Comments 32
Числа на скатерти только натуральные рассматриваются?
Спасибо за отличную статью для разминки мозга!
В качестве иллюстрации сюда бы еще спираль Сакса, я кодга на мехмате учился в 1996, помню что она произвела фурор у нас на кафедре.
Если же мы возьмём нечётные числа, то после просеивания их останется в два раза больше, поэтому их вес равен двум
Это как ? Как после просеивания их оказывается больше, чем перед ?
Если взять N целых чисел и N нечётных, то после просеивания обоих множеств нечётных очевидно останется больше.
Извините, но не понимаю. Мне это не очевидно. Можно вас попросить предоставить строгое определение процесса просеивания, а именно
?
Мне будет проще на языке символов понять.
Т.е. используется тот факт, что
?
То, что вы написали, неверно. Количество простых чисел уменьшается с ростом n. А вот количество "выживших" чисел после просеивания остаётся примерно одинаковым для любого отрезка n при фиксированной глубине просеивания. Думаю, именно этот момент вызывает сложности. Просеивание не зависит от теоремы.о распределении простых чисел, оно зависит от произведения вероятностей.
Если мы возьмём нечётные числа, то из этого произведения можно удалить первую 1/2, что приводит к увеличению количества "выживших" в два раза.
При условии, что P много меньше x, думаю, это (то, что я написал в пердыдущем комментарии) верно. Где я ошибся ?
Вы приравняли log 2x к log x. Это принципиально неверно — в каждом следующем отрезке длины n простых чисел всё меньше, и меньше, и меньше.
Другое дело — просеивание. Оно всегда даёт примерно одно и то же число кандидатов в диапазоне. Если совместить эти два факта, получится, что вероятность простоты кандидатов неуклонно снижается. То есть мы получили теорему.о распределении простых чисел.
Вы приравняли log 2x к log x.
Нет, я взял предел:
в каждом следующем отрезке длины n простых чисел всё меньше
А я не говорю, про каждый отрезок -- я говорю про x и 2x. Хотя, скорее всего, это не важно (вроде можно в пределе выше заменить всё на n и n-1).
Извините, если надоедаю своими вопросами :)
У вас последнее выражение неправильно посчитано.
И я могу вас уверить, что для любого n число простых в [2..n] сильно больше, чем в [n..2n]. В первой тысяче 168, во второй 135.
Здесь тоже что-то неправильно ? В общем, ладно. Вы, наверное, уже устали. Закончим, думаю.
Хорошо, соглашусь, что в пределе к бесконечности простых чисел становится исчезающе мало, что в первой половине бесконечности, что во второй.
Но это не имеет никакого отношения к весам последовательностей. В этой статье я хотел рассказать вам о просеивании и его эффектах на практике. И мне кажется, вы слишком увлеклись теоремой о распределении простых чисел и проглядели основную мысль статьи.
И я могу вас уверить, что для любого n число простых в [2..n] сильно больше, чем в [n..2n].
Для n == 10 ваше утверждение уже неверно :)
Продолжу пример с первой и второй тысячами.
При просеивании их на глубину 11, мы получаем следующие результаты:
из первой тысячи остаётся 207 кандидатов, из которых только 168 простые.
из второй тысячи остаётся 209 кандидатов, из которых только 135 простые числа.
из диапазона [9000..10000] остаётся снова 207 кандидатов, из которых простыми являются лишь 112 чисел.
Плотность распределения простых чисел никак не влияет на результаты просеивания.
Если вас зацепила эта тема, предлагаю написать простейший просеиватель, это буквально несколько строк в любом языке программирования. После того, как вы увидите, как ведут себя числа на практике, понять это с теоретической стороны будет легче.
Этим математикам только дай поматематить. А потом разгребай их математьщину...
А потом ещё у них буквы/символы для обозначения заканчиваются, видимо перематиматшили!
Больше спиралей хороших и разных! Почему только 2D квадратные и круглые? Можно намотать на треугольники, семиугольники, звёздобразные кривые, а также на 3D платоновы тела, может удасться найти еще больше закономерностей.
Вселенная пытается нам что-то сказать? Конечно же нет.
А вот и фиг его знает! Не стоит спешить с выводами.
В замечательной книге Джона Дербишира можно найти следующее:
Нетривиальные нули дзета-функции Римана появились при исследовании распределения простых чисел. Собственные значения случайных эрмитовых матриц появились при исследовании поведения систем субатомных частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Скажите, пожалуйста, что вообще может быть общего между простыми числами и поведением субатомных частиц?
О связи простых чисел и квантовой механики тезисно можно посмотреть здесь.
Теорема о распределении простых чисел говорит нам, что вероятность простоты зависит только от размера числа.
Спорное утверждение, или не очень удачная формулировка. Если взять k-подряд идущих чисел "одинакового размера"(одной разрядности), то при небольших k независимо от размера числа, чисто ориентируясь на его значение никаких обоснованных вероятностных суждений о простоте каждого из чисел относительно друг друга сделать не получится.
О числе простых чисел на интервале, да, какие-то суждения сделать можно.
Или же можно сказать, что они простые с равной вероятностью. Которая для случайных чисел равна 1/ln x. Вы можете генерировать случайные числа, и именно с такой вероятностью вам будут попадаться простые.
Именно поэтому интегральный логарифм даёт гораздо более точную оценку числа простых, чем n/ln n.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Интегральный_логарифм
Точную то точную, но есть нюанс. Число Скьюза. т.е. смело утверждать, что там творится в области о-очень больших чисел никто не берётся.
генерировать случайные числа, и именно с такой вероятностью вам будут попадаться простые
тут надо подумать, но не уверен, что в общем случае оно верно. Распределения случайных величин бывают разные, да и сильно всё будет зависеть от самой выборки, из которой вы планируете выбирать числа (т.е. генерировать). По-разному может сложиться с частотой появления простых.
Возможно вы имели ввиду, что если перебирать некоторый непрерывный диапазон чисел начиная со случайного места, то с некоторой предсказуемой вероятностью вам на интервале будут попадаться простые числа.
Большие простые числа: вес последовательностей