Математика *

Аннотация

31 декабря. Тишина. Год 2025, отзвучавший каскадом данных, укладывается в архив. Мы стоим на пороге, за которым — не просто новый год, а точка сингулярности. Точка, математически предсказанная 75 лет назад в тишине кабинета советского математика А.А.Мучника.

Его теорема — не сухая формула из учебников. Это закон мироздания для информации: любой хаос можно упаковать почти идеально, оставив ровно один бит свободы. Всего один бит. Пространство для чуда, для ошибки, для того, что не вписывается в алгоритм.

В канун 2026 года мы совершаем ритуал верификации. Не через сложные выкладки, а через чистый, аскетичный код MATLAB. Он станет нашим медиумом, связывающим абстрактную истину с материей грядущего. Мы докажем теорему не на бумаге, а в среде, где рождается будущее, и увидим этот самый бит — крошечную, несжимаемую песчинку в идеально отшлифованном кристалле данных.

2026-й станет годом, когда мы всем миром упрёмся в этот предел. Годом, когда ценность сместится от умения всё сжать к искусству грамотно потратить этот единственный дарованный бит. Это статья-предупреждение и статья-пророчество. Зажгите экран. Откройте среду. Выполните доказательство.

И встретьте Новый год, зная точный адрес того, что в нём будет по-настоящему новым.

Последний вечер уходящего года. Тот самый момент, когда кажется, что время не течет, а щелкает, как кадры на старой пленке. Мы стоим на самом краю, оглядываемся — и прошлый год рассыпается не в плавную мелодию, а в обрывки фраз, в яркие вспышки памяти. В ту самую фотографию, кричащий заголовок, дрожь в голосе по телефону. Всё это было не потоком, а скорее лавиной сигналов. Триумфы и потери, личные прозрения и мировые потрясения — всё это сырой, необработанный материал жизни. Еще не история, а просто груда фактов, шум реальности.

Вычисление обратной матрицы, а именно, вычисление алгебраических дополнений и определителя матрицы займёт большое количество машинных ресурсов при квадратной матрицы высокого порядка. В статье описывается решение и приводятся результаты обращения квадратной матрицы методом решения системы AX = E, где A, X, E - квадратные матрицы порядка n, X - обратная A матрица, E - единичная матрица, и методом LU декомпозиции.

В 1936 году Алан Тьюринг, пытаясь формализовать пределы вычислений, сформулировал вопрос, навсегда изменивший не только компьютерную науку, но и наше понимание границ познания. Этот вопрос — известная как «Проблема остановки» — звучит обманчиво просто: можно ли создать алгоритм, который, анализируя код любой программы и её входные данные, заранее и безошибочно определит, завершится ли её работа или же она уйдёт в бесконечный цикл? Казалось бы, речь идёт о чисто технической задаче, мечте каждого программиста об идеальном отладчике. Однако ответ Тьюринга, уместившийся в элегантное и почти язвительное доказательство от противного, оказался оглушительным: нет, такой алгоритм принципиально невозможен. В этой статье мы не только разберём суть этого гениального доказательства, которое построено на самореференции и логическом парадоксе, подобном «лжецу», но и визуализируем его ход с помощью наглядного кода в MATLAB, превратив абстрактную логику в динамическую демонстрацию. Мы увидим, как гипотетическая «всезнающая» программа H неминуемо запутывается в сетях, расставленных специально сконструированной программой-провокатором , приводя к неразрешимому противоречию в любом исходе. Это открытие — не просто академическая курьёзность. Оно устанавливает фундаментальный, алгоритмический предел: существуют чётко поставленные вопросы, на которые мы никогда не получим однозначный «да» или «нет» от любой вычислительной машины. Мы проследим глубокую связь этого результата с теоремой Гёделя о неполноте, обсудим другие неразрешимые проблемы, такие как проблема соответствия Поста, и затронем трезвые последствия для современной разработки, верификации программ и даже для мечтаний о создании всесильного искусственного интеллекта. Эта история — о том, как осознание непреодолимой границы стало одним из самых мощных интеллектуальных достижений человечества, чётко очертив то, что мы можем знать, и указав на бескрайние области того, что мы знать не в силах.

Вот фотография новогодней ёлки в том виде, в котором видит матрица камеры.

Она даже не чёрно-белая, а серо-серая.

Причина этого в том, что хотя аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) камеры теоретически способен выдавать значения от 0 до 16382, данные не покрывают весь этот диапазон.

Представьте, что вам сказали: «Этого не существует, просто запомни».

Многие из вас слышали это в школе или в вузе, когда речь зашла о корне из минус единицы. О комплексных числах вам говорили как о воображаемых и предлагали с ними работать абстрактно, как с математической фикцией, которой нет в природе.

У многих это вызвало определенную травму, ошибочное отношение к комплексным числам как к какой-то изобретенной людьми вещи, которой нет в природе. Но они были обмануты.

Сама история комплексных чисел — это не скучная глава учебника, а детектив с несколькими столетиями поиска истины, заблуждений и гениальных озарений.

С помощью комплексных чисел работает  Wi-Fi, обрабатывается аудио и видео, описываются законы квантовой механики и даже обычные механические колебания.

В этом цикле из 7 статей мы пройдем полное путешествие от парадоксов Кардано до квантовой физики и современной инженерии — с философией, историей и практикой.

Мы узнаем, почему комплексные числа являются языком вращений и колебаний, который повсеместно используется в современной инженерии, а также зачем математикам нужна структура минимальной сложности, в которой любое квадратное уравнение имеет корень.

Аннотация

В данной статье представлено полное доказательство и экспериментальная проверка двух глубоко взаимосвязанных гипотез, раскрывающих фундаментальные статистические свойства нулей дзета-функции Римана.На самом деле гипотез - три , но Гипотезу 1 я уже доказывал в прошлой статье . Это исследование не только устанавливает строгие теоретико-числовые результаты, но и предлагает новую спектрально-динамическую интерпретацию распределения нулей, связывающую теорию чисел с квантовым хаосом и теорией возмущений.

Исследование начинается с Гипотезы 2, утверждающей существование строгой иерархии в скорости сходимости эмпирических спектральных статистик к их предельным формам:
.

Данный гипотеза служит основой для обобщающей Мета-гипотезы 3, вводящей концепцию «критической оптимальности». В рамках этой концепции критическая линия  интерпретируется не просто как локус гипотезы Римана, а как линия спектральной жесткости. Мы доказываем, что она одновременно реализует два экстремальных принципа:

Глобальная минимизация хаоса: На этой линии статистика нулей демонстрирует максимально возможное подавление спектральных флуктуаций, достигая предельной степени универсальности, предсказанной GUE, но с уникально высокой скоростью сходимости. Это указывает на глобально оптимальную «упакованность» и отталкивание нулей.

Локальная максимизация стабильности: Критическая прямая выступает как аттрактор, обеспечивающий максимальную устойчивость статистических свойств нулей по отношению к «малым сдвигам» в комплексной плоскости. Любое отклонение от этой линии (например, рассмотрение мнимых частей нулей для функций из класса Сельберга с ) приводит к качественному и количественному нарушению доказанной иерархии, то есть к ослаблению спектральной жесткости. .

Таким образом, работа устанавливает новый мост между аналитической теорией чисел и математической физикой, показывая, что критическая прямая — это не пассивное множество размещения нулей, а динамически оптимальная линия, на которой достигается баланс, минимизирующий глобальный спектральный беспорядок и максимизирующий локальную структурную устойчивость. Результаты подразумевают, что гипотеза Римана, возможно, является следствием этого более глубокого экстремального принципа, управляющего распределением простых чисел.

Информационный парадокс чёрных дыр обычно формулируется как вопрос о том, куда исчезает информация при коллапсе материи и последующем испарении дыры. В этой статье предлагается другой взгляд на проблему: возможно, информация никуда не обязана «возвращаться», потому что она и не покидает внешнюю Вселенную. Рассматривается интерпретационная унитарная модель, в которой структурная информация о падающем объекте формируется в виде распределённого квантового следа во внешней среде ещё до образования горизонта событий, тогда как излучение Хокинга возвращает лишь энергию. Такой подход позволяет по-новому взглянуть на парадокс, не нарушая унитарности и не вводя дополнительных физических сущностей.

Когда я учился в средней школе, то часто вместо того, чтобы заниматься делом, рисовал всякую всячину. Тогда же я умудрился изящно изрисовать чертёжный лист, комбинируя и повторяя множество квадратов — получилось что-то среднее между Крутой S и треугольниками Пенроуза. Я чувствовал, что в этом рисунке кроется нечто большее, но тогда мне ещё не хватало знаний для полноценного осмысления его принципов. В итоге, решив делегировать эту задачу будущему себе, который гораздо лучше знает математику, я повесил своё творение на стену за письменным столом, где оно провисело на протяжении моей учёбы в старших классах и колледже и висит по сей день.

Однако время шло, и сегодня я уже стал той самой будущей версией себя, которая разбирается в математике чуть лучше. Ну а поскольку мой фрактал похож на распускающийся цветок и провисел на моей стене столько лет, я буду ласково называть его «желтофиоль», хотя ниже вы увидите, что он сильно похож на некоторые другие известные фракталы. Но прежде чем переходить к изучению этого узора, будет нелишним проговорить этапы, которым мы следовали в школе при его рисовании.

Сегодня поговорим о подходе построения оптимального портфеля, попробуем в нескольких статьях погрузиться в теорию оптимального портфеля. Очевидно, что люди не вчера придумали подходить к покупке финансовых инструментов с оптимальной точки зрения, чтобы они на большом промежутке времени принесли наибольшую прибыль или в больших количествах вариантов будущей реальности принесли прибыль.

Подход Марковица, которому мы сегодня уделим внимание, был удостоен Нобелевской премии 1990 года.

Возможно кто-то догадался, что заголовок выше — это перевод первых строк темы из ламповых сюжетов мульсериала 80-х: "The Transformers More than meets the eye"

Любопытное совпадение: эти строки весьма точно характеризуют мои мысли об архитектуре трансформеров в контексте современных технологий ИИ. Сейчас уже широко известно, что эта архитектура стала настоящим прорывом и подарила человечеству нечто особенное — очень сильно напоминающее искусственный интеллект из фантастических фильмов детства и юности. Сегодня мы наблюдаем экспансию чат-ботов во все сферы жизни, чуть позднее увидим, как эти боты начнут за нас совершать действия в цифровом мире и ещё позже — в мире реальном.

Гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году, остается одной из самых значимых нерешенных проблем математики. Её доказательство или опровержение не только замкнет фундаментальный вопрос о распределении простых чисел, но и повлияет на криптографию, теорию информации и наше понимание случайности в математике. Традиционные аналитические методы, при всей их изощренности, пока не позволили приблизиться к решению этой задачи. Но что, если мы ищем ответ не там?

Эта статья предлагает радикально новый подход: рассмотреть Гипотезу Римана не как чисто аналитическую проблему, а как проблему распознавания статистических паттернов. Мы исходим из парадигмы, что нули дзета‑функции, если гипотеза верна, должны обладать уникальным статистическим «отпечатком пальца» — инвариантом, который отличает их от любого другого набора точек со схожими свойствами. Это переход от вопроса «почему?» к вопросу «как отличить?».

Наше исследование начинается там, где закончилась предыдущая работа «Взламывая Вселенную». Если там мы научились видеть геометрию нулей через 3D‑визуализации и обнаружили их связь с Гауссовым унитарным ансамблем, то теперь мы делаем качественный скачок. Мы не просто констатируем сходство, а ищем количественную меру этого сходства, которая достигает экстремума именно при выполнении Гипотезы Римана.

В фокусе исследования — два перспективных кандидата на роль такого статистического инварианта.

Циркулярная гипотеза: Мы применим метод «намотки» нормированных нулей на единичную окружность, известный в теории чисел. Гипотеза заключается в том, что при выполнении Гипотезы Римана распределение этих точек на окружности стремится к идеально равномерному, причем скорость этой сходимости и мера отклонения от равномерности будут экстремальными по сравнению с любым другим возможным расположением нулей. Мы разработаем математический аппарат для измерения «степени равномерности» и проверим его на трех типах данных: реальных нулях, синтетических точках на критической линии и точках со смещением.

Вы когда-нибудь задумывались, почему после миллионов лет эволюции и десятков тысяч лет цивилизации люди не говорят на одном языке? Почему пра-языки разваливались, порождая языковые ветви, и почему - чёрт возьми - нам так тяжело говорить с чужаками ?!

Аннотация

Данное исследование представляет собой концептуальный мост между, казалось бы, удаленными областями: теорией чисел и компьютерным зрением. В его центре — не попытка формального доказательства или инженерной реализации, а методологическая гипотеза. Предлагаю рассмотреть гипотезу Римана не только как математическую проблему, но и как мощную метафору и структурный шаблон для понимания фундаментальных ограничений и принципов в машинном обучении.

Ключевая аналогия строится на идее глубинного порядка, скрытого в кажущемся хаосе. Распределение простых чисел выглядит стохастическим, но гипотеза Римана утверждает, что оно управляется строгим законом — положением нулей дзета-функции на критической линии (Re(s)=1/2). Параллельно, поток визуальных данных (пиксели) представляется хаотическим, однако глубокие нейронные сети (DNN) демонстрируют способность извлекать из него жесткую иерархию абстрактных признаков (края → текстуры → паттерны → части объектов → объекты). Возникает вопрос: является ли эта способность чисто эмпирическим феноменом, или за ней стоит некий неизвестный «закон организации признаков», подобный закону для простых чисел? Существует ли для пространства визуальных концепций своя «критическая линия» — фундаментальное ограничение, диктующее, какие иерархии признаков устойчивы, обобщаемы и эффективно вычислимы?

Работа структурирована вокруг трех центральных тем, исследуемых через призму этой аналогии:

В мире есть вещи, от которых невозможно оторвать взгляд. Среди окружающего нас хаоса можно встретить удивительно гармоничные структуры, обладающие какой-то мистической притягательной силой. От закрутки спиральных рукавов галактики до расположения атомов в кристаллической решётке, от соотношения звеньев молекулы ДНК до ветвления кроны дерева, от строения оболочки вируса до пропорций человеческого тела – кажется, везде и сквозь всё проходит красной нитью некий основополагающий принцип. В чём же секрет вселенской гармонии? Есть ли математическая формула красоты? Как мы отличаем настоящие произведения искусства от дешёвого уличного арта? По какому критерию мы выбираем свои идеалы? Почему мы считаем одни лица привлекательными, а другие – нет? Что заставляет нас покупать фирменные вещи с узнаваемыми логотипами?

Так и хочется найти один простой ответ на все эти вопросы. И за вас его уже давно нашли! Оказывается, всё разнообразие проявлений естественной красоты и весь секрет наших попыток воссоздать эту красоту в искусстве сводятся к единственному иррациональному числу. Золотое сечение – вот разгадка совершенства форм и баланса отношений. Так что же получается, учёные открыли универсальную формулу гармонии и красоты? Может, золотое сечение – наглядное доказательство разумного замысла и существования Творца-Архитектора? Тогда зачем нужны эти законы физики, химии и биологии, если в основе всего лежит геометрия? Что-то здесь не так. Неужели нас обманывают? Похоже, что да. Но не те, на кого обычно указывают конспирологи. Давайте разберёмся в этом вопросе и узнаем, не слишком ли переоценена роль золотого сечения в нашей жизни.

Аннотация

Настоящая статья представляет собой развернутое исследование, посвященное систематическому изучению классических алгоритмов оценки оптического потока — фундаментальной задачи компьютерного зрения. Основной целью работы является последовательный и строгий вывод ключевых методов, начиная от базовых физических постулатов и заканчивая завершенными, готовыми к реализации математическими моделями. В центре внимания находится уравнение ограничения оптического потока, выводимое из краеугольного предположения о постоянстве яркости, и два основополагающих, принципиально различных подхода к решению этой недоопределенной задачи: локальный метод Лукаса-Канаде, основанный на предположении о пространственной согласованности потока в малой окрестности, и глобальный метод Хорна-Шанка, вводящий условие плавности (гладкости) потока в виде регуляризирующего функционала. Подробно анализируются теоретические основания каждого подхода, их математический аппарат, включая вывод и решение соответствующих систем уравнений, а также проводится сравнительный анализ их сильных сторон и присущих им фундаментальных ограничений, таких как проблема апертуры и чувствительность к нарушениям исходных предположений.

Практическая значимость и верификация теоретических положений исследования обеспечиваются детальной численной реализацией обоих алгоритмов в среде MATLAB. Экспериментальная часть включает генерацию и обработку синтетических последовательностей с заведомо известным вектором движения для объективной количественной оценки точности, а также тестирование на реальных видеоданных для анализа устойчивости в условиях шумов, изменений освещенности и текстуры. Проведенное сравнение визуализирует ключевые различия в характере получаемых полей потока (разреженное против плотного), оценивает вычислительную эффективность и робастность методов в различных сценариях.

Почему теория групп порой кажется сложной и непонятной. Представьте себе, что вы открываете учебник по математике. На первой же странице видите: «Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём »

В этот момент у вас сразу же появляются вопросы:

Откуда взялось это множество и зачем оно нужно?

Какая операция и что это вообще всё значит?

Почему я должен верить в эти аксиомы?

Большинство курсов по теории групп построены по принципу «сначала формализм, потом (может быть) понимание». Студентов заставляют зубрить символьные доказательства «от противного», которые безупречны логически, но ничего не дают интуиции

В этой статье мы перевернем всё с ног на голову.

Тематика задач на вступительных экзаменах в Школу Анализа Данных (ШАД) Яндекса год от года несколько меняется. Отчасти это связано с появившейся возможностью использовать СhatGPT. Из важных изменений: в последние год-два стали появляться задачи на жорданову нормальную форму, хотя в программу экзамена она не входит (когда-то составленные программы редко обновляют). Мы разберём одну из таких задач с письменного экзамена. Кстати, на устном собеседовании встречались вопросы типа: сколько может существовать корней из данной матрицы , то есть решений уравнения . Или при каком условии хотя бы один корень можно извлечь. Тут жорданова форма очень сильно поможет. Для решения задач, как правило, достаточно формулировки основной теоремы. А если вы хотите понять логически простой способ найти жорданов базис, порекомендую учебное пособие Кряквина. Изложенный там метод мне показался гораздо проще, чем доказательства из известных университетских учебников.

Приступим к разбор задач письменных экзаменов.

Привет, Хабр! На связи вновь Алексей Капранов, архитектор-исследователь в команде квантовых вычислений Cloud.ru. В первой части мы узнали, что такое тензорные сети, познакомились с графическим представлением, вспомнили основные операции и подумали над алгоритмической сложностью.

Прошлая статья была подготовительной и немного философской преамбулой. Сегодня мы продолжим знакомиться с тензорными сетями и наконец-то доберемся до представления тензорного поезда, которое получим при помощи сингулярного разложения.

Рекомендуется к прочтению ML/AI‑исследователям и инженерам, которым интересны продвинутые методы понижения размерности; исследователям алгоритмов и численным аналитикам, а также всем, кто интересуется математикой и знаком с линейной алгеброй.

Я поступил в институт в 1978 году, когда игра «Быки и коровы» была на пике популярности. В серии игр никто не мог меня победить, а все благодаря относительно несложному алгоритму, разработанному мною на основе теории информации. Изучив современные источники, я не нашел среди них чего-то похожего на мой подход. Поэтому я решил поделиться своей стратегией в блоге ЛАНИТ, чтобы обсудить его с техническим сообществом.

В предыдущих статьях Intro Reinforcement Learning и Reinforcement Learning: Model-free & Deep RL были рассмотрены подходы, в которых оптимальные действия находились косвенно через оценку полезности состояний или пар «состояние–действие». Такие методы принято называть value-based. Однако возникает вопрос: зачем строить сложные цепочки через value-функции, если можно напрямую обучать агента выбирать правильные действия? Такой policy-based подход интуитивно кажется проще и естественнее.

Здесь о том, как это делается (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ