Математика *

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему.

Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы. Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского без кватернионов.

Привет, Хабр!

Меня всё также зовут Андрей Гринблат. В прошлых материалах я рассказывал о построении фотореалистичных изображений трёхмерных фракталов (часть 1 и часть 2). Это — завершающая статья цикла, в ней я разберу визуализацию оболочки Мандельброта, четырёхмерных аналогов множеств Мандельброта и Жюлиа, и рассмотрю гибридные фракталы.

«Если ты не можешь объяснить что-то просто — значит, ты сам этого ещё не понял.»
— Ричард Фейнман

Всё в природе стремится к порядку. Но часто, пытаясь этот порядок описать, мы сами его теряем — нагромождая определения и уравнения, сложнее самого явления.
Математическое описание мира необходимо, но не всегда достаточно: суть можно уловить и без погружения в громоздкие формулы.

Эта работа — попытка взглянуть на физику проще, без излишних усложнений, но с сохранением точности смысла. Я стараюсь показать, что за всеми процессами стоит одно — движение энергии между различимыми состояниями, и именно через это движение рождаются частицы, поля и само время.

Наверное, все слышали хотя быв общих чертах про число Лоадера, очень большого гугологического монстра. Но если нет, то вкратце Loader's number — это одно из самых больших чисел, когда‑либо появившихся в серьёзном математическом контексте, и оно знаменито именно в сообществе гугологов.Оно было получено в 2002 году программистом Ральфом Лоудером в результате работы его программы, которая выиграла соревнование по написанию самой эффективной программы для вывода в Лямбда‑исчислении. Почему оно так знаменито и так велико? Не просто «большое», а «максимально эффективное». Программа Лоудера была настолько оптимизирована, что, по мнению многих специалистов, она достигает практического предела мощности для вычислимой функции в рамках Лямбда‑исчисления. Она создает число, которое, вероятно, является самым большим вычислимым числом, когда‑либо явно описанным с помощью столь компактной программы. Основа — лямбда‑исчисление. Это не просто алгоритм, написанный на C++ или Python. Он работает в фундаментальной системе, которая является основой функционального программирования и самой теории вычислимости,что придает числу огромную «математическую плотность». Ну и как вишенка на торте — оно превосходит других гигантов: Число Лоудера невероятно больше, чем многие другие известные «большие числа», такие как распиаренное число Грэма или даже числа, сгенерированные быстрорастущей иерархией на низких уровнях. Его мощность находится на очень высоких ординалах.

Я разработала интерактивный макет для создания композиций цветов. Проблема свелась к задаче упаковки кругов в квадрат и прямоугольник. В статье я приведу разбор автоматизированного решения этой задачи с помощью жадного алгоритма, а также расскажу теорию и математически обосную практику с визуальными пояснениями.

Среди друзей я пользуюсь репутацией «ты ж программист», поэтому у меня нередко интересуются, как именно работают «под капотом» такие известные инструменты как ChatGPT, Claude, Grok или DeepSeek. Со временем я отточил ответ на этот вопрос — и потому, что нашёл способы лучше на него отвечать, и потому, что научился сам создавать большую языковую модель с нуля. Поэтому и сам понимать большие языковые модели я стал гораздо лучше.

В этой статье я попытаюсь простыми словами описать, что именно в них происходит. Пост состоит из серии объяснений, причём каждое последующее из них основано на предыдущих, но немного уточняет их. Так мы постепенно дойдём до такого объяснения, которое будет совершенно строгим и верным, но могло бы немного вас ошеломить, если выдать его без подготовки.

Если вы — технарь, и читаете эту статью, чтобы больше узнать об ИИ, то настоятельно рекомендую вам дочитать её до конца. Если вы открыли ссылку просто из интереса, то можете смело читать до тех пор, пока вам будет интересно. Возможно, вы станете более уверенно понимать, что происходит в трансформерах, даже если не уловите всех мелких деталей.

Привет, Хаброжители! Узнайте, что происходит внутри черного ящика! Для использования глубокого обучения вам придется подготовить данные, выбрать правильную модель, обучить ее, оценить качество и точность и предусмотреть обработку неопределенности и изменчивости в выходных данных развернутого решения. Эта книга шаг за шагом знакомит с основными математическими концепциями, которые пригодятся вам как специалисту по данным, – с векторным исчислением, линейной алгеброй и байесовским выводом, представляя их с точки зрения глубокого обучения.

Близкая планета вызывает вспышки на звезде (Close-in planet induces flares on its host star)Authors: Ekaterina Ilin et al.Comments: 23 pages, 7 figures, 3 tables. Submitted to Nature 

Наблюдения на TESS и CHEOPS показали, что у молодого G-карлика HIP 67522, вокруг которого обращаются две планеты на низких орбитах, происходят вспышки, вызванные магнитным взаимодействием с одной из планет.

Вертикальная структура и динамика диска Галактики (Vertical Structure and Dynamics of a Galactic Disk)Authors: Chanda J. Jog Comments: 223 pages, 35 figures, 379 references. Invited review for Physics Reports  Большой обзор по структуре и физике галактического диска. На удивление мало формул (с полсотни, и больше половины из них - в 4м разделе), зато много полезных графиков. Приведено много данных наблюдений и разъяснены основные процессы, отвечающие за формирование структуры диска.

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:

«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое?»

Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

Небоскребы — это величайшие символы амбиций человека, олицетворяющие его стремление к величию. Но знаете что? Небоскребы падают. Падают в прямом и в переносном смысле. Первая четверть XXI века подарила нам способность смотреть на этих исполинов с ракурса истории, социологии, психологии и даже антропологии. Теперь, глядя вниз из окна на 60-м этаже ты по прежнему видишь вместо людей — точки, ресурсы, показатели. Но вместе с этим, ты видишь свое тусклое отражение в стекле и все чаще вспоминаешь десятки историй крушений и падений. Историй, которых накопились сотни и все они...

Велика вероятность, что вы уделили гораздо больше внимания красивой девушке на картинке, чем невзрачной надписи рядом с ней и уж тем более введению к этой статье. Если так (но в особенности ели это не так), то эта статья точно окажется для вас полезной.

В геометрическом ядре C3D ранее был реализован алгоритм для построения срединных оболочек между эквидистантными группами граней. В данный момент завершен этап по расширению этой функциональности. Теперь в ядре есть возможность построения срединных поверхностей между произвольными поверхностями.

Вместе с описанием новой функциональности в этой статье отдельное внимание уделяется численным методам и подходам к поиску точек срединных поверхностей.

Приведу два случая сравнения счетного и несчетного множеств (на примере рациональных и иррациональных чисел).

Множество считается счетным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами. Мощность такого множества обозначается как «алеф-нуль». Множество рациональных чисел является счетным.

Если множество невозможно взаимно-однозначно соотнести с множеством натуральных чисел, то такое множество называется несчетным. Множество иррациональных чисел является несчетным.

Данные примеры наглядно демонстрируют некоторую «ограниченность» множества рациональных чисел в сравнении с множеством иррациональных.

----

Построим числовую прямую и начнем отмечать на ней все рациональные числа по очереди. Причем первому элементу присвоим длину 1/2 (в любых единицах, сколь угодно малых) на числовой прямой, второму элементу – 1/4 длины, третьему – 1/8, четвертому 1/16, и так далее. Тогда сумма длин, присвоенных каждому рациональному числу, будет равна 1 (сумма геометрической прогрессии). И это несмотря на то, что в каждом бесконечно малом промежутке числовой прямой будет бесконечное количество таких длин. Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут всего одну единицу длины. Всё остальное – иррациональные числа. Можно взять сколь угодно маленькую величину первого члена прогрессии. Тогда ее сумма и, соответственно, общая длина всех рациональных чисел на прямой, будет стремиться к нулю!

----

Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д. Плоскость будет заполнена точками с бесконечной плотностью. Покажем, что через любую точку, свободную от заданных, можно провести прямую, которая не коснется ни одну из заданных.

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

«Параллельные Измерения» — одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского Университета 2014 года. Она была последней в заключительном пятом акте игры и предшествовала финальному мета‑заданию.

Paradox: что если заменить финансовые рынки математической моделью? В статье я смоделирую экономику блокчейн-протокола, где цена токена вычисляется по формуле, и покажу, как разные стратегии поведения влияют на доходность участников. Полный разбор механики и результатов.

Теория трансрекурсивного роста (TRT) впервые: строит математически строгий горизонт между вычислимыми и невычислимыми функциями; формализует непрерывный аналог Быстро-Растущей Иерархии (Fast-Growing Hierarchy); вводит метрику порядковой сложности чисел и функций; показывает, что экспоненты, итерации и порядковая рефлексия образуют единый принцип суперпозиционного роста; конструирует лимитирующий класс функций TRANSCEND как обладающий свойством максимально возможного темпа роста среди всех вычислимых функций, завершая поиск «самой быстрорастущей вычислимой иерархии» в современной гугологии. формирует новое представление о пределах конструктивной математики и «скорости света» в мире вычислимого.

В статье приведён алгоритм вычисления характеристик вращения Вигнера с использованием кватернионной алгебры.

Привет, Хабр!

Меня всё также зовут Андрей Гринблат, и в первой части я начал рассказывать о такой технологии, как ray marching, и о нормированных пространствах. В этой части начнём с построения простых геометрических фракталов — губки Менгера и тетраэдра Серпинского, затем построим IFS-фракталы, рассмотрим технику орбитальных ловушек, и в завершение построим фрактал «Ящик Мандельброта», или Мандельбокс.

Всем привет. Меня зовут Денис, и я руковожу продуктами доставки. Сегодня я хочу рассказать вам об одной из самых больных тем в нашем деле — о вранье со сроками доставки.

Реальность достаточна горькая: постоянные опоздания бьют по деньгам, изматывают нервы и безвозвратно губят репутацию. В этой статье я расскажу как я с этим боролся и каким результатам мне удалось прийти

Сегодня обобщу конструкцию, из предыдущей одноименной статьи, до трехмерного вида. На этот раз в статье матриц нет, в прошлый раз они потребовались лишь для получения геометрической интерпретации некой базы. Вообще в статье лишь одна формула.

Так же отвечу на вопросы к прошлой статье. В сухом остатке их два: «Зачем все это?» и «Почему не обобщал модель до спиноров?». Если ответить совсем кратко — Клиффорд создал, даже спустя 100 лет, очень мало кем понятую супер‑теорию геометрии вселенной. Мне вот довелось это осознать.

После предыдущей статьи, по всем моим статьям на эту тему прошлись более 1000 человек, поставили 14 плюсов и один минус. Реакцию широкой аудитории, как управленец, буду считать далекой от массового интереса. Но как инженер, для тех, кому все‑таки интересно, сначала отвечу на вопросы, а потом разверну модель в трехмерный вид.

Сначала я начал было писать еще одну длинную статью, например я там очень удобно закон Гука обобщил. Но потом подумал, что надо писать короткие статьи, чтобы читать было недолго. И написал только основные моменты. Может после прочтения этого материала интерес у широкого круга добавится. В общем соразмерю свои усилия с востребованностью.