Летом 2022 года я опубликовал на Хабре статью «Как и зачем создавать вселенную в лаборатории», которую задумывал исключительно в качестве оммажа великому космологу и мыслителю Андрею Дмитриевичу Линде, сыну одной из последних ночных ведьм, покинувших наш мир. Но с тех пор я иногда возвращался к мыслям о том, насколько сложные физические процессы в принципе поддаются лабораторному моделированию, и что нам могут подсказать такие опыты. Сегодня я расскажу об амбициозных и пока не слишком удачных попытках смоделировать проходимую червоточину в виде компьютерной симуляции. Червоточина (wormhole), также называется «кротовая нора» или «мост Эйнштейна-Розена». Такая гипотетическая структура могла бы связывать произвольно удалённые друг от друга точки пространства-времени, если бы была проходимой. При этом, искусственная червоточина была бы очень интересна сама по себе, так как могла бы подсказать способ унифицировать гравитацию с другими взаимодействиями Стандартной Модели, в конечном счёте — объединить квантовую и классическую физику.

Поразительно, как некоторые задачи решаются, скорее, не из-за кропотливого труда, а потому что задал правильный вопрос. В статье рассказываю об одном простом, но занимательном операторе, который позволяет получить интересные результаты лишь только ловкостью рук.

В нашей Вселенной, когда вы соберёте достаточно много массы в достаточно малом объёме пространства, вы неизбежно пересечёте черту: скорость, с которой вам нужно будет двигаться, чтобы преодолеть гравитационное притяжение в этой области, превысит скорость света. И когда это происходит, вокруг области неизбежно образуется горизонт событий, который выглядит, действует и ведёт себя точно так же, как чёрная дыра, если смотреть со стороны. Тем временем внутри вся эта материя неумолимо притягивается к центральной области внутри чёрной дыры. При наличии конечного количества массы, сжатой до бесконечно малого объёма, появление сингулярности будет практически гарантировано.

Предсказания о том, что мы должны наблюдать за пределами горизонта событий, чрезвычайно хорошо согласуются с наблюдениями, поскольку мы не только видели множество светящихся объектов на орбите вокруг чёрных дыр, но даже получили изображение горизонтов событий нескольких чёрных дыр напрямую. Теоретик, заложивший основы законов, по которым во Вселенной формируются реалистичные чёрные дыры, Роджер Пенроуз, впоследствии получил Нобелевскую премию по физике в 2020 году за свой вклад в физику, в том числе за идею о том, что в центре каждой чёрной дыры должна существовать сингулярность.

Но удивительным образом легендарный физик Рой Керр, открывший в 1963 году пространственно-временное решение для вращающихся чёрных дыр, только что написал новую работу, в которой опроверг эту идею, приведя несколько весьма убедительных аргументов. Вот почему, возможно, сингулярности будут существовать не в каждой чёрной дыре и какие ключевые вопросы нам следует обдумать.

Парадокс уничтожения информации чёрными дырами — ключ к теории квантовой гравитации или надуманная проблема, заведомо не имеющая решения? Как чёрные дыры испаряются и достигают теплового равновесия со средой, ничего не выпуская из‑под горизонта событий? Существует ли предел информационной ёмкости пространства? Может ли наша Вселенная оказаться трёхмерной голографической проекцией некой двумерной поверхности? Если вы не занимаетесь теоретической физикой или философией, поиски ответов на эти вопросы покажутся вам бесполезной тратой вычислительных ресурсов мозга. Но если вы любите парадоксы и хотите понять, как устроен мир на самом фундаментальном уровне — добро пожаловать за горизонт событий, где вступают в противоречие две основополагающие теории современной физики — квантовая теория поля и общая теория относительности.

Этой мини-серией статей я хочу объединить свои заметки для математического кружка о различных необычных, но полезных числовых системах, основанных на парах чисел. План знакомства с числовыми системами будет такой:

1. В этой статье мы (признаюсь, достаточно занудно) построим из натуральных чисел целые, при этом познакомимся с важнейшими инструментами математики: упорядоченной парой, эквивалентностью и факторизацией.

2. Во второй части от целых мы перейдём к рациональным числам, которые тоже можно представить в виде пары — рациональной дроби. Главный вопрос на который мы постараемся ответить: «А чего у дробей всё так сложно-то?»

3. В третьей части мы сконструируем Гауссовы числа и порассуждаем над более общим вопросом: «Что такое число?». В этой части мы перейдём от пар к матричным представлениям чисел, что позволит нам ввести их классификацию.

4. Четвёртая часть будет посвящена эллиптическим арифметикам: комплексным числам и числам Эйзенштейна. Здесь мы порассуждаем над сакраментальным вопросом: «Реальная ли мнимая единица?»

5. В пятой части мы рассмотрим гиперболические арифметики и познакомимся с двойными числами, и немного используем их на практике, чтобы понять «Как работает формула Бине?»

6. Шестая часть завершит эту серию. Она расскажет о параболических арифметиках, в частности, о дуальных числах, которые позволят арифметике быть неточной. Кроме того, мы порассуждаем о том как вписать в нашу классификацию рациональные дроби.

Впрочем, поскольку материал рассчитан на старшеклассников или младшекурсников, изложение будет неспешным и основательным. В духе туториала или методического пособия.

Чёрная дыра… Ничто так не притягивает и не будоражит воображение, пока не погрузишься в глубины теоретической физики и не поймешь, что в реальности всё довольно скучно и прозаично. Знаю, тема буквально затёрта… до дыр, да и хайп вокруг неё поутих с тех пор, как появились первые фотографии, сделанные Телескопом горизонта событий. Но без краткого ликбеза по чёрным дырам будет трудно понять мои будущие статьи по квантовой гравитации и цифровой физике, ведь на горизонте событий пересекаются сферы применимости двух фундаментальных, но плохо совместимых физических теорий – квантовой теории поля (КТП) и общей теории относительности (ОТО). К тому же изучение чёрных дыр – это идеальное упражнение на понимание релятивистской физики Эйнштейна, в частности, принципа относительности одновременности и принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс. Поэтому я решил систематизировать информацию о чёрных дырах и расставить все точки над «i». В данной статье мы рассмотрим чёрные дыры как астрофизические объекты. Квантовые аспекты чёрных дыр оставим на потом.

Однажды, выполнив в Гугле запрос "Three body problem" ("Задача трёх тел"), я был просто поражен - первая страница результатов состояла только из ссылок на роман китайского писателя-фантаста Лю Цысиня с соответствующим названием, а также на телесериал, снятый по этому роману, т.е. ссылок на собственно задачу трёх тел не было вообще! Мне это показалось удивительным и несправедливым, поскольку сама по себе задача трёх тел тоже может выглядеть увлекательной в популярном изложении. В этой публикации я постарался привести некоторые доказательства этого утверждения.

Записки «чайника», травмированного тензорным исчислением

Тема, заявленная в названии, пожалуй, самая запутанная в тензорном исчислении. Высокоучёные авторы мудрых книг в большинстве случаев ограничиваются только формальными определениями понятий ко- и контравариантности, не опускаясь до подробного пояснения их геометрической и физической сути. Похоже, в этом вопросе они сознательно или бессознательно воспроизводят ситуацию, характерную для квантовой физики: «Не старайтесь понять, просто считайте!». Но если в квантовой физике подобный подход безальтернативен, то в данном случае – вряд ли.

Подзаголовок даже комплиментарен для меня, поскольку в своём восприятии математики я даже не «чайник», а, скорее, «валенок». По этой причине мне очень хорошо понятны проблемы «чайников», с которыми они сталкиваются в попытках постичь математические абстракции. Поэтому материал предназначен не для «продвинутых», они и без меня разберутся, а для… В общем, для таких же, как я, «задвинутых» в математике (только в ней!). При этом предполагается хотя бы «шапочное» знакомство с тензорным исчислением.

Математика остаётся непонятной для многих потому, что нам её объясняют люди, которые понимают её на интуитивном уровне, или, выражаясь более изящно, «на уровне интуитивных образов» [1-7 ≡ Л.1, с. 7]. Нам же, нематематикам, для того, чтобы что-то понять, надо это «что-то» увидеть не в абстрактном («интуитивном»), а в реальном, физически представимом пространстве (по-научному это – «визуализация») или, ещё лучше, поковырять его пальцем (научный термин пока еще не придумали. Открыт приём предложений).

Этот текст логически состоит из трёх частей. Сначала кратко расскажу про геометрическую алгебру с точки зрения математики. Потом расскажу как можно взять одну конкретную алгебру и использовать её для описания вращения и перемещения тел. И вишенка на торте - покажу, как будут выражаться физические сущности типа силы и момента, импульса, момента инерции и уравнений движения тел.

Квантовые компьютеры постепенно мигрировали от «натуральных» квантовых объектов типа ионов и quantum dots к «искусственным» объектам типа трансмонов, где роль атомных переходов выполняют собственные частоты колебаний LC контуров. К таким контурам прикручены коаксиальные кабели для возбуждения системы, считывания их состояния и регулирования их свойств. Они все еще являются квантовыми объектами и работают при низкой температуре.

Мне стало интересно, а можно ли создать прототип квантового компьютера на основе больших «классических» механических объектов. Я демонстрирую квантовый компьютер сделанный из связанных маятников.

Проблеме темной материи уже почти сто лет – с открытия в 1933 году Фрицем Цвикки гравитационной стабильности скоплений галактик, которые не должны быть стабильны, если судить только по видимой материи в них. Этой проблеме сначала не уделялось должного внимания, но она неотвратимо росла, расползаясь на галактические и космологические масштабы. Квантовые космологи долго пытались продать в качестве темной материи кучу неведомых зверюшек в виде элементарных частиц, но, невзирая на предоплату в виде миллиардов долларов, так и не сумели предоставить покупателю ничего реального – все зверюшки (которых обычно ласково называют ВИМПами) оказались мертворожденными. Поэтому в последние годы пошел в гору тренд о том, что темная материя состоит из черных дыр. Прекрасная идея, которая имеет главную проблему – а где взять столько дыр? Ведь практически единственный известный механизм их образования – взрыв сверхновой, сжимающий свое ядро в компактный объект в несколько масс Солнца, который и превращается в черную дыру. Но эти взрывы сверхновых можно по пальцам пересчитать – и их явно не хватает. Несколько лет назад стала раскручиваться тема первичных (primordial) черных дыр, которые должны возникнуть в результате какого-то гипотетического механизма в разгар Большого Взрыва. Если посмотреть по статьям, размещаемым в arxiv, то год назад на ключевые слова WIMP и primordial black holes (PBH) выскакивало примерно одинаковое количество статей - что уже удивительно, потому что «чернодырниками» были немногочисленные теоретики, а за «вимпистами» стояли огромные коллективы обсерваторий, где искались ВИМПы – под землей, в Антарктиде, в космосе и т.д. Если сейчас, 21 мая, посмотреть архив, то за май о ВИМПах опубликовано 4 статьи, а о PBH - 27. Разница в несколько раз! Все умные ученые должны вливаться в этот бурный поток и с упоением клепать модели образования PBS на основании гравитонов, тахионов, биткоинов, а также колебаний инфлатона и индекса Доу-Джонса.

Недавно аспиранты из MIT выпустили очень интересную статью про концептуально новый подход к проектированию наверное самого базового "кирпичика" нейронок - полносвязного слоя.

Постараюсь дать небольшое описание того, что происходит под каптом кана, при этом не превращая публикацию в учебник по матанализу

Замечания о математике, алгоритмах и методах, применяемых при компьютерной симуляции флюидов (например, огня и дыма) в режиме реального времени.

Исходный код к этой статье выложен на GitHub.

Огонь как явление очень интересен с точки зрения компьютерной графики. Раньше огонь было принято имитировать. Например, в фильме «Властелин колец» Питера Джексона для изображения огня использовались спрайты с огромным количеством дыма (на тот момент симуляция флюидов обходилась слишком дорого, даже при бюджете блокбастера). Когда требовалось моделировать огонь в режиме реального времени, например, в видеоиграх, использовались почти исключительно нефизические подходы.

Прежде чем двигаться к основной теме вспомним  некоторые факты из общей теории относительности. Наличие материальных тел  порождает искривление пространства (особую конфигурацию или геометрию)  в этой области, описываемую тензорами кривизны из уравнений Эйнштейна.

Участники хабра проявляли большой интерес к космологии пульсирующей Вселенной (https://habr.com/ru/articles/396601/; https://habr.com/ru/articles/371363/; https://habr.com/ru/articles/777028/), поэтому всех заинтересованных хочу обрадовать новостью, что издательство «Питер» в июне этого года выпускает массовым тиражом второе издание книги «Пульсирующая Вселенная» с дополнениями и улучшениями. Получасовую презентацию книги (и космологической теории, которая в ней излагается) от редактора «Питера» и от меня можно посмотреть на ю-тубе: https://www.youtube.com/watch?v=QyVAPTdPC4Y

            На одном космологическом моменте хочется остановиться детальнее – на реликтовых гравитационных волнах. В начале 60-х годов разразилась большая битва между тремя космологическими теориями: теорией постоянного роста Вселенной Бонди-Голда-Хойла (без Большого Взрыва, а Вселенная просто пухнет по непонятным причинам); теорией изначально холодной Вселенной Зельдовича, и теорией горячей ранней Вселенной Гамова, в рамках которой были предсказаны Большой Взрыв, химсостав ранней Вселенной и наличие вокруг реликтового излучения с температурой в несколько кельвинов (излучение очень горячей ранней Вселенной растянулось к нашему времени так, что остыло до температуры жидкого гелия).

            В эстонском городе Тарту, 7-13 июля 1962 года проходил семинар, материалы которого были опубликованы в сборнике «Вопросы космогонии» (1963). В статье «Дозвездная эволюция вещества» Я. Б. Зельдович разбирает теорию горячей Вселенной Гамова-Альфера-Хермана, попытки которых получить наблюдаемый химический состав космической среды, он считает «наивными». Зельдович пишет, что в этой модели «эффективная температура электромагнитного излучения (света) равна 23К» (откуда ЯБ взял это значение вместо нескольких градусов – неясно, возможно из какой-то самой неточной работе группы Гамова).

На днях ученые из MIT показали альтернативу многослойному перцептрону (MLP). MLP с самого момента изобретения глубокого обучения лежит в основе всех нейросетей, какими мы их знаем сегодня. На его идее в том числе построены большие языковые модели и системы компьютерного зрения.

Однако теперь все может измениться. В KAN (Kolmogorov-Arnold Networks) исследователи реализовали перемещение функций активации с нейронов на ребра нейросети, и такой подход показал блестящие результаты.

В комментариях к моей предыдущей статье и в комментариях к ролику было много вопросов и некорректных замечаний по поводу парадокса близнецов. Как оказалось, мое объяснение оказалось не настолько понятным, как я надеялся, поэтому в этой статье я решил максимально наглядно, подробно и последовательно объяснить парадокс близнецов и ответить на некоторые другие вопросы.

Кратко напомню суть парадокса

Берем двух близнецов, сажаем их на маленькую легкую планету (легкую, чтобы не учитывать влияние гравитации), одного оставляем неподвижным, а второго запускаем на ракете полетать и вернуться обратно. При их встрече оказывается, что летавший близнец постарел меньше, чем неподвижный.
Парадокс заключается в том, что неочевидно почему именно у летавшего время текло медленнее. Ведь, вроде бы, ситуация симметричная: в системе отсчета летавшего он был неподвижен, а планета с неподвижным близнецом полетала и вернулась, и это у них должно было натикать меньше времени.

Парадокс близнецов очень важен, т.к. это самый наглядный способ увидеть, что релятивистский эффект замедления времени не просто математический артефакт специальной теории относительности или иллюзия, а вполне реальное физическое явление.

Попросим бегущего кота четыре секунды (по его часам) бежать вправо со скоростью 75% скорости света, потом развернуться и прибежать с той же скоростью назад.
Вот визуализация на диаграмме.

В математике существует очень интересная тема, которая носит название "расслоение Хопфа". В 1931 году Хайнц Хопф опубликовал свою работу об открытой им в топологии конструкции, получившей в истории название "Hopf fibration" - расслоение Хопфа. Суть этой конструкции, была основана на геометрических разработках Уильяма Кингдона Клиффорда.

В поле зрение физиков-теоретиков, однако, она впервые попала лишь сорок с лишним лет спустя, в 1970-е годы, из-за прямых и непосредственных математических взаимосвязей между расслоением Хопфа и калибровочными симметриями в квантовой теории поля.

В данной небольшой статье рассмотрены некоторые основные моменты связанные с моим сайтом на котором рассматривается визуализация расслоения Хопфа.

Из-за когнитивных искажений мы иногда принимаем иррациональные решения, а также выносим суждения на основе информации, которую мы обрабатываем. Фактически, когнитивные искажения — это запрограммированная ошибка в нашем мозге.

Также их можно представить как простые правила, которым следует мозг, чтобы обрабатывать поступающую информацию с минимальными затратами.

Когнитивных искажений существует большое множество, и о них полезно знать. В этой статье мы сделаем обзор 151 искажения, которые часто встречаются в повседневной жизни: как в личной, так и в профессиональной.