Пусть
p — нечётное простое число. Довольно широко известно, что
p представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел
p=a2+b2 тогда и только тогда, когда
p при делении на 4 даёт остаток 1: 5=1
2+2
2, 13=3
2+2
2, 17=1
2+4
2, ...; 3, 7, 11,… непредставимы. Куда менее известно, что
a и
b можно записать красивой формулой, имеющей непосредственное отношение к одной эллиптической кривой. Об этом
результате 1907 года за авторством немца по фамилии Jacobsthal и о связанных вещах мы сегодня и поговорим.
Совсем легко понять, почему 3, 7, 11 и прочие числа, дающие при делении на 4 остаток 3, непредставимы в виде
a2+b2: квадрат чётного числа всегда делится на 4, квадрат нечётного числа всегда даёт остаток 1 при делении на 4, сумма двух квадратов при делении на 4 может давать остатки 0, 1 или 2, но никак не 3. Представимость простых чисел вида
4k+1 неочевидна (особенно если заметить, что простота существенна: число 21 хотя и имеет нужный остаток, но суммой двух квадратов не представляется).