядами на столе.
Посчитайте, пожалуйста, количество яиц в этой коробке умножением штук на ряды.
Интегралы они ещё не проходили!
Божечки и это просто?
Пароход идет со скоростью 20 км/час.
За 3 часа он пройдет 60 км до следующего города.
Где он был 4 часа назад?
А если он плывет против течения 10 км/ч?
Осталось научится складывать и перемножать между собой скорости времена и расстояния в любом сочетании так, чтобы получались только скорости времена и расстояния. Почему? Любые (целые) числа можно складывать и перемножать, причем результатом будет снова (целое) число.
Все так, но мы говорим не про абстрактную математику, а про прикладную, для обучения детей.
А именно про то, как подготовить для них хорошую визуализацию и понятные примеры и аналогии.
Пароход и инструменты типа шкалы чисел - отличные инструменты представления, которые дают простые и наглядные.
Поняв, как это работает и что такое отрицательные числа на таком примере, дети смогут пережить столкновение с вузовской математикой формул. Ну или не смогут, но по крайней мере поймут, почему минус на минус дает плюс - пароход, который сносило течением назад, час назад был впереди.
Выглядит красиво, правдоподобно, но не является правдой. Это всего лишь красивый обман.
Вы говорите я могу иметь разные представления для чисел в одной модели, иногда считая числам время, иногда - скорость, а иногда - смещение в расстоянии. Хорошо, тогда ничего не запрещает мне мерить скорость в направлении справа на лево как "скорость в сторону Москвы", а смещение - наоборот слева на право, как "смещение в сторону Питера". В таком зоопарке произведение положительного времени на положительную скорость будет отрицательным смещением )))). И попробуйте доказать, что моя модель хуже вашей )))).
Как заморочить себе и другим детям голову.
Уж лучше остаться в кольце и доказать теорему, результат которой можно просто зазубрить.
покажем, что (-a)b = -(ab)
ab + (-a)b = (a + -a)b = 0b = 0
(мы тут применили дистрибутивный закон)
откуда -(ab) = (-a)bпокажем, что a(-b) = -(ab)
ab + a(-b) = a(b + -b) = a0 = 0
откуда -(ab) = a(-b)
(это мы обошлись без коммутативности умножения)
покажем, что (-a)(-b) = -(-ab)
(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-ab)вспомним, что унарное отрицание - это элемент, обратный по сложению.
из чего следует, что двойное отрицание даёт исходный элемент
-a + --a = 0 = -a + a
откуда --a = a
Откуда (-a)(-b) = -(-ab) = ab
Вот и посмотрите, сколько писанины у меня, и сколько писанины и рисанины у вас...
Круто, остается как-то доказать, что множество целых с суммой и умножением удовлетворяют аксиомам кольца )))
Наглядности хочется: посмотреть, потрогать, поиграть.
Еще проблема в том, что ваше доказательство правило "минус на минус равно плюс" использует как аксиому. Зачем тогда вообще рассуждения про кольца ))) Из A -> A всегда и везде.
Вы путаете два разных правила. Правило "--a=a" не содержит умножения, а отличии от правила "(-a)(-b)=ab". В рассуждениях выше второе сводится к первому.
Точнее, в пунктах 1-3 второе сводится к первому, а в пункте 4, вообще-то, первое правило тоже доказывается.
Во-первых, я это доказал.
Для --a это следствие в группе по сложению.
Для (-a)(-b) это следствие в кольце даже без коммутативности.
Если ввести его как аксиому, то базис будет избыточным, и можно какую-нибудь другую аксиому кольца выкинуть либо упростить.
Во-вторых, отрицание относится к сложению, а не к умножению. Поэтому просто группой по умножению тут не отделаешься.
Мы можем говорить про алгебраическую структуру "моноид по умножению над кортежом (неотрицательные числа, знак)". Нейтралью является (1,+).
Причём по первой, числовой, компоненте коммутативность - дело произвольное, а по второй, знаку, обязательное, и вообще, по второй компоненте у нас группа.
Ну и ещё (0,+) == (0,-).
Это как, доказали?
Если вы хотите доказать, что целые - это кольцо, то должны явно задать умножение, то есть принять правило знаков за аксиому.
Если вы хотите доказать правило знаков из аксиом кольца, то я вас снова спрошу, почему вы решили, что целые образуют кольцо.
Круговая порука получается.
А нам не нужно кольцо. Нам достаточно некоммутативное полукольцо.
В полукольце нам пофиг, чему равно xy. Лишь бы 1x = x1 = x. Что у нас не полугруппа, а моноид.
Приняли это за аксиому, и поехали.
Ещё нам нужна дистрибутивность. Для положительных чисел она естественна - из модели реального мира.
Для отрицательных... мы принимаем на веру, что они ведут себя так же.
Для детей прокатит. Для взрослых - скажем, что это аксиома, и тоже прокатит.
И вот в некоммутативном полукольце я доказал, что (-x)(-y) = xy.
Вместо "научить думать" получается только "залечить".
Какой-то бессмысленный комментарий.
Кого и чему вы хотите "научить думать", и что значит "залечить"?
Если детей научить думать по-математически, - то введение в абстрактную алгебру (если не упарываться там про всякие навороты с идеалами, фактор-группами и прочим) - отличный способ.
Если дети хотят изучить свойства чисел, то берём коробку со спичками и изучаем.
Обнаружить ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность, - и по индукции поверить, что это универсальные свойства, а не только в пределах количества спичек в коробке, - это задача для первого класса.
Отрицательные числа вообще отлично иллюстрируются геометрическими моделями.
Не упоротыми рисунками с закорючками, а предметной областью геометрии: линиями и площадями.
Векторная алгебра же вообще из геометрии родилась.
А если вы хотите доказать (или чтоб я доказал), что в арифметке естественным образом возникает кольцо, - ну блин...
Это вы предлагаете опуститься до базиса логики Аристотеля (⇒,¬) и арифметики Пеано (0,S) и вывести оттуда всё остальное? Или что?
А у детей голова не опухнет от такого подхода?
А зачем? Это по определению :)
Точнее просто определены аксиомы и все ;)
Можно предложить и графическую интерпретацию. Умножение как площадь прямоугольника.
(Мы тут попадаем на размерности, и результат умножения уже оказывается другого типа, нежели множители, т.е. нельзя просто так написать a + bc, хотя можно a1 + b*c).
y
^
\\\|////
\\\|////
\\\|////
-----0------> x
///|\\\\
///|\\\\
|
на картинке в первом квадранте штриховкой / показано (+4)(+3), во втором \ (-3)(+3), в четвёртом \ (-4)(+2), ну а в третьем - то, что нас волнует, / (-3)(-2).
Можем графически показать, как происходит сложение площадей, как вычитание, как отзеркаливание, почему / и \ соответствуют площадям разного знака.
(Лень тут псевдографикой всё иллюстрировать, извините).
Ну а раз в третьем квадранте штриховка та же, что и в первом, - то значит, площадь произведения двух отрицательных линейных величин - положительная. Ура.
А дальше - вопрос педагогики.
Кому-то из детей лучше зайдёт текст, логика и теорема из теории колец (тсс! это третий класс, а не второй курс), а кому-то - геометрическая картинка (тсс, тут размерные величины! все эти квадратные землекопы...)
То есть все-таки проблемы с "прямоугольниками" есть. Ваша позиция имеет право на существование, но я за дискуссию и эксперимент.
Проблемы с прямоугольниками - это проблемы размерностей.
Если числа у нас моделируют штуки предметов, то сложение "естественно" в мире штук, а вот умножение - нет.
Умножить штуки на скаляр можно, - это такой метаязык в группе, "повторить сложение N раз".
Умножить штуки на штуки... Что получится, если два яблока умножить на два яблока? Четыре ЧЕГО?
Залезаем в геометрию, там появляются линии и площади.
Для целых чисел - ладно, это могут быть "штуки точек в квадратной сетке", хоть по линии, хоть по плоскости, хоть в объёме.
Тоже небезупречно, "ноль - это точка?" и старая-добрая программистская проблема ±1 в индексах.
Для детей графический язык, в принципе, доступен. Выложить линию спичками, а площадь - квадратиками.
Спичка хороша тем, что у ней есть головка и хвост, можно говорить о направлении (о знаке).
Тогда спички ==o + o== взаимно уничтожаются, например!
Ну и плитки тогда со штриховкой по одной и другой диагонали. И они тоже подчиняются правилам перевёртывания и уничтожения.
Для меня как-то более интуитивен подход из проективной геометрии и теории групп.
Если совсем школьным языком:
рассмотрим классическую числовую прямую (справа от нуля - положительные числа, слева - отрицательные)
сопоставим произвольному числу N стрелочку-вектор из начала координат
тогда умножение на +1 - это такое преобразование этого вектора, которое переводит его в самого себя, то есть сохраняет исходную картинку
но вот умножение на -1 - это такое преобразование, которое зеркально и симметрично относительно начала координат (нуля) отражает этот вектор
в случае с отрицательным вектором-числом (стрелочка смотрит влево) при отражении относительно нуля мы получим положительный вектор-число (стрелочка перевернётся на 180 градусов, как в часах, и будет смотреть вправо)
[то есть -x mul -1 => +x]
в случаях умножения на числа отличные от +1 и -1 добавляется растяжение или сжатие исходного вектора-стрелочки, но именно знак показывает, нужно ли вектор отражать
Чуть более строгим языком:
с точки зрения проективной геометрии можно выделить такие типы преобразований прямой на плоскости: сдвиг (вправо-сложение, влево-вычитание), масштабировние (растяжение-умножение, сжатие-деление), отражение относительно произвольной точки
преобразование отражения обладает таким замечательным свойством, что применённое дважды относительно той же точки оно отменяет себя и возвращает исходную картинку
На мой взгляд, в статье, собственно, сделана попытка продемонстрировать это свойство характерное для преобразования отражения...
Больше примеров и подробностей можно найти и узнать по следующей ссылке:
Геометрия и группы. Курс лекций. Алексей Савватеев
Савватеев же неоднократно признавался что категорически не знает геометрию))
Подождите, так что у вас числа: векторы или преобразования? Да, и как в вашей модели становятся (почти) очевидными законы арифметики?
Для школьного объяснения каждому значению на числовой прямой сопоставляется вектор (стрелочка) из начала координат, при этом естественным образом получается, что знак числа соответсвует направлению этой стрелочки.
Для более продвинутого объяснения каждое число задаёт характеристики геометрического преобразования точек прямой на плоскости. Например, сложение с +1 или -1 соответствует преобразованию сдвига, которое перемещает каждую точку на место соседней с целочисленным значением вправо или влево соответственно. При умножении на +1 или -1 каждая точка прямой переходит в саму себя либо в зеркально-сопряжённую относительно начала координат.
Для меня в геометрической интерпретации законы арифметики визуально наглядные и как-то интуитивно ясно, почему умножение/деление минус на минус даёт плюс.
При этом визуально легко представить почему сложение двух отрицательных чисел всегда даёт отрицательное (ведь минусы могли бы тоже "сгорать" в плюс, как при умножении), но что ещё интереснее, почему сложение/вычитание отрицательного и положительного иногда может давать как положительное, так и отрицательное (в зависимости от меры числа/длины вектора)!
Школьными словами, когда две стрелочки сталкиваются, то более длинная стрелочка побеждает более короткую, но при этом сама становится короче (как в тетрисе сгорает её часть), когда же стрелочки сонаправлены, то они сливаются в одну ещё более длинную, при этом сохраняя направление.
Хорошо, со сложением все в порядке. А как стрелочки перемножать?
Умножение на +1 - "копирует" стрелочку без изменений, на -1 - переворачивает стрелочку (как бы на 180 градусов), сохраняя её длину. Другие числа при умножении масштабируют длину стрелочки, например, натуральные [модуль] растягивают её в N раз (как если бы мы взяли N одинаковых стрелочек и циклично склеили их вместе, получив одну длинную), а добавление знака указывает, в каком направлении смотрят эти N стрелочек и итоговая.
* Дальше материал для исследований со звёздочкой
Интересно, что в такой системе можно определить полярный ноль, умножение на +0 сжимает в точку, сохраняя направление, умножение на -0 тоже сжимает в точку, но отражая направление.
+|x| mul +|0| = +|0|
-|x| mul +|0| = -|0|
+|x| mul -|0| = -|0|
-|x| mul -|0| = +|0|
вот со сложением поинтереснее, не совсем ясно, какой вариант предпочтительней
+|x| add -|x| = +|0|
-|x| add +|x| = -|0|
или
+|x| add -|x| = -|0|
-|x| add +|x| = +|0|
может, знак/направление "теряется"
+|x| add -|x| = |0|
а, может, стрелочка вовсе получается хоть и точечная, но двунаправленная, что указывает на наличие чисел с неопределённым знаком
+|x| add -|x| = ~|0|
то есть можно придумать такую систему:
отрезок |x| - беззнаковое число
стрелочка вправо +|x| - положительное
стрелочка влево -|x| - отрицательное
двунаправленная ~|x| - неопределённо-знаковое число
Дальше можно поразвлекаться в изобретении арифметики для таких чисел
(~;
Вспомнил ещё, что если мы берёмся различать знак/направление у нуля, то с точки зрения программирования при сложении имеет смысл определять знак следующим образом
+|x| add -|x| = +|0|
-|x| add +|x| = -|0|
Это связано с обходом массивов в циклах, например, мы можем определить выбор элементов по смещению следующим образом:
ms[+0] возвращает начальный элемент
ms[+1] возвращает второй элемент
...
ms[-1] возвращает предпоследний элемент
ms[-0] возвращает последний элемент
Так вот, если мы берёмся обходить массив в сторону нуля при таких условиях
for (offset = +ms.Length; offset >= +0; offset--)
for (offset = -ms.Length; offset <= -0; offset++)
то чтобы не происходило скачков на завершающих элементах, сложение должно работать, как предложено чуть выше.
Кстати, в компьютерах вещёственный ноль имеет знак и его можно различать! Но сложение и вычитание определено иначе, всегда в сторону положительного нуля:
+|x| add -|x| = +|0|
-|x| add +|x| = +|0|
+|x| sub -|x| = +|0|
-|x| sub +|x| = +|0|
Так что вопрос имеет место быть!
Вот что пишут гпт чаты. Perplexity:
...Однако, мы знаем, что произведение любых двух чисел можно записать в виде произведения их модулей, умноженных на знаки этих чисел. При умножении двух отрицательных чисел, мы получаем произведение их модулей, умноженных на знаки, которые в данном случае отрицательны. Поэтому, результат умножения двух отрицательных чисел будет положительным числом.
Математически понятно, перемножаем два модуля, затем умножаем на первую -1, затем на вторую.
Phind:
Мы знаем, что 1 + (-1) = 0.
Если мы умножим обе стороны уравнения на -1, мы получим -1 * 1 + -1 * -1 = 0.
Это упрощается до -1 + -1 * -1 = 0.
Если мы прибавим 1 к обеим сторонам уравнения, мы получим 1 + -1 + -1 * -1 = 0 + 1.
Это упрощается до 0 + -1 * -1 = 1.
И, наконец, это упрощается до -1 * -1 = 1.
Phind, визуально:
Один из подходов к объяснению этого правила связан с понятием "направления". Представьте, что вы идете по числовой линии. Если вы двигаетесь вперед (в положительном направлении), то каждый шаг вперед увеличивает ваше положение на 1. Если вы повернете и начнете двигаться назад (в отрицательном направлении), каждый шаг вперед на самом деле уменьшит ваше положение на 1. Теперь представьте, что вы поворачиваете еще раз. Каждый "шаг вперед" теперь фактически увеличивает ваше положение на 1, поэтому движение в "отрицательном направлении" (умножение на отрицательное число) дважды действительно превращает все обратно в положительное
Почему при умножении «минус на минус» дает «плюс»?
Ужос, статья на кучку страниц, когда это отлично объясняется для младшего школьного возраста.
Есть у нас числовая ось:
Посылка 1. Допустим, мы начинаем в точке 0. 0 + 2 = 2 — мы из точки 0 оказались в точке 2. 2 + 1 = 3 — мы из точки 2 оказались в точке 3. Следовательно, сложение — это движение по оси ВПРАВО на столько делений, какое число прибавляем.
Посылка 2. Теперь рассмотрим вычитание. Мы находимся в точке 3, вычли 2, оказались в точке 1. Следовательно, вычитание — это движение по оси ВЛЕВО на столько делений, какое число вычитаем.
Посылка 3. Теперь вспомним, что вычитание — это то же самое, что и сложение с отрицательным числом, то есть (2 - 1) = 2 + (-1). Таким образом, если сложение с положительным числом было движением по оси ВПРАВО, то сложение с отрицательным числом будет движением по оси ВЛЕВО, то есть знак слагаемого меняет направление движения.
Посылка 4. Умножение есть многократно повторённое сложение, то есть 3 * 2 = 2 + 2 + 2
Посылка 5. Умножение коммутативно, то есть 3 * 2 = 2 * 3 .
Теперь собираем всё в кучу: согласно посылке 5, 3 * (-2) должно быть равно (-2) * 3, то есть, согласно посылке 4, 3 раза шагнув на 2 деления ВЛЕВО (посылка 3), мы должны оказаться там же, где мы оказались, (-2) раза шагнув на три деления ВПРАВО (посылка 5), то есть если перед количеством раз стоит минус, то это значит, что такое количество раз надо шагать в направлении, противоположном от того, куда мы бы шагали без этого минуса. Соответственно, в случае (-2) * (-3) мы будем шагать на 3 шага ВЛЕВО 2 раза, но в противоположном направлении, то есть ВПРАВО. Таким образом, (-2) * (-3) = 2 * 3 и минус на минус даёт плюс, ч.т.д.
Не совсем. Не понятно что у вас является числами? Значки на прямой и или количество штук слагаемых (разов, которые шагнули). Как одно складывать с другим? Почему верны законы арифметики?
То же самое можно сказать про модели электронов/позитронов или тех картин. Почему энергия, получившаяйся при анигиляции это ноль? Из энергии может получится все что угодно.
Математически модели доказываются средствами только математики или принимаются за аксиомы. Переход от мат.модели в реальный мир и обратно не работает.
Не понятно что у вас является числами? Значки на прямой и или количество штук слагаемых (разов, которые шагнули). Как одно складывать с другим? Почему верны законы арифметики?
Так статья же не про это)
Э, момент. "Многократно повторённое" - это умножение на скаляр, причём на целый и неотрицательный. Чтобы перейти к нецелому и неположительному, надо сделать кое-что нетривиальное.
Мы размерную величину (штуки яблок, метры вправо) умеем складывать и вычитать.
Вводим умножение нацело, окей.
А вот потом делаем трюк! Коммутативность умножения, кстати, следует из ассоциативности и коммутативности сложения.
Замечаем, что "+N яблок" * "повторить M раз" = "+M яблок" * "повторить N раз"
И раз такое дело, то = "MN яблок" * "1 раз" = "1 яблоко" * "MN раз" = "MN" * "яблок,раз"
и вот только здесь мы показали независимость безразмерных величин и обозначений размерности
Только после чего говорим: "да пофиг нам на яблоки, векторы и разы - давайте уже работать с числами".
В начальной школе, кстати, - не знаю, как сейчас, а раньше заставляли во всех расчётах указывать размерность.
"Вася дал Пете 3 [яблок], а Петя вернул Васе 2 [яблок]: +3-2=1 [яблок] осталось у Пети".
Полтора яблока - представимый объект, полтора раза - нет.
(Попробуйте выполнить дифференцирование полтора раза. А почему полтора сложения удалось сходу?)
Но мы увидели, что коммутативность позволяет выпихать нецелые и неположительные числа в тот операнд, который может таким быть.
Примечание. Нецелое дифференцирование сущестует, см. "диффинтеграл"
https://ru.wikipedia.org/wiki/Дробное_интегро-дифференцирование
https://www.youtube.com/watch?v=2dwQUUDt5Is
Чтобы перейти к нецелому и неположительному, надо сделать кое-что нетривиальное
Чтобы перейти к нецелому надо рассмотреть умножение сторон прямоугольника. Чтобы рассмотреть умножение на одно отрицательное — кратное увеличение долга. А вот для умножения двух отрицательных — пока только сложные ответы.
Умножение сторон прямоугольника даёт площадь прямоугольника - объект другого вида, нежели прямая. Как потом прямоугольник отображать на числовую ось?
Это тоже сложные ответы.
А площади со знаком - https://habr.com/ru/articles/754090/comments/#comment_25862408
Умножение сторон прямоугольника даёт площадь прямоугольника — объект другого вида, нежели прямая
Так и должно быть.
Как потом прямоугольник отображать на числовую ось?
А зачем?
Это тоже сложные ответы.
Да вроде нет.
Умножение натурального на натуральное — количество яиц в лотке.
Умножение натурального на положительное дробное — суммирование длин отрезков.
Умножение положительного дробного на положительное дробное — площадь прямоугольника.
Умножение натурального на отрицательное целое/дробное — долг нескольким людям (несколько шагов влево по координатной прямой).
А вот теперь сложные вопросы!
Умножение положительного дробного на целое/дробное отрицательное — ?
Умножение двух отрицательных — ?
Простых ответов, к сожалению, нет.
А площади со знаком https://habr.com/ru/articles/754090/comments/#comment_25862408
Ну тут такая себе "простота"… Мне проще сказать "да пофиг нам на яблоки, векторы и разы — давайте уже работать с числами".
Как потом прямоугольник отображать на числовую ось?
Декарт писал, что каждому отрезку можно взаимно-однозначно сопоставить прямоугольник такой же длины и единичной ширины.
А каждому произвольному прямоугольнику (уже не взаимно-однозначно) - равновеликий прямоугольник единичной ширины.
У меня нет ответа, но интересно получается, что при перемножении комплексных чисел или матриц, в классической трактовке не получается никаких комплесных или матричных площадей, хотя внутренняя размерность как бы и должна возрастать, ведь умножаются вещественные амплитуды. Например, из моих учебных источников, перемножение двух комплесных чисел - всего лишь преобразование поворота и масштабирования.
Возможно, наши математические представления не полные...
Безразмерные величины тем и хороши, что их произведение по-прежнему безразмерное.
Умножить на N раз, на ещё M раз - даст эх на MN-ого раз.
Операторы масштаба-и-поворота - это такое обобщение "раз" в векторном пространстве. Естественно, что они живут в своей собственной группе по умножению, а в группе размерность не может возрастать, произведение элементов - элемент того же множества.
Но если комплексное число представляет какую-нибудь размерную величину, то умножать такие величины можно с умножением размерностей.
Самое простое: комплексные ток, напряжение, сопротивление и мощность. Умножайте сколько угодно. Хотя можете помыслить об этих величинах как о размерной амплитуде и безразмерной нормированной комплексной фазе.
они живут в своей собственной группе по умножению, а в группе размерность не может возрастать, произведение элементов — элемент того же множества
А вы можете пояснить "на пальцах" почему умножение элементов множества дает элемент в этом же множестве, а деление нет? Хотя сложение и вычитание тоже оставляют то-же множество. Чем деление "провинилось"?
На натуральных числах вычитание определено не для всех пар чисел. То есть, оно тоже "провинилось". Вообще вычитание и деление определяются как операции обратные к сложению и умножению. Они могут быть определены не везде. То есть, это вопрос того как устроено определение "обратной" операции.
В группе, если мы называем операцию умножением, то и умножение, и обратное к нему деление, даёт элемент в том же множестве. Просто потому, что это группа.
Рациональные / алгебраические / вещественные / комплексные "разы", если выколоть 0, образуют группу.
Целые "разы", естественно, образуют лишь полугруппу, деление там определено частично.
Всем спасибо! Разобрался!
при перемножении комплексных чисел или матриц, в классической трактовке не получается никаких комплексных или матричных площадей
При умножении физических величин площади и другие квадратные единицы получаются не из-за умножения чисел, а из-за умножения единиц измерения. "Метр" умножить на "метр" дает "метр в квадрате".
Но на самом деле даже не совсем так. Площадь прямоугольника "3x4" сантиметра можно рассматривать как умножение линейных единиц измерения, а можно как подсчет количества квадратных. С одной стороны 4 квадратных сантиметра в ряд, с другой 3 ряда. То есть расчет сразу идет с квадратными единицами. Численный результат одинаковый, поэтому расчеты взаимозаменяемые, но если возникает вопрос "как оно так получается", то надо учитывать, что они разные.
Полтора яблока - представимый объект, полтора раза - нет.
Чего тут непредставимого? Это когда начал брать из ящика 100 яблок, а ровно на середине мама позвала — успел взять только половину. Ну или начал есть яблоко — опять на середине прервали, половину съел, половина осталась. Так что полтора раза — это один раз (это все умеют) и ещё пол-раза (см. выше).
(Напомниаю — мы тут объяснение для младших школьников пишем. Безо всяких интригалов.)
Мне кажется, зря не пользуетесь развитием аналогии с корзинами яблок. Вот у меня было три убыточных компании, по пять миллионов долгов у каждой. Я подарил их другу, вместе с долгами. Итого — у меня +15 миллионов.
Я подарил их другу, вместе с долгами.
Так что у вас является числами и откуда и почему для их умножения и сложения верны законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности?
На примере с корзинами и яблоками никого же не смущает, что корзина это не то же самое, что и яблоко. Или вы о чём?
Я же складываю и вычитаю содержимое корзин (кучки яблок), получаю вновь содержимое корзин (кучки яблок). Яблоки с корзинами я не складываю.
Так же и в примере с компаниями, это всего лишь "кучки" миллионов.
Да, но вы ведь складываете миллионы средств, а умножаете штуки (число одинаковых подаренных или купленных компаний). Как умножить компанию с долгом в 100 рублей на компанию с балансом +200?
Как умножить компанию с долгом в 100 рублей на компанию с балансом +200?
Определяете операцию умножение для компаний и умножаете ;) Умножение векторов, когда результатом может быть скаляр или вектор, нас же не удивляет? ;)
Минус сто умножить на двести получится минус двадцать тысяч. Можно придумать такие размышления, в результате которых получится эта искомая сумма. Скажем, диалог двух предпринимателей:
— У меня есть компания с балансом в двести рублей, а вот будь бы у меня двести компаний с балансом в рубль у каждой, то мои общие средства были бы такие-же, как и сейчас (преобразовываем единицы)
— А у меня компания со ста рублями долга. А вот если бы у тебя было двести компаний, но у каждой был бы не баланс в один рубль, а долг в сто рублей, как у одной моей, то было бы у тебя двадцать тысяч рублей долгов.
Если я правильно понял, то в пункте 2.3 первом абзаце заряд определяется через целые числа и их арифметику. Поэтому дальше можно не читать.
И где я там использовал законы умножения отрицательных? Если хотите, можете определить заряд без упоминания о целых как доминирующий цвет и число, на которое кружков доминирующего цвета больше, чем кружков доминируемого. В этом определении использованы только натуральные, придется читать дальше )))
А чем законы умножения отрицательных отличаются от положительных? Если уж на то пошло, то ваша запись a * (-b) не имеет чисто математического смысла. Я понимаю, что вы таким образом пытаетесь показать что b у нас отрицательное. Но чисто с точки зрения математики b может быть равно -8, например. Соответственно, -b будет просто 8. Или тогда уже явно указывайте что a и b у вас положительные.
Как я понимаю мы стартуем с алгебры в которой есть натуральные числа в виде, например, Пеано. Со сложением и умножением, задаваемыми соответствующим образом. И по этому поводу наблюдается консенсус.
Получаем полугруппу по сложению и моноид по умножению. Плюс дистрибутивность.
Потом в полугруппу добавляем ноль как нейтральный элемент. Получаем два моноида плюс дистрибутив гость но что делать с умножением на ноль пока непонятно. Дальнейшим естественным желанием является из моноида по сложению сделать группу. Тут тоже все понятно и не вызывает противоречий.
Остался последний шаг. Либо мы строим кольцо и тогда вопрос не стоит обсуждения, потому что там это так. Либо до определяем умножение произвольным образом и получаем какую-то фигню, которая никому не нужна.
С умножением натуральных и нуля на целые - понятно. Но можно ли расширить до умножения на все целые, которое будет удовлетворять требованиям (коммутативного) кольца? У меня есть подозрение, что иногда такое не работает. Например, если определить кватернионы как гиперкомплексные числа, то для них будет естественно умножение на комплексные (как подмножества кватернионов), вы можете считать это умножение коммутативным (когда перемножаются два чистых комплексных), но вот распространить это умножение до коммутативного на все множество кватернионов уже не выйдет. Выходит не все свойства всегда можно "продлить".
Неистово соглашаюсь с логикой этого комментатора) Не осилил) Для меня - "не" "достаточно просто", т.е. (достаточно просто) со знаком минус.
По законам логики, "и, но" - это умножить. "- это, значит", т.е. определение - следствие.
(просто) но (не понял) значит - (нет). И (да) - это (не просто) и (не понял). Ведь если (да) - это (просто) и (понял). 1*0=0. 1=0*0. 1=1*1. Это просто понять? Т.е. 1 - это (да), а ноль - это (нет), да со знаком минус. А "ноль как пустота и математический ноль" - это знак "равно". (1*=)=(=)(один умножить на равно будет равно). (Это) и (не просто) - это (неизвестно).
Итого, базовая логика через 4 символа "1", "0", "=", "*".
Осталось только выразить сложение через логику, логически изобрести математику. А вот этому уже в школе не учат. Подсказка: если не получится - вы либо не понимаете логику, либо - сложение. А вот насколько "либо", если результат либо ноль либо единица?)
я тоже с автором заметки не согласен про "простоту" :)
мой вариант:
1) умножение на 1 = это взятие самого предмета (а * 1 = а)
2) умножение на -1 = это инверсия знака у предмета (а * -1 = -а)
отсюда
3) -1 * -1 = 1
из чего яблоками и суммами уже можно и младшеклассникам на доске показать что
4) а * (-б) = а*(-1)*б = -а * б = -(а*б) чисто графически по определению умножения, как сумма (-б) а раз или как сумма (-а) б раз
5) (-а)*(-б) = (-1)*а*(-1)*б = (пропущу в тексте, но в виде яблок это просто суммы (-(-а)) б раз и (-(-б)) а раз ) = а*б
Любые операции, включая самое банальное сложение натуральных чисел — есть абстракция придуманная человеком. Впрочем и сами числа — тоже уже абстракция, оторванная от конкретных предметов. Понять, что три козы и три барана — это одно и то же "три" — большое интеллектуальное достижение.
Умножение отрицательных — тем более абстракция. Причëм здесь "если существует"? Существует! Всё. Лучшее доказательство — слова Путина: "Потому что потому!". Мы придумали, и эта операция не противоречива. Этого вполне достаточно.
А ваш контраргумент с x^2 = -1 не валиден, ибо противоречив на поле целых чисел.
Модельный подход плох, т.к. ограничен. А что делать с комплексными числами, а что с кватернионами и октонеонами. И т.д.
Очень сложно :)
Формальное "подтверждение" выглядит проще.
Пример с икс в квадрате не очень валиден, так как, по сути это вопрос поиска корней уравнения, что несколько не то. Да и ведет к совершенно иной проблеме, и именно к тому, что только в пространстве комплексных чисел есть все корни. И это не проблема, а просто очевидное самограничение, которое вызвано тем, что научить решать уравнения можно раньше, чем вбить в голову комплексные числа
Если хочется упростить понимание, достаточно тогда свести поле чисел до -1, 0, 1. А потом просто предствлять отрицательное число как произведение положительного числа и минус 1. А для пространства 1, 0, -1 мы уже все доказали :)
У банка есть Н счетов с отрицательным остатком -1000 рублей (-), из них закрылись 5 (-). На какую сумму изменился общий остаток на всех счетах? На положительные 5000 рублей.
Как сложить число закрывшихся счетов с содержимым счета? Почему для арифметики целых верны основные законы арифметики натуральных?
Всё есть вопрос правильных интерпретаций и создания сутьсодержащих условностей. Без этого никак, особенно в обсуждении абстрактности.
Ну или с Вашим примером - взял 5 ведер яблок в долг, но займодатель не доложил в каждое по 3 яблока. Насколько сокращается долг (или увеличивается баланс в пользу заемщика)? На 15 яблок в плюс заемщика. Что равноценно тому, что заемщик отдал 5 ведер по 3 яблока - 5*3.
Большое спасибо! Любопытно, как будет выглядеть извлечение корня из картин (ну и из -1 в терминах картин)
Сначала я подумал, что предмет статьи полная ерунда но потом понял, что здесь всё-таки есть определённая задача. И она не в том чтобы объяснить ребёнку что двойной разворот равен отсутствию разворота. Она ещё в том чтобы объяснить куда при возведении в квадрат теряется знак. Ведь интуиция протестует именно против этого - против потери.
"(-a) * (-b) = a * b" — выражения разные, а значение одно. Что-то теряется.
Объяснения обязательно должно затрагивать эту потерю, подготавливая к восприятию комплексных чисел а затем и в общем достаточно неожиданной характеристики математики — в которой вместо "потерь" существует "разделение", которое при желании можно вернуть, и для любой операции можно вести обратную. Вместо пары "потеря"/"возвращение чего-то произвольного" будет правильно понимаемая пара "разделение"/"слияние". Всё в соответствии с интуицией.
Если нет описания правильного обращения с потерями - то вся эта болтовня бессмысленна.
В целом, объяснения простых абстракций через сложные - действительно полная ерунда, так можно дурить только детей. "за маму, за папу". И ещё некоторые люди себя так дурят. Я не стал оценивать статью отрицательно, так как считаю что даже такая ерунда может навести на полезные мысли. Да и стиль всё же выдержан. Но готов отправить автору отрицательную сумму денег. Надеюсь, автор готов не только отправлять отрицательные суммы, но и принимать. Шутка. Принимать никто не обязан. Вдруг это на самом деле потеря.
3*2=6
У вас есть 2 кучки по 3 яблока. итого у вас есть 6 яблок.
-3*2=-6
У вас есть 2 долга по 3 яблока, итого вы должны 6 яблок
3*-2=-6 вы должны 2 кучки по 3 яблока. Итого вы должны 6 яблок
-3*-2=6
вы должны 2 кучки по минус 3 яблока. Чтобы получить кучки по -3 яблока вы берёте из них по 3 яблока и отдаёте долги. Итого у вас 6 яблок.
А вообще мне нравится думать о умножении на -1 как о повороте вектора на числовой плоскости на 180 градусов. По аналогии легко понять умножения на мнимые (а делее и комплексные) числа.
А вообще мне нравится думать о умножении на -1 как о повороте вектора на числовой плоскости на 180 градусов.
как я вас понимаю - я тоже из вращателей!
по теме = это скорее всего недостаток языка, где нет хорошего двойного отрицания для чисел\существительных.
а вот для глаголов норм: "не смог не купить" т.е. это значит "купил" :)
"Но Валентина Григорьевна сказала, что минус на минус — плюс
Элементарная математика"
"Попробуйте переизобрести натуральные числа".
Очень трудно!
-Смотри, у тебя есть кучка яблок .
-А каких? Больших или маленьких?
-Неважно! Просто кучка.
-Как это неважно? Сам бери маленькие, я хочу большие.
-Хорошо, у тебя есть кучка больших яблок.
-А какие? Сорт какой?
-Любой! Антоновка пусть.
-Я не люблю антоновку. Я их у тебя не возьму и у меня не будет никаких яблок.
----
Если кто скажет, что есть единицы измерения которые по определению призваны быть одинаковыми - ну там - его величество францзский метр, а нам надо измерять расстояния, то... фрактал береговой линии передает привет.
----
В общем не нужны эти ваши... числа. )))
----
И жизнь вносит коррективы. Я как-то думал, что сошел с ума когда у меня на чертеже... не сходилась теорема Пифагора (в студенческое время). Оказалось я использовал разные линейки и... какая-то была неправильная и отличалась на пару мм.
----
Интересно, можно ли по годам отследить как внедрение средств измерений (и наверняка принуждение) повлияло на технический прогресс. Наверняка процесс был не очень плавный.
Не кажется ли вам, что лучший способ убедится в существовании чего-либо — увидеть это воочию (ну, или почти)
Да! Да! Да! Так всё хорошо начиналось. Я уж думал, сейчас действительно будет наглядный пример. А тут бумс - позитроны и футуристические картины с плавующими кружочками...
Отрицательное число – суть долг. Долг – это память о будущем возврате. (Либо он будет возвращен, но пока мы просто держим в уме его значение с минусом; либо не будет – ну так он всегда останется с минусом, что ж поделать.). Если вы дали в долг 3 людям по 10 рублей, то вот ваш баланс: –30 рублей. Заметьте: у вас появилось +3 должника с –10 руб. долга у каждого. Вот и понадобилось нам умножение положительного и отрицательного чисел. А теперь некто забрал у вас этих людей, да так, что вы и не возражали, т.к. все было красиво. Забрал: –3 (чел.) с долгом: –10 руб.). у каждого. Вот чо вы получили в результате сделки:
–3 × (–10) = +30 (руб.). Мм?
PS: по сути, комплексное число – это тоже долг такого порядка, что "вернете" вы его, когда случится какое-то событие (с электромагнитной волной, например).
Ну как текст для дополнительного чтения неплохо. Но естественно в базе объяснять "простые" вещи огромными текстами нельзя, тогда ученик ничего не пройдёт.
Достаточно школьного - что умножения числа на -1 это один раз вычесть число из нуля.
Умножение на -2 это два раза вычесть число из нуля.
И всё. А что тут есть небольшая нестрогость и натянутость - это в университете, кто надо поймёт и почитает материал.
В первый раз встречаю такую интерпретацию умножения на отрицательное число - отнимать из нуля - и мне она чертовски нравится. И вправду, вроде бы походит на самое простое объяснение, почему минус на минус дает плюс.
Как к "двум раз вычесть" прибавить само вычитаемое число? Почему ((-3) * 5) = 5 * (-3), почему ((-3) * 5) * (-2) = (-3) * (5 * (-2))?
Наверно я вас удивлю, но если вы попытаетесь развить вашу модель до более стройной, в которой мои вопросы получают ответ, то получите почти один в один мою операторную модель кольца целых только операторы будут не над картинами, а над абстрактными целыми числами. Ваше "вычесть из числа" - это инверсия, которая аналогична моей инверсии цвета.
Ваше "вычесть из числа" - это инверсия, которая аналогична моей инверсии цвета.
Только Ваша модель - перегружена лишними сущностями, типа художников.
Модель же @nmrulin- минималистична.
«Почему ((-3) * 5) = 5 * (-3)»
Перед тем как доказывать всякие ассоциативности и подобное, просто нужно доказать, что минус спокойно можно выводить за скобки:
(-a)*b = -(a*b)
a*(-b)=-(a*b)
После этого все сводится к соответствующим аксиомам для положительных чисел
Проблема "наглядных" объяснений состоит в следующем: чем дальше мы уходим от яблок, тем хуже это ложится на эмпирический опыт и в какой-то момент "на пальцах" уже объяснить это нельзя. Цивилизация через это прошла - ноль, отрицательные, дробные, иррациональные, трансцендентные числа вызывали абсолютное непонимание. И тут самое время задать вопрос - а кому мы все это объясняем?
Если перед нами условный болван (ака "как мне эти ваши квадратные уравнения в жизни пригодятся") - то ему просто нужно сказать что это вот так работает и не задаваться целью что-то объяснять. Он и в жизни скорее всего никогда отрицательное на отрицательное число умножать не будет. А ваше объяснение его 100% запутает и сделает еще хуже.
Если перед нами нормальный человек, то нужно сразу вводить формализм и тогда не будет вопросов про ту же ассоциативность (это не потому что мы там как-то яблоки тасуем, а по определению), показывать что обывательский концепт натурального числа отлично ложится в какой-то формализм, а системы могут быть и другие, иногда похожие (целые / рациональные / действительные числа), а иногда и совсем непохожие (группы поворотов плоскости).
Проблема "наглядных" объяснений состоит в следующем: чем дальше мы уходим от яблок, тем хуже это ложится на эмпирический опыт и в какой-то момент "на пальцах" уже объяснить это нельзя
То, что хуже ложится, не значит, что не ложится совсем. И не факт, что мы должны отказываться от "естественных" объяснений. Особенно этим грешат современные физики: "это математическая абстракция, что там происходит на самом деле — понять невозможно". Ведь мир, хоть и описывается математикой, тем не менее на 100% естественен. Да и наш эмпирический опыт включает не только 5 непосредственных чувств, но и показания приборов.
Проблема аналогий в том, что они никогда на 100% не соответствуют объясняемому явлению и несут в себе дополнительные смыслы. Взять те же яблоки: можно ими пытаться объяснять натуральные числа, но когда мы дойдем до понятия бесконечности, то выяснится, что человек напрочь отказывается принимать факт того, что бесконечное множество ведет себя совершенно не так, как "очень большое" (пример, встреченный мной). Поэтому формализм и хорош - там ничего себе дополнительно придумать нельзя.
P.S. Я не говорю, что примеры не нужны, например тот же циферблат отлично иллюстрирует кольцо вычетов, но абсолютно разрушительно для понимания будет сводить все кольца к этому самому циферблату
Проблема аналогий в том, что они никогда на 100% не соответствуют объясняемому явлению и несут в себе дополнительные смыслы
Так может 100% аналогии и не нужны? Или нужны совсем чуть-чуть. Если мы изучаем электрон, то мы должны понять, что это такое (в конце концов, что нам это запрещает сделать?). А не просто описывать его математически.
Взять те же яблоки: можно ими пытаться объяснять натуральные числа
Вопрос стоит наоборот — как понять реальный мир (с помощью той-же математики, например).
когда мы дойдем до понятия бесконечности, то выяснится, что человек напрочь отказывается принимать факт того, что бесконечное множество ведет себя совершенно не так, как "очень большое"
Так в реальном мире же нет бесконечных величин. Поэтому их другое поведение в математике вполне оправдано с физической точки зрения.
Поэтому формализм и хорош — там ничего себе дополнительно придумать нельзя
Формализм хорош, это да. Но это не является запретом на прямое понимание вещей. Ребенку не надо знать про натуральные числа, чтобы взять из корзины яблок одно из них.
то мы должны понять, что это такое (в конце концов, что нам это запрещает сделать?). А не просто описывать его математически.
Всё что мы можем вложить в слово "понять" - по сути является описанием. Математическим или не очень.
Всё что мы можем вложить в слово "понять" — по сути является описанием. Математическим или не очень
Анекдот про описание работы двигателя рассказать? Математическая запись — это кристаллизованная запись явления (если мы не про чистую математику говорим). Само же понимание сути процесса обычно можно объяснять (а значит и понимать) намного проще. Кот Шредингера не даст соврать!
"За основу такой модели мы возьмем один замечательный пример из физики: аннигиляцию электрона и позитрона при их столкновении."
Звучит как простой рецепт за 5 минут, с каперсами, манго, маракуйя, и соком гуавы: Берёте готовый отваренный горох...
Эк вы наворотили. Можно же проще: в реальности существуют только натуральные числа. Выдуманные позже: ноль и целые числа — в реальности не существуют. Это просто некоторые бумажные формализмы, которые мы вводим таким образом, чтобы при решении уравнений с натуральнымичислами можно было делать +,-,*,/ не беспокоясь о том, чтобы из 5-ти яблок не вычесть случайно 5 или 6. А как формализмы, а не объекты реального мира, они могут обладать любыми свойствами, в т.ч. mn = (-m)(-n), — какая разница, если решать уравнения стало удобно? Физический смысл в этих свойствах поискать для развлечения можно, но не с целеустремлённостью, достойной поиска священного грааля.
Рейтинг статьи показывает, что, конечно, есть люди, которым нужны именно такие, большие, сложные, исчерпывающие доказательства. Поэтому, статья, конечно, хорошая. Но, на мой взгляд, всё гораздо проще и умозрительнее, если говорить об объяснении именно для школьников.
Если посмотреть на числовую прямую, где справа (и далее только в правой части прямой) положительные числа, а слева (и только в левой части прямой) отрицательные, то становится ясно, что плюс и минус только указывают направления движения по всей прямой.
При этом плюс естественным образом, на уровне аксиомы можно брать естественным же направлением, потому что мы пользуемся им при счёте, а минус — изменением направления. Умозрительным примером приводить "Змейку", которая либо наращивает длину вправо, либо сокращает длину влево.
Таким образом, (-3)*5 = -3-3-3-3-3 = -15.
Ну и -3*-5 умозрительно оказывается этаким "поворотом на 360 градусов", в естественную сторону плюса. Такая аналогия не нарушает никаких уже известных школьнику законов, а только ещё раз и очень наглядно подтверждает их. Думаю, так можно объяснить даже пятилетнему ребёнку.
А в статье уровень не для школьников, конечно.
Не надо воспринимать отрицательные числа как особый вид чисел, тогда не будет вопросов, почему умножение двух особых чисел не дает такое же особое число (т.е. отрицательное).
Минус надо воспринимать отдельно от числа, это не число, а операция поворота. Минус это поворот на 180 градусов относительно нуля на числовой прямой. Поэтому два поворота возвращают в исходную точку. То есть "-2" это запись в полярных координатах — радиус 2, поворот на 180.
Развитие абстракции минуса это мнимая единица. Умножение на мнимую единицу это поворот на 90 градусов. Поэтому умножение 1 на i два раза дает -1. А например умножение на i в степени 1/3 это поворот на 30 градусов. Мнимая единица это тоже не число, поэтому "умножение" не совсем правильное слово, правильнее говорить "применение мнимой единицы". С ее использованием можно выразить любую точку плоскости через операции с положительными числами. Например, "-2" это "2*i2".
Проблема некоторых формальных систем в том, что они слишком громоздецкие. Приведенные в статье формулы, конечно, объясняют суть различных возможных операций над различными типами чисел, но не исчерпывают. Есть такое понятие, как "разрыв в объяснении". Примерно звучит следующим образом: вот тут у нас происходит нечто известное, заканчивается всё это определенным образом, а между всем этим делом происходит магия. Школьные программы обучения исходят из того, что дети уже владеют некоторыми базовыми навыками оперирования натуральными числами. И им предлагается операции над натуральными числами просто взять и перенести на остальные типы чисел: иррациональные, мнимые и т.д. Это и есть разрыв в объяснении. Как это сделать? Самые упорные ищут методом тыка, т.е. по сути по данному вопросу учатся без учителя. Потому как учитель в в данном вопросе, словно известный просветленный, хранит благородное молчание.
Попробуйте ученика, на которого всегда можно спихнуть недостатки формальных подходов и назвать его лентяем, взять и заменить во много раз более быстрым и способным компьютером. Он может вычислить какие угодно операции с разными типами чисел. Но формальная система для него - нечто прикладное. Напишите алгоритм с такой формальной системой, чтобы он разбирал и вычислял все эти выражения. Учитель громоздека сможет с помощью своих математических навыков сформулировать такую систему, чтобы компьютер это вычислил? Я думаю нет, здесь понадобится формальная система совершенно другого уровня.
Как правильно здесь уже упоминали, что вообще такое число -1 ? Это кратка форма выражения 0 - 1. Как можно записать -2 * -3 ? Здесь важно понимать, где находится исходная точка отсчета. Как уже было упомянуто, проще всего представить себе числовую прямую, например линейку. Вот вы ее сломали на позиции 30 см и потеряли начальный кусок. Как вам вычислить с помощью нее длину отрезка? Принять 30 см за точку отсчета. Т.е. вычесть из каждого значения эти самые 30 см. Таким образом 31 - 30 = 1, 32 - 30 = 2 и т.д. А если я вычту из потерянных 29 см эти 30 см, то получу -1. Из 28 отниму 30, получу -2. Получается, что отрицательное число - это то же положительное, но со смещенной точкой нуля. А значит я могу исчислять отрицательные числа, как положительные, главное не забывать отнимать базу от каждого операнда. Но с умножением, конечно, придется считать дотошнее.
Исходя из описанного примера, запишем выражение -2 * -3 в более полном виде: (28 - 30) * (27 - 30). Перемножим заданные числа как два двучлена, то есть: (28 * 27) - (28 * 30) - (30 * 27) + (30 * 30) = 756 - 840 - 810 + 900 = 6.
Простого объяснения быть не может, так как оно/они будет основано на понимании умножения, как многократного суммирования — то есть умножения натурального числа на вещественное. Поэтому вопрос надо задавать не "что такое произведение двух отрицательных чисел", а как нам вообще отказаться от натуральных чисел в пользу вещественных?
Жду статью с простым ответом на этот вопрос
Да все гораздо проще: вся математика целых чисел строится на понятии числового ряда и смещения по нему.
Обычное смещение в право - это "+". Одно число - это просто смещение от начала координат (нуля). "5" - это 0+5, т.е. 5 раз выполненное единичное смещение. 3+5 - можно читать как начальная позиция (3) и смещение (5), но нужно держать в голове ,что все всегда от нуля, поэтому начальная позиция это тоже смещение.
Минус - это реверс. НЕ просто смещение в лево ,и изменение направления. В случае сложения/вычитания это не так важно, но в случае умножения становится критичным. Итак 3-5 - это от 3 в лево на 5. Вроде просто.
Как в скользь упомянул выше - само число, это число итераций. Т.е. базовой операцией является инкремент/декремент, которые повторяются заданное число раз. Умножение - это повторение повторения. 5*5 - это пять раз выполнить пятикратное смещение. (-5)*5 - это пять раз смещаемся на 5 реверсивно. (-5)*(-5) - это просто двойной реверс.
Мысли автора интересны, но мне кажется в его голове картина была более "по-настоящему красивым и в то же время достаточно простым", и значимая часть этой простой красоты при изложении была утрачена...
Доказательство автора применимо не только к числам, например (-A) * (-B) = A*B верно и для матриц. И вообще опирается на аксиоматику колец, независимо от их природы
Ну, тут как... Автора за язык никто не тянул: "Когда вы учились в школе, разве у вас не возникало желание получить простое объяснение, почему при умножении чисел “минус на минус” дает “плюс”? и далее: "Объяснение, которое я тогда обнаружил, кажется мне по-настоящему красивым и в то же время достаточно простым, чтобы о нем стоило попробовать рассказать школьникам". Как по мне, хватило бы аксиоматики Пеано. Мы же не про матрицы здесь и абелевы группы, а, что называется "на пальцах".
5*5 - это пять раз выполнить пятикратное смещение. (-5)5 - это пять раз смещаемся на 5 реверсивно. (-5)(-5) - это просто двойной реверс
Хорошо. Тогда
3*5 это 5 раз по 3 от нуля. ОК.
-3*5 это 5 раз по -3 от нуля. ОК.
3*-5 это ой, но допустим переставим местами и предыдущий пункт
-3*-5 всё, приехали
По-моему, тут уже кто-то предлагал. Надо просто отделить знак и операции со знаком при умножении проводить отдельно. А именно, ввести понятие '-1' и понятие знака как умножение на '-1'. Как и с мнимой единицей.
То есть представлять -3*5 как -1*3*5 и -3*-5 как -1*3*-1*5. Тогда умножение на -1 можно объяснить действительно как "реверс", а -1*-1 как "двойной реверс". И, кстати, тогда будет сразу понятно, что мнимая единица это просто поворот в комплексную плоскость.
Но автор походу решил не просто наглядно объяснить, но ещё корректно всё вывести... А тут уже не срослось...
Ну да, наверное отделить знак от значения и отдельно его представить как реверс - норм. Но я, если честно не очень увидел "ой" в третьем и "все, приехали" в четвертом примере. Третий вообще норм: три, минус пять раз. Минус пять - это влево (инвертированное право), поэтому все ровно. А вот с четвертым случаем все не так ровно, но если помнить, что минус - именно меняет направление, а не просто "влево", то вроде и тоже норм: минус три (влево), минус пять раз - еще раз инверсия, а значит в право...
"Минус пять раз" это непонятно. Я могу сказать что "не сходил в кино 5 раз". Но я не могу сказать, что я "сходил в кино минус 5 раз". Здесь как раз вся наглядность и ломается. Поэтому да, нужно отделить минус. Но по-отдельности минус использовать для объяснения наверное не очень удобно, зато с единицей отлично. В добавок строится мостик к пониманию, что такое мнимая единица.
Ведь в сущности, введение мнимой единицы это такая же простая идея, как и отрицательные числа и это должно изучаться в школе вместе с ними или вскоре после них.
я не могу сказать, что я "сходил в кино минус 5 раз".
Пототому что "сколько раз сходил в кино" — это натуральное число. Оно отрицательным не бывает по определению. А вот "у меня минус 50 рублей" (в том смысле, что зарплату выдали 100 рублей, а Васе я должен 150) — леХко.
Да, об этом и речь. К "разам" отрицательное число не подходит.
К "разам" отрицательное число не подходит.
Всё подходит. Это Вы их готовить не умеете.
Если взять 5 два раза — будет 10; если взять 5 четыре раза — будет 20, можно проверить хоть на кошках.
x * y1 = n1
x * y2 = n2
x * (y2 - y1) = n2 - n1
5 * 2 = 10
5 * (2 + 2) = 5 * 4 = 20
А теперь следим за руками:
5 * 4 = 5 * (6 - 2) = (5 * 6) - (5 * 2) = 30 - 10 = 20
5 * (-4) = 5 * (2 - 6) = (5 * 2) - (5 * 6) = 10 - 30 = -20
Так-то!
Умножение это product. То есть количество. В минус трёх кучках из минус пяти элементов получается всего 15 элементов. Всё просто. В привычном нам для бытового исчисления кольце чисел качественная характеристика элементов теряется. Но то что их 15 штук в продукте это 100% ))))
A5 не нужна как аксиома, если по сложению уже группа:
a*0 = a*(0+0) = a*0+a*0 => a*0=0
Ответ кроется в вопросе "Но как тогда при помощи корзин и яблок предать смысл произведения 
?". Ответ: никак и в этом нет никакой проблемы. Потому что для корзин и яблок используется натуральный счёт. А делать из этого проблему и пытаться её решить — натягивание совы на глобус.
Также с помощью корзин и яблок нельзя объяснить комплексные числа, векторное произведение и много чего ещё.
вы приходите к соседу одолжить 3 корзины по 5 яблок, а он не дает, потому что он габровец, и вы тоже, и он знает, что у вас есть свои корзины и яблоки. Все 15 предметов реально существуют в природе, просто они не ваши -- как и реалии в отрицательном (или зеркальном измерении). Спасибо за большую-пребольшую объяснительную статью
Кому интересно, на канале 3Blue1Brown есть великолепное видео (~25 мин, англ.) с введением в теорию групп и замечательной геометрической визуализацией арифметических операций над действительными и комплексными числами
Также доступно видео про пифагоровы тройки с визуализацией возведения в квадрат
И для самых любознательных визуализация дзета-функции Римана
Спасибо за ссылки. Как думаете, кому из англоязычных блогеров было бы интересно снять анимацию по моей статье, если я пришлю им английский перевод?
Мне трудно говорить за других, но могу немного сориентировать по теме и инересным для меня ресурсам.
У вышеупомянутого проекта 3Blue1Brown есть веб-сайт
https://www.3blue1brown.com/about
Также в открытом доступе выложен движок для создания математических видео Manim на языке Python и документация к нему
https://github.com/3b1b/manim
При желании можно изучить этот фреймворк и создать визуализацию самостоятельно.
Из знакомых мне ресурсов выделю:
МАТЕМАТИКА
3Blue1Brown (англ.)
Number_Cruncher (англ.)
Numberphile (англ., но есть русские переводы)
Tibees (англ.)
LinesThatConnect (англ.)
HexagonVideos (англ.)
Eric Rowland (англ.)
Маткульт-привет! :: Алексей Савватеев и Ко (рус.)
VitalMath (рус.)
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА
EugeneKhutoryansky (англ.)
ФИЗИКА
GetAClass - Physics in experiments (рус.)
Гервидс Валериан Иванович (рус.)
ОБЩЕНАУЧНОЕ
veritasium (англ.)
VertDiderScience (русскоязычные переводы)
Пользуясь случаем, не могу не поделиться и этим видео
Почему при умножении «минус на минус» дает «плюс»?