Pull to refresh
36.7
Karma
0
Rating
Дьячков Андрей @andrew526d

Пользователь

  • Followers 33
  • Following 1

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Ну для кого-то очевидная, для кого-то нет. В примере с пружинящей стенкой, скорее всего действительно абсолютный и локальный минимум, хотя доказать это не берусь.

А в общем случае для действительно траектории может быть не только локальный минимум, но и аналог седловой точки, т. е. сколь угодно близко могут быть траектории как с меньшим, так и с большим действием.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Если мы говорим про общий случай, то нужно сделать уточнение. При начальных условиях, т. е. задании начального положения и скорости мы получаем строго одну траекторию, а при граничных, т. е. начальном и конечном положении можем получить несколько возможных траекторий.

А что значит повторно вычислять действие? Для определения стационарных траекторий можно вообще не вычислять конкретные значения действий для них. Достаточно, чтобы траектории удовлетворяли уравнение ЭЛ, и они будут стационарными.

Я сравнивал значения действия на разных действительных траекториях только с одной целью — показать, что у действительной траектории действие не всегда минимально.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Мы это все говорим про шарик в пустом пространстве? Если да, то пока все верно.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Ну да, все так и есть. Что вас здесь смущает?

Принцип наименьшего действия. Часть 2

ПНД можно рассматривать как способ нахождения семейства траекторий, (их может оказаться несколько) по заданному потенциалу и граничные условиям.
Про какую именно задачу вы спрашиваете?

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Конечно, будет. Если шарик находится в таком месте, что он сжимает пружину, то у него появляется потенциальная энергия.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Ну, если говорить про такой анализ, то он мало похож как на прямую, так и на обратную задачи динамики.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

А что вы имеете ввиду под анализом готовых траекторий? Сравнение действия у этих траекторий?

Принцип наименьшего действия. Часть 2

На мой взгляд — да.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Почему оперирую с готовыми траекториями? В ПНД на вход подаются граничные условия. Это ведь ещё не готовые траектории? ПНД как раз их и готовит, т. е. из всех траекторий оставляет только стационарные.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Я, видимо, не очень понимаю, в чем именно вопрос. При законе движения 1) точка может покоится, может равномерно двигаться. Всё зависит от граничных условий.

Я не очень понимаю, какие данные заданы и какой вывод должен получиться?

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Послушайте, мы сейчас опять будем обсуждать кто чего знает и не знает? Кому нужно изучить учебник? Мне такая дискуссия не интересна.

Если есть что-то конкретное обсудить по теме, давайте обсуждать это, а не друг друга.

По поводу прямой и обратной задачи, по вашей ссылке написано, что используется и прямо обратная терминологиия. Я встречал именно обратную. Хотите использовать ту, к которой привыкли вы, я не возражаю, главное, чтобы мы имели в виду одно и то же. Пускай прямая задача — это задача нахождения траектории по известным силам.

Тогда, на мой взгляд, ПНД ближе к прямой задаче. В ПНД потенциальная энергия, т.е. фактически силы известны (Лагранжиан задан), на выходе определяется семейство возможных траекторий.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Покоящаяся в пустом пространстве точка покоится, потому что она покоящаяся. Вы же сами в вопросе задали ее состояние.

Если серьезно, то видимо, правильнее сформулировать вопрос: почему в пустом пространстве (без каких-либо действующих на нее сил) точка может покоиться? Этот вопрос вполне имеет смысл, поскольку, например, в поле тяжести, точка постоянно покоиться не может.

Ответ простой: потому-что в пустом пространстве покой точки — это одна из стационарных траекторий. В поле тяжести такой стационарной траектории не существует. В поле тяжести стационарные траектории — параболы.

Как из ПНД при Гамильаниане равном кинетической энергии, при помощи уравнений Эйлера-Лагранжа получить результат, что в пустом пространстве все стационарные траектории для точки — это траектории с постоянной скоростью, вы и сами, наверняка, знаете.

Частный случай постоянной скорости — нулевая скорость. Поэтому покоящаяся точка в пустом пространстве — это стационарная траектория.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

По смыслу ПНД ближе к обратной задаче, т.е. нахождению траектории при известном потенциале, но она не является обратной задачей в чистом виде, поскольку по другому задаются граничные условия.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Да, все так и есть, как вы написали. В случае шарика в центре пружинящей сферы получается бесконечное количество стационарных траекторий.
Для выбора, или указания конкретной траектории нужна дополнительная информация. Можно указывать начальную скорость, можно указывать конечную скорость, можно указывать направление движение шара, можно указать точку соударения со сферой и т. д. Вариантов множество.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

В данном случае существует две стационарные траектории, одна когда шарик покоится, другая — когда отскакивает от стенки.


Я понимаю, что вы хотите сказать. Что для выбора из этих двух вариантов нужно задать начальную скорость. Точнее, нужно сначала вычислить начальную скорость во втором варианте, поскольку она должна иметь строго определённое значение, иначе шарик не вернётся в нужное время. А потом выбрать из двух вариантов начальных скоростей.


Действительно, можно поступить так. Но для выбора из этих двух вариантов траекторий не обязательно задавать именно начальную скорость. Можно, например, указать, сталкивался ли шарик со стенкой.


Т. е. для определения возможных траекторий шарика знание начальной скорости не нужно. Для выбора конкретной траекторий, действительно, можно использовать начальную скорость, но не обязательно именно её.

Принцип наименьшего действия. Часть 2

Если заданы начальное и конечное положения системы, то для нахождения стационарных траектория, т. е. возможных траекторий движения системы, начальную скорость задавать не нужно.


Законы сохранения энергии не обязаны сохраняться при варьировании (т. е. при небольшом изменении траектории).


Давайте проверим на эксперименте. Но нужно для этого сначала задать Лагранжиан для шарика. На шарик не действуют никакие силы, т. е. его Лагранжиан равен кинетической энергии?

Information

Rating
Does not participate
Registered
Activity