Comments 25
Если хорошо увеличить картинку - ошибка видна невооружённым глазом. А на этой ошибке все ваши рассуждения построены.
Похожий способ я изобрёл в 7 классе. Ностальгия)
Надо только иметь хороший циркуль и уметь им пользоваться.
Насчёт циркуля - это ж заблуждение и ошибка. А вот без циркуля, просто аккуратно перегибая бумагу (оригами по правилам/аксиомам Фудзиты) вполне строго возможно. 😉
Пусть α – исходный угол, а β – предполагаемая "трисекция" α, тогда:
Отсюда, для 
получаем 
(
, опустим).
Почему нельзя получить квадрат равный по площади площади круга
Вот и я думаю, почему. R = 1. S = 3.14. √S = 1.77. Квадрат со стороной 1.77 будет иметь ту же площадь что круг со стороной 1.
Всегда вызывали у меня недоумение все подобные поиски доказательств возможности, невозможности, алгоритмы построений. К чему это, когда можно просто измерить исходную фигуру, выполнить нужные расчёты и построить требуемую новую фигуру, пользуясь измерительными инструментами.
Это челлендж такой. Построение с помощью циркуля и линейки без делений.
Этим и отличается теоретическая математика от практической инженерии. Данным способом вы построите объект с погрешностью, которая возможно вас удовлетворит, но погрешность останется.
Потому что исходно нет никаких измерений, требуется построить гладкой линейкой, без делений.
Построим аккуратный чертёж (точка C подвижная). Сразу видно, что три вспомогательные окружности, построенные по методу автора заметки, не делят дугу 
на три части. Давайте всё же проведём анализ, для полноты картины.
В основе метода лежит пропорциональность отрезков 
и 
. На чертеже 
, но мы будем анализировать общий случай: 
, где 
Для угла 
радиус вписанной окружности 
, проходящей через точку 
выражается через синус: 
. Построим окружность 
с центром в точке 
c радиусом 
, и окружность 
с радиусом 
с центром в точке 
. Точка пересечения этих окружностей 
является центром первой из 
вспомогательных окружностей. На рисунке 
.
Если точку 
поместить в начало координат, а отрезок 
сделать единичным, то окружности будут иметь уравнения 
. Координаты точки 
будут такими:
Тогда угол 
, будет таким:
Если 
сделать очень маленьким, то в пределе мы получим:
То есть метод работает только для малых углов. Например, для 
отличие полученного угла от ожидаемого не превысит 0.01.
нельзя получить квадрат равный по площади площади круга, удвоить квадрат
Удвоить квадрат - легко.
Вы, наверное, имели в виду удвоение куба?
На сетке координат без проблем можно поделить угол на три, правда дополнительные построения будут, но без циркуля, хватит и линейки даже без делений, при условии что вы можете определить координаты любой точки на эскизе и поставить точку в любых требуемых координатах. Вычислять тоже прийдется, не только построения делать. Только разумеется это не будет соответствовать общему видению идеального решения трисекции угла, а сделать такое решение способен если не каждый, то наверное каждый третий. Так что можно было-бы посоревноваться в такой постановке задачи - определяются координаты любой точки, можно поставить точку в любых требуемых координатах, из инструментов - линейка. Только это наверное становится тогда просто и не интересно.
Мне видится картина так - если в басне лисе был явный смысл уговаривать ворону, то в случае с трисекцией ворона глухая, и все это знают, но никто не верит в это и продолжают её уговаривать. Можно было-бы даже условно обозначить явление всяких ВД и всего прочего теорией о глухой вороне, но с вороной тоже может произойти всякое...
Тоже недавно размышлял на тему построения циркулем и линейкой иррациональных пропорций и кажется, нашёл уязвимость в этом утверждении. С одной стороны иррациональное число не может быть представлено в виде дроби и кажется, что это однозначно указывает на бессмысленность всех попыток. С другой стороны, вообще-то иррациональные числа бес проблем можно представлять суммой ряда, в котором каждый член вполне рационален. Получается, что нельзя построить именно за конечное число операций. За бесконечное - пожалуйста. Тогда, правда и ошибка от построения будет копиться бесконечно, но это детали)
Задача разделения угла с точностью < Ɛ где епсилон - любое, сколь угодно малое число - тривиально разрешима. Прям вот буквально, хотите - с точностью 1%. Хотите - 0.1%. Хотите - с точностью 1/10000000000000000000000000000000. И для каждого epsilon потребуется целое конечное число шагов.
Тоже самое с построением квадрата и круга с площадью, отличающейся не более чем на Ɛ.
Проблема в том, что для Ɛ = 0 внезапно требуется бесконечное число шагов.
для практического применения методы подходят, в инженерии, физике, и других практических областях никому в голову не придёт использовать линейку без делений или циркулем размечать углы
Трисекция. Нельзя, но очень хочется