Да, все так и есть, как вы написали. В случае шарика в центре пружинящей сферы получается бесконечное количество стационарных траекторий.
Для выбора, или указания конкретной траектории нужна дополнительная информация. Можно указывать начальную скорость, можно указывать конечную скорость, можно указывать направление движение шара, можно указать точку соударения со сферой и т. д. Вариантов множество.
В данном случае существует две стационарные траектории, одна когда шарик покоится, другая — когда отскакивает от стенки.
Я понимаю, что вы хотите сказать. Что для выбора из этих двух вариантов нужно задать начальную скорость. Точнее, нужно сначала вычислить начальную скорость во втором варианте, поскольку она должна иметь строго определённое значение, иначе шарик не вернётся в нужное время. А потом выбрать из двух вариантов начальных скоростей.
Действительно, можно поступить так. Но для выбора из этих двух вариантов траекторий не обязательно задавать именно начальную скорость. Можно, например, указать, сталкивался ли шарик со стенкой.
Т. е. для определения возможных траекторий шарика знание начальной скорости не нужно. Для выбора конкретной траекторий, действительно, можно использовать начальную скорость, но не обязательно именно её.
Если заданы начальное и конечное положения системы, то для нахождения стационарных траектория, т. е. возможных траекторий движения системы, начальную скорость задавать не нужно.
Законы сохранения энергии не обязаны сохраняться при варьировании (т. е. при небольшом изменении траектории).
Давайте проверим на эксперименте. Но нужно для этого сначала задать Лагранжиан для шарика. На шарик не действуют никакие силы, т. е. его Лагранжиан равен кинетической энергии?
Для нахождения траектории с минимальным действием используются уравнения Эйлера-Лагранжа. Например, в случае свободного шара они приводят к уравнению V=константа.
Константа находится из граничных условий:
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
Для движения шарика в поле тяжести все то же самое. Просто Лагранжиан зависит не только от кинетической энергии (скорости шарика), но и от потенциальной (положения шарика). Если для шарика заданы условия:
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
То опять его траектория, в том числе начальная скорость однозначно ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПНД. Кроме условий 1 и 2 никаких других условий не нужно. И именно зафиксировав только эти условия и нужно сравнивать различные траектории.
Возможно, я не очень хорошо объяснил, давайте попробую еще раз.
Давайте разберем сначала простейший случай — шарик, свободно двигающийся в пространстве. Для него заданы следующие условия:
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
Все, больше никаких условий, никаких начальных или конечных скоростей, ничего задавать не нужно. Из ПНД в данном случае однозначно определяется траектория движения шарика. Его траектория оказывается такова, что действие при такой траектории минимально по сравнению с действием при любой другой траектории. Можно взять любые траектории движения, с какими угодно скоростями, лишь бы выполнялись условия 1 и 2. При всех траекториях действие будет больше, чем при истинной траектории движения шарика.
Скорость не ЗАДАЕТСЯ, она в любой момент времени ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ принципом наименьшего действия (поскольку наименьшим действием обладает прямолинейная траектория с постоянной скоростью, то скорость для этой траектории оказывается равна расстоянию от A до B деленной на tB-tA).
А он и не должен останавливаться в конечной точке. Он должен там оказаться в конечный момент времени, т. е. пролететь через конечную точку в нужный момент времени. А дальше пусть себе летит.
Дело в том, что в ПНД в краевых условиях не фигурируют скорости. Нужно только, чтобы правильными были начальное и конечное положение шарика. А они в обоих случаях совпадают.
Дело не в этом. Сам принцип ПНД нужно немного уточнить, что я и сделаю во 2-й части. Так что никакого противоречия не будет.
ПНД не один из способов математической записи закона сохранения энергии. Например, если внешнее поле меняется со временем, то полная энергия тела в этом поле может не сохраняться, тем не менее, двигаться оно будет в соответствии с ПНД.
Хотя, действительно, есть очень тесная связь между ПНД и законом сохранения энергии, которую я здесь не раскрывал совершенно. Оставил это для будущих частей.
Если быть точным, то maisvendoo, конечно, прав. В момент максимального сжатия пружины кинетическая энергия шарика будет равна нулю. Поэтому правильно сказать, что «все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией, за исключением одного мгновения, в момент максимального сжатия пружины». Но я в данном случае не стремился к абсолютной строгости. Если шарик достаточно далеко расположен от пружины, то основная часть действия накапливается во время его свободного полета от начального положения до пружины и обратно. Поэтому, при достаточном удалении шарика от пружины, действие при таком движении будет заведомо больше, чем при состоянии покоя. Собственно, это я и хотел сказать.
Да, все так и есть, как вы написали. В случае шарика в центре пружинящей сферы получается бесконечное количество стационарных траекторий.
Для выбора, или указания конкретной траектории нужна дополнительная информация. Можно указывать начальную скорость, можно указывать конечную скорость, можно указывать направление движение шара, можно указать точку соударения со сферой и т. д. Вариантов множество.
В данном случае существует две стационарные траектории, одна когда шарик покоится, другая — когда отскакивает от стенки.
Я понимаю, что вы хотите сказать. Что для выбора из этих двух вариантов нужно задать начальную скорость. Точнее, нужно сначала вычислить начальную скорость во втором варианте, поскольку она должна иметь строго определённое значение, иначе шарик не вернётся в нужное время. А потом выбрать из двух вариантов начальных скоростей.
Действительно, можно поступить так. Но для выбора из этих двух вариантов траекторий не обязательно задавать именно начальную скорость. Можно, например, указать, сталкивался ли шарик со стенкой.
Т. е. для определения возможных траекторий шарика знание начальной скорости не нужно. Для выбора конкретной траекторий, действительно, можно использовать начальную скорость, но не обязательно именно её.
Если заданы начальное и конечное положения системы, то для нахождения стационарных траектория, т. е. возможных траекторий движения системы, начальную скорость задавать не нужно.
Законы сохранения энергии не обязаны сохраняться при варьировании (т. е. при небольшом изменении траектории).
Давайте проверим на эксперименте. Но нужно для этого сначала задать Лагранжиан для шарика. На шарик не действуют никакие силы, т. е. его Лагранжиан равен кинетической энергии?
Что если него заданы следующие условия:
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
То из ПНД в данном случае однозначно определяется траектория движения шарика.
Константа находится из граничных условий:
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
т.е. V = (B-A)/(tB-tA).
Именно так формулируются граничные условия для ПНД.
Могу только сослаться на упоминавшегося Ландау-Лившица.
Как видите, задаются только координаты в моменты времени t1 и t2. Никаких заданных начальных скоростей в ПНД нет.
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
То опять его траектория, в том числе начальная скорость однозначно ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПНД. Кроме условий 1 и 2 никаких других условий не нужно. И именно зафиксировав только эти условия и нужно сравнивать различные траектории.
Давайте разберем сначала простейший случай — шарик, свободно двигающийся в пространстве. Для него заданы следующие условия:
1. в момент времени tA он вылетел из точки A.
2. в момент времени tB он прилетел в точку B.
Все, больше никаких условий, никаких начальных или конечных скоростей, ничего задавать не нужно. Из ПНД в данном случае однозначно определяется траектория движения шарика. Его траектория оказывается такова, что действие при такой траектории минимально по сравнению с действием при любой другой траектории. Можно взять любые траектории движения, с какими угодно скоростями, лишь бы выполнялись условия 1 и 2. При всех траекториях действие будет больше, чем при истинной траектории движения шарика.
Скорость не ЗАДАЕТСЯ, она в любой момент времени ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ принципом наименьшего действия (поскольку наименьшим действием обладает прямолинейная траектория с постоянной скоростью, то скорость для этой траектории оказывается равна расстоянию от A до B деленной на tB-tA).
А он и не должен останавливаться в конечной точке. Он должен там оказаться в конечный момент времени, т. е. пролететь через конечную точку в нужный момент времени. А дальше пусть себе летит.
Дело в том, что в ПНД в краевых условиях не фигурируют скорости. Нужно только, чтобы правильными были начальное и конечное положение шарика. А они в обоих случаях совпадают.
Дело не в этом. Сам принцип ПНД нужно немного уточнить, что я и сделаю во 2-й части. Так что никакого противоречия не будет.
Не очень понял, а где разрыв? Вроде функция получилась везде непрерывной, и даже непрерывно дифференцируемой.
Хотя, действительно, есть очень тесная связь между ПНД и законом сохранения энергии, которую я здесь не раскрывал совершенно. Оставил это для будущих частей.