В чём важность 196 884 = 196 883 + 1? Как это объяснить на пальцах?
Автор ответа на Quora — Майкл Гриффин, постдок по математике
В этой истории часто упоминаются симметрии и математические «группы», поэтому начнём с того, что понимается под группой в математике. Группу можно представить как способ переупорядочить набор объектов, сохраняя определённую структуру. Операции в группе должны следовать определённым правилам, например, всегда должна быть возможность отменить операцию, а если вы выполняете одну операцию, а затем другую, то получаете третью операцию в группе.
Четыре варианта поворота и четыре оси симметрии квадрата. Источник изображения
Если вам нравится представлять фигуры, то простой пример группы — симметрии квадрата. Его можно повернуть тремя способами: на 90° вправо (по часовой стрелке), на 180° и на 90° влево (против часовой стрелки); есть четыре симметрии: по вертикальной, горизонтальной и двум диагональным осям); и есть одна симметрия тождества, когда ничего не изменяется. Если повернуть квадрат на 90° вправо, а затем отразить по вертикальной оси, получится другая симметрия. В частности, результат будет таким же, как если бы сразу отразить по диагональной оси из левого верхнего в правый нижний угол. Это своего рода таблица умножения для элементов группы. Фактически, мы можем написать таблицу умножения для лучшего понимания структуры группы. Я сделал это прямо здесь. Символ “i” в таблице — это симметрия тождества, когда ничего не изменяется. “R” и “L” — вращение 90° направо и налево, соответственно. “F” — поворот на 180°, а каждая линия является отражением вдоль оси по направлению этой линии.
Некоторые группы могут разбиваться на более мелкие части. Например, если у вас есть два квадрата, то может быть две копии одних и тех же операций симметрии, каждая из которых действует на один квадрат независимо от другого. Простые группы нельзя разбить на более мелкие независимые группы, так что они вроде простых чисел в теории групп. Но конечные простые группы немного сложнее классифицировать, чем простые числа. В течение второй половины прошлого века произошёл значительный прогресс в попытках полной классификации всех конечных простых групп. Большинство простых групп укладываются в аккуратно организованные семьи. Например, одна семья содержит все симметрии правильных N-гонов (таких как равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.). Но не все группы вписываются в какую-то нормальную семью. Есть ровно 26 «спорадических» групп, которые являются сиротами. Их обычно немного сложнее определить, но многие из них можно построить из симметрий решёток в нескольких измерениях. Самая большая из простых спорадических групп — это Монстр.
В 1973 году Фишер и Грисс впервые (независимо) нашли доказательства, что очень большая простая группа может существовать, если удовлетворяет определённым свойствам. Но только спустя десятилетие удалось доказать, что эти свойства стабильны, а группа действительно существует. Грисс назвал эту неуловимую гипотетическую группу Дружелюбным Гигантом (Friendly Giant, инициалы F. G. для Фишера−Грисса). Но Конвей, более известный математик, назвал её Монстром — и такое название закрепилось. Кстати, этот Конвей играет важную роль в нашей истории, но скорее всего вы слышали о нём раньше. Это тот самый Конвей, который изобрел игру «Жизнь» и доказал теорему о свободе воли. Если не припоминаете, сходите почитайте!
В 1975 году два математика, Огг и Титс встретились на конференции в Париже. Титс рассчитал, что если Монстр существует, то его размер будет таким:
2^46 · 3^20 · 5^9 · 7^6 · 11^2 · 13^3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8×10^53
Это очень большое число. Очень, очень, очень большое. Это примерное количество атомов в Сатурне и Юпитере вместе взятых. Но внимание Огга привлёк не размер, а разложение на простые множители.
Огг в то время занимался изучением штук под названием модулярные кривые. Если N — положительное целое число, то существует поверхность, назовем её X(N), которая захватывает некоторую важную арифметическую информацию о числе N (если вы помните из школы комплексные числа, то такую поверхность можно получить, «прокатывая» или «складывая» комплексную плоскость при помощи ряда симметрий, в зависимости от числа N). Огг задал примерно такой вопрос: если N — простое число, то в каком случае эта поверхность (или модулярная кривая) будет выглядеть как шар, а не пончик с одним или несколькими ручками (т. е. «дырками» в пончике)? Он нашёл, что только если N принадлежит множеству
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}
Это те же самые простые числа, которые используются в вычислении Титса для размера Монстра! Но между этими двумя расчетами нет совершенно никакой очевидной связи. Огга настолько ошеломило это очевидное совпадение, что он предложил бутылку виски Jack Daniel's любому, кто сможет это объяснить.
По понятным причинам составление таблицы умножения не поможет изучить Монстра. Если записать таблицу умножения атомами водорода, она не поместится в нашей галактике. Вместо этого математики сумели составить таблицу символов Монстра. Да, звучит как руководство по игре Dungeons & Dragons, и может это не самый плохой способ представить таблицу. Это своего рода Некрономикон для Монстра; таблица чисел 194×194, дающая математикам некоторое глубокое понимание астрономически огромного Монстра. В первом столбце перечислены «размеры неприводимых представлений» Монстра. Это причудливые слова, но суть нашей истории в том, что первые два значения в первом столбце — это числа 1 и 196 883. Вот где появляется уравнение Маккея.
Маккей лихо указал Конвею, что
196884 = 1 + 196883
Конвей посчитал гипотезу Маккея настолько нелепой, что назвал её фантазией или вздором (moonshine). В этом уравнении 196884 является первым коэффициентом важной функции, называемой J-функцией, которую математики изучают очень давно. Здесь мы опять начинаем возвращаться к Оггу и его вопросу на бутылку «Джека Дэниелса».
J-функция — модулярная функция, то есть она берёт точку с модулярной кривой, как те, которые изучал Огг — и выдаёт число (опять же, если вы знакомы с комплексными числами, то можете представить модулярную функцию как функцию на обычных комплексных числах, но с непристойным количеством симметрии). Трудно более ясно объяснить, что такое модулярная функция, но не зацикливайтесь на этом.
Источник изображения
Кроме того, J-функция является самой базовой модулярной функцией для простейшей модулярной кривой X(1). Это самая «базовая» функция в том смысле, что любая другая модулярная функция для X(1) может быть записана как многочлен или отношение многочленов в J-функции. У некоторых других модулярных кривых, таких как X(2), другая базовая модулярная функция. Назовём её J_2. На самом деле у X(N) базовая модулярная функция J_N такого рода именно тогда, когда форма X(N) является шаром (без «ручек» или «отверстий»), в точности таким, какой изучал Огг.
Другой математик Томпсон понял, что наблюдение Маккея можно развить. Он отметил, что следующие несколько коэффициентов исходной J-функции также можно записать как суммы значений из первого столбца таблицы символов Монстра. Более того, вы можете записать несколько коэффициентов других функций J_N в виде сумм других значений из таблицы. В то время Томпсон всё ещё работал с неполной таблицей символов. Только в 1979 году Фишер, Ливингстон и Торн закончили вычисление таблицы символов, а позже в том же году Конвей и Нортон превратили наблюдения Томпсона в точную гипотезу. Они утверждали, что есть способ записать любой коэффициент J-функции как сумму размерностей неприводимых представлений Монстра (т. е. записей из первого столбца таблицы символов Монстра). Более того, это можно сделать таким образом, что если мы поменяем местами записи из первого столбца с записями из другого столбца таблицы символов, то получим коэффициенты одной из других функций J_N! Например, вот первые три коэффициента исходной J-функции (в левой части уравнений):
196884 = 1 + 196883,
21493760 = 1 + 196883 + 21296876, и
864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,
где 1, 196883, 21296876, и 842609326 — первые четыре значения в первом столбце таблицы символов Монстра. А вот три первых коэффициента функции J_2 (опять же, в левой части уравнений):
4372 = 1 + 4371
96256 = 1 + 4371+91884 и
1240002 = 2×1 + 2×4371 + 91884 + 1139374,
где 1, 4371, 91884 и 1139374 — первые четыре значения во втором столбце таблицы символов Монстра. И так далее: каждый столбец таблицы символов даёт коэффициенты базовой модулярной функции для некоторых модулярных кривых. Конвей и Нортон назвали свою гипотезу чудовищным вздором (Monstrous Moonshine).
Около года назад мне довелось поговорить с Конвеем о том, как появилась эта гипотеза. Он рассказал, что просматривал свежие значения в таблице символов Монстра, для вычисления которых потребовалось так много усилий, а затем спустился в математическую библиотеку и открыл книгу, написанную десятилетиями ранее, с таблицами коэффициентов модулярных функций. И он описал это чувство глубокой жути, когда со страниц старой книги на него посмотрели те же самые числа или их очевидные комбинации.
В 1982 году Грисс, наконец, показал, как построить Монстра. Впервые математики смогли избавиться от оговорки «если Монстр существует». Спустя десять лет Борчердс, бывший студент Конвея, доказал гипотезу, используя теорию «вершинных операторных алгебр», которую создал специально для этой цели. Эта теория создана на базе старой физической теории ещё 60-х годов. Борчердс получил медаль Филдса 1998 года во многом за это доказательство. Это своего рода Нобелевская премия по математике, за исключением того, что по какой-то необъяснимой причине для её получения нужно быть моложе 40 лет. Как я слышал, Огга удовлетворил ответ Борчердса на его вопрос, но Борчердс не пьёт, поэтому бутылка «Джека Дэниелса» остаётся невостребованной. С другой стороны, хотя Конвей очень доволен работой Борчердса, но он по-прежнему видит в ней лишь проверку, но не объяснение. Да, теперь мы знаем, что коэффициенты модулярных функций — суммы значений символов Монстров, но, Конвей считает, что у нас до сих пор нет чёткой картины, КАК МОЖНО БЫЛО ЭТОГО ОЖИДАТЬ?
На этом история не заканчивается. В 2007 году Виттен работал над разрешением конфликтов в квантовой гравитации. Квантовая механика и общая теория относительности не очень совместимы. Виттен работал над упрощённым вопросом, выбросив из теории относительности всё, кроме гравитации. Он нашёл основания полагать, что VOA из гипотезы — ключ к теории гравитации в этой упрощённой конструкции. В этой теории J-функция превращается в функцию секционирования, которая подсчитывает различные энергетические состояния. Тут появляются различные символы Монстра, которые соответствуют состояниям чёрной дыры. Виттен задал вопрос, являются ли некоторые из этих состояний черной дыры более распространёнными, чем другие? Возвращаясь обратно к Монстру, это в основном сводится к вопросу, сколько единиц мы ожидаем увидеть, когда мы разбиваем данный коэффициент J-функции? Или сколько раз попадётся 196 883? Являются ли единицы редкими? Или там в основном единицы с несколькими интересными значениями, разбросанными здесь и там? Я думаю, у многих людей возникает такой вопрос, когда они впервые сталкиваются с гипотезой чудовищного вздора. Если бы всё свелось в основном к единицам, то это сделало бы теорию намного менее интересной. Но об этом не стоит беспокоиться. Несмотря на то, что нам с самого начала встречаются единицы, они становятся очень редкими, когда мы переходим к более крупным коэффициентам, а более крупные символы начинают брать верх. После 200-го коэффициента символы в основном появляются пропорционально размеру их измерения. Соотношение 1 со всеми остальными символами около 1 к 5,8×10^27. Это примерно соотношение массы скрепки и массы Земли. Второй по размеру символ встречается в 196883 раз чаще, третий — в 21296876 раза чаще и т.д. Возвращаясь к конфигурации Виттена, это означает, что более крупные энергетические состояния для чёрной дыры более распространены, в то время как тривиального вакуумного состояние (1) практически не существует.
Есть ещё много исследований по этой теме. Мы (математики) наблюдали (и в некоторых случаях доказывали) феномен для других групп за пределами Монстра. Специалисты по теории струн продолжают подглядывать в нашу работу, надеясь превратить эти новые варианты в новые теории гравитации.
Для более технически подкованных читателей, которых интересуют подробности, рекомендую книгу «Вздор за пределами Монстра» Терри Гэннона или эту научную статью (в открытом доступе).
В этой истории часто упоминаются симметрии и математические «группы», поэтому начнём с того, что понимается под группой в математике. Группу можно представить как способ переупорядочить набор объектов, сохраняя определённую структуру. Операции в группе должны следовать определённым правилам, например, всегда должна быть возможность отменить операцию, а если вы выполняете одну операцию, а затем другую, то получаете третью операцию в группе.
Четыре варианта поворота и четыре оси симметрии квадрата. Источник изображения
Если вам нравится представлять фигуры, то простой пример группы — симметрии квадрата. Его можно повернуть тремя способами: на 90° вправо (по часовой стрелке), на 180° и на 90° влево (против часовой стрелки); есть четыре симметрии: по вертикальной, горизонтальной и двум диагональным осям); и есть одна симметрия тождества, когда ничего не изменяется. Если повернуть квадрат на 90° вправо, а затем отразить по вертикальной оси, получится другая симметрия. В частности, результат будет таким же, как если бы сразу отразить по диагональной оси из левого верхнего в правый нижний угол. Это своего рода таблица умножения для элементов группы. Фактически, мы можем написать таблицу умножения для лучшего понимания структуры группы. Я сделал это прямо здесь. Символ “i” в таблице — это симметрия тождества, когда ничего не изменяется. “R” и “L” — вращение 90° направо и налево, соответственно. “F” — поворот на 180°, а каждая линия является отражением вдоль оси по направлению этой линии.
Некоторые группы могут разбиваться на более мелкие части. Например, если у вас есть два квадрата, то может быть две копии одних и тех же операций симметрии, каждая из которых действует на один квадрат независимо от другого. Простые группы нельзя разбить на более мелкие независимые группы, так что они вроде простых чисел в теории групп. Но конечные простые группы немного сложнее классифицировать, чем простые числа. В течение второй половины прошлого века произошёл значительный прогресс в попытках полной классификации всех конечных простых групп. Большинство простых групп укладываются в аккуратно организованные семьи. Например, одна семья содержит все симметрии правильных N-гонов (таких как равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.). Но не все группы вписываются в какую-то нормальную семью. Есть ровно 26 «спорадических» групп, которые являются сиротами. Их обычно немного сложнее определить, но многие из них можно построить из симметрий решёток в нескольких измерениях. Самая большая из простых спорадических групп — это Монстр.
В 1973 году Фишер и Грисс впервые (независимо) нашли доказательства, что очень большая простая группа может существовать, если удовлетворяет определённым свойствам. Но только спустя десятилетие удалось доказать, что эти свойства стабильны, а группа действительно существует. Грисс назвал эту неуловимую гипотетическую группу Дружелюбным Гигантом (Friendly Giant, инициалы F. G. для Фишера−Грисса). Но Конвей, более известный математик, назвал её Монстром — и такое название закрепилось. Кстати, этот Конвей играет важную роль в нашей истории, но скорее всего вы слышали о нём раньше. Это тот самый Конвей, который изобрел игру «Жизнь» и доказал теорему о свободе воли. Если не припоминаете, сходите почитайте!
В 1975 году два математика, Огг и Титс встретились на конференции в Париже. Титс рассчитал, что если Монстр существует, то его размер будет таким:
2^46 · 3^20 · 5^9 · 7^6 · 11^2 · 13^3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8×10^53
Это очень большое число. Очень, очень, очень большое. Это примерное количество атомов в Сатурне и Юпитере вместе взятых. Но внимание Огга привлёк не размер, а разложение на простые множители.
Огг в то время занимался изучением штук под названием модулярные кривые. Если N — положительное целое число, то существует поверхность, назовем её X(N), которая захватывает некоторую важную арифметическую информацию о числе N (если вы помните из школы комплексные числа, то такую поверхность можно получить, «прокатывая» или «складывая» комплексную плоскость при помощи ряда симметрий, в зависимости от числа N). Огг задал примерно такой вопрос: если N — простое число, то в каком случае эта поверхность (или модулярная кривая) будет выглядеть как шар, а не пончик с одним или несколькими ручками (т. е. «дырками» в пончике)? Он нашёл, что только если N принадлежит множеству
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}
Это те же самые простые числа, которые используются в вычислении Титса для размера Монстра! Но между этими двумя расчетами нет совершенно никакой очевидной связи. Огга настолько ошеломило это очевидное совпадение, что он предложил бутылку виски Jack Daniel's любому, кто сможет это объяснить.
По понятным причинам составление таблицы умножения не поможет изучить Монстра. Если записать таблицу умножения атомами водорода, она не поместится в нашей галактике. Вместо этого математики сумели составить таблицу символов Монстра. Да, звучит как руководство по игре Dungeons & Dragons, и может это не самый плохой способ представить таблицу. Это своего рода Некрономикон для Монстра; таблица чисел 194×194, дающая математикам некоторое глубокое понимание астрономически огромного Монстра. В первом столбце перечислены «размеры неприводимых представлений» Монстра. Это причудливые слова, но суть нашей истории в том, что первые два значения в первом столбце — это числа 1 и 196 883. Вот где появляется уравнение Маккея.
Маккей лихо указал Конвею, что
196884 = 1 + 196883
Конвей посчитал гипотезу Маккея настолько нелепой, что назвал её фантазией или вздором (moonshine). В этом уравнении 196884 является первым коэффициентом важной функции, называемой J-функцией, которую математики изучают очень давно. Здесь мы опять начинаем возвращаться к Оггу и его вопросу на бутылку «Джека Дэниелса».
J-функция — модулярная функция, то есть она берёт точку с модулярной кривой, как те, которые изучал Огг — и выдаёт число (опять же, если вы знакомы с комплексными числами, то можете представить модулярную функцию как функцию на обычных комплексных числах, но с непристойным количеством симметрии). Трудно более ясно объяснить, что такое модулярная функция, но не зацикливайтесь на этом.
Источник изображения
Кроме того, J-функция является самой базовой модулярной функцией для простейшей модулярной кривой X(1). Это самая «базовая» функция в том смысле, что любая другая модулярная функция для X(1) может быть записана как многочлен или отношение многочленов в J-функции. У некоторых других модулярных кривых, таких как X(2), другая базовая модулярная функция. Назовём её J_2. На самом деле у X(N) базовая модулярная функция J_N такого рода именно тогда, когда форма X(N) является шаром (без «ручек» или «отверстий»), в точности таким, какой изучал Огг.
Другой математик Томпсон понял, что наблюдение Маккея можно развить. Он отметил, что следующие несколько коэффициентов исходной J-функции также можно записать как суммы значений из первого столбца таблицы символов Монстра. Более того, вы можете записать несколько коэффициентов других функций J_N в виде сумм других значений из таблицы. В то время Томпсон всё ещё работал с неполной таблицей символов. Только в 1979 году Фишер, Ливингстон и Торн закончили вычисление таблицы символов, а позже в том же году Конвей и Нортон превратили наблюдения Томпсона в точную гипотезу. Они утверждали, что есть способ записать любой коэффициент J-функции как сумму размерностей неприводимых представлений Монстра (т. е. записей из первого столбца таблицы символов Монстра). Более того, это можно сделать таким образом, что если мы поменяем местами записи из первого столбца с записями из другого столбца таблицы символов, то получим коэффициенты одной из других функций J_N! Например, вот первые три коэффициента исходной J-функции (в левой части уравнений):
196884 = 1 + 196883,
21493760 = 1 + 196883 + 21296876, и
864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,
где 1, 196883, 21296876, и 842609326 — первые четыре значения в первом столбце таблицы символов Монстра. А вот три первых коэффициента функции J_2 (опять же, в левой части уравнений):
4372 = 1 + 4371
96256 = 1 + 4371+91884 и
1240002 = 2×1 + 2×4371 + 91884 + 1139374,
где 1, 4371, 91884 и 1139374 — первые четыре значения во втором столбце таблицы символов Монстра. И так далее: каждый столбец таблицы символов даёт коэффициенты базовой модулярной функции для некоторых модулярных кривых. Конвей и Нортон назвали свою гипотезу чудовищным вздором (Monstrous Moonshine).
Около года назад мне довелось поговорить с Конвеем о том, как появилась эта гипотеза. Он рассказал, что просматривал свежие значения в таблице символов Монстра, для вычисления которых потребовалось так много усилий, а затем спустился в математическую библиотеку и открыл книгу, написанную десятилетиями ранее, с таблицами коэффициентов модулярных функций. И он описал это чувство глубокой жути, когда со страниц старой книги на него посмотрели те же самые числа или их очевидные комбинации.
В 1982 году Грисс, наконец, показал, как построить Монстра. Впервые математики смогли избавиться от оговорки «если Монстр существует». Спустя десять лет Борчердс, бывший студент Конвея, доказал гипотезу, используя теорию «вершинных операторных алгебр», которую создал специально для этой цели. Эта теория создана на базе старой физической теории ещё 60-х годов. Борчердс получил медаль Филдса 1998 года во многом за это доказательство. Это своего рода Нобелевская премия по математике, за исключением того, что по какой-то необъяснимой причине для её получения нужно быть моложе 40 лет. Как я слышал, Огга удовлетворил ответ Борчердса на его вопрос, но Борчердс не пьёт, поэтому бутылка «Джека Дэниелса» остаётся невостребованной. С другой стороны, хотя Конвей очень доволен работой Борчердса, но он по-прежнему видит в ней лишь проверку, но не объяснение. Да, теперь мы знаем, что коэффициенты модулярных функций — суммы значений символов Монстров, но, Конвей считает, что у нас до сих пор нет чёткой картины, КАК МОЖНО БЫЛО ЭТОГО ОЖИДАТЬ?
На этом история не заканчивается. В 2007 году Виттен работал над разрешением конфликтов в квантовой гравитации. Квантовая механика и общая теория относительности не очень совместимы. Виттен работал над упрощённым вопросом, выбросив из теории относительности всё, кроме гравитации. Он нашёл основания полагать, что VOA из гипотезы — ключ к теории гравитации в этой упрощённой конструкции. В этой теории J-функция превращается в функцию секционирования, которая подсчитывает различные энергетические состояния. Тут появляются различные символы Монстра, которые соответствуют состояниям чёрной дыры. Виттен задал вопрос, являются ли некоторые из этих состояний черной дыры более распространёнными, чем другие? Возвращаясь обратно к Монстру, это в основном сводится к вопросу, сколько единиц мы ожидаем увидеть, когда мы разбиваем данный коэффициент J-функции? Или сколько раз попадётся 196 883? Являются ли единицы редкими? Или там в основном единицы с несколькими интересными значениями, разбросанными здесь и там? Я думаю, у многих людей возникает такой вопрос, когда они впервые сталкиваются с гипотезой чудовищного вздора. Если бы всё свелось в основном к единицам, то это сделало бы теорию намного менее интересной. Но об этом не стоит беспокоиться. Несмотря на то, что нам с самого начала встречаются единицы, они становятся очень редкими, когда мы переходим к более крупным коэффициентам, а более крупные символы начинают брать верх. После 200-го коэффициента символы в основном появляются пропорционально размеру их измерения. Соотношение 1 со всеми остальными символами около 1 к 5,8×10^27. Это примерно соотношение массы скрепки и массы Земли. Второй по размеру символ встречается в 196883 раз чаще, третий — в 21296876 раза чаще и т.д. Возвращаясь к конфигурации Виттена, это означает, что более крупные энергетические состояния для чёрной дыры более распространены, в то время как тривиального вакуумного состояние (1) практически не существует.
Есть ещё много исследований по этой теме. Мы (математики) наблюдали (и в некоторых случаях доказывали) феномен для других групп за пределами Монстра. Специалисты по теории струн продолжают подглядывать в нашу работу, надеясь превратить эти новые варианты в новые теории гравитации.
Для более технически подкованных читателей, которых интересуют подробности, рекомендую книгу «Вздор за пределами Монстра» Терри Гэннона или эту научную статью (в открытом доступе).