8.1 Требования качества управления и основные характеристики переходного процесса.

Качество управления состоит из трех основных частей:

• устойчивость;

• точность;

• качество переходного процесса.

Причем главным – несомненно является устойчивость систем автоматического регулирования (САР), т.к. если САР – неустойчива, то говорить о точности и тем более, о качестве переходного процесса нет смысла.  Не случайно большой раздел лекций посвящен именно анализу устойчивости:

Устойчивость мы рассматривали в 4 лекциях раннее: 6 Устойчивость систем автоматического регулирования. Теоремы Ляпунова. Критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Устойчивость систем автоматического регулирования. Частотный критерий устойчивости Михайлова.  6.5. Частотный критерий Найквиста. 6.6 Понятие об областях устойчивости.

Поэтому анализ САР начинают всегда с определения условий устойчивости САР (в том числе и запасов устойчивости), затем оценивается (определяется) точность САР и затем анализируется качество переходного процесса. 

Точность мы рассмаривали в двух лекциях Точность систем автоматического регулирования часть 1 и часть 2

Если САР – устойчива, то при подаче управляющего воздействия система управления должна с какой-то степенью точности за какое-то время «отработать» управляющее воздействие. 

Пусть САР замкнутая, тогда управляюще воздействие сутпенчатое воздействие должно приводить выход к величине е c некоторой задержкой и возможно некторой погрешностью для статических САР (см. Рисунок 8.1.2).

С точки зрения практики, требуется, чтобы переход к установившемуся состоянию регулируемой величины (выходного воздействия), во-первых, проходил быстро, во-вторых, плавно, в-третьих, отклонения (колебания) регулируемой величины от заданного закона управления были минимальными. 

Обычно качество переходного процесса оценивают по реакции САР на ступенчатое воздействие (в том числе и единичное). Рассмотрим некоторую САР, которая при  находилась в состоянии равновесия (покоя) и при подаче управляющего ступенчатого воздействия должна перейти в новое установившееся (равновесное) состояние.

Обозначение на рисунке:

- Установившиеся значение выхода при

- Перерегулирование превышение максимального значения выхода в переходном процессе над установившемся значением выхода.

 - время переходного процесса, т.е. то значение при котором  «входит в полосу» шириной  , где   - допуск на точность нового значения регулируемой величины.

Главными характеристиками переходного процесса принято считать: 

- перерегулирование;

- время переходного процесса;

чем меньше  и  - тем обычно САР лучше.

Обычно при проектировании САР стремятся снизить величину   однако стремление свести  к нулю обычно приводит к увеличению (зачастую резкому) времени переходного процесса. 

При проектировании обычно САР заранее «рисуют» «поле» переходного процесса:

Обычно, считается неплохим, если перерегулирование , т.е. ;

В реакторных САР требования существенно более жесткие:

В некоторых САР (общетехнического назначения) считается вполне приемлимым перерегулирование и в 50÷70 %.

Время переходного процесса определяется из условия:

Часто характеристикой переходного процесса является и число колебаний, т.е. количество колебаний относительно (или ). Нередко используется понятие плавность переходного процесса, т.е. ограничения по скорости и ускорению.

8.2 Интегральные оценки качества переходного процесса.

Для количественной и качественной оценки качества переходного процесса используют следующие оценки:

 - интегральные;

 - корневые;

 - частотные;

Наиболее простой и наиболее наглядной оценкой качества переходного процесса является интегральная оценка: с помощью одного числа, вычисленного одинаковым способом для сравниваемых систем, можно сказать, какая система имеет лучшее качество переходного процесса.

Введем новую функцию, отклонение от установившегося заначения 

Существуют несколько типов интегральных оценок:

Простая:

Данная оценка наиболее справедлива для монотонных переходных процессов чем меньше  , тем САР имеет «лучший» переходный процесс, т.е. динамическая погрешность меньше и время переходного процесса меньше. 

Однако для колебательных переходных процессов такая оценка не совсем корректна, т.к. в принципе, для незатухающего колебательного переходного процесса можно получить и нулевую оценку  .

Более предпочтительно в этом случае использовать улучшенную простую оценку

Более часто для колебательных переходных процессов используют либо квадратичную оценку, либо улучшенную квадратичную оценку. Квадратичная оценка:

Улучшенная квадратичная оценка:

/- производная по времени;

- желаемое время переходного процесса.желаемое время переходного процесса.желаемое время переходного процесса.

Первое слагаемое в подынтегральной функции – учитывает величину динамической ошибки, а второе слагаемое – учитывает плавность переходного процесса. Данная оценка учитывает одновременно и быстроту переходного процесса, и его плавность.

Чем меньше - тем переходный процесс лучше.

8.3 Связь переходного процесса с частотными характеристиками замкнутой САР

Как упоминалось в п.8.2 качество переходного процесса можно оценивать с помощью частотных свойств (характеристик) замкнутой САР.

Рассмотрим некоторую линейную (или линеаризованную) САР

Главная передаточная функция замкнутой САР:

где: - передаточная функция разомкнутой САР,

причем для статических САР передаточная функция: ,

для астатических САР передаточная функция:

где:
- порядок астатизма; многочлены , и имеют свободные члены, равные 1 (Подробнее про статические и астатические САР см. Точность система автоматического регулирования ч.1)

Рассмотрим переходный процесс в замкнутой САР при ступенчатом входном управляющем воздействии . Если  - идея выводов принципиально не изменится.

Используя преобразования Лапласа, имеем:

где: .

Если замкнутая САР – устойчива, то переходный процесс имеет примерно следующий вид, как на рисунке 8.3.2.

Для строгости выкладок используем двухстороннее преобразование Лапласа  согласно справочникам по математике:

где: - функция времени в области R (действительных числе).

Учитывая, что в рассматриваемом случае (см рисунок) , если , то получим:

Т.е. двухстороннее преобразование Лапласа совпадает с обычным преобразованием Лапласа (односторонним).

Соотношение, аналогичное (8.3.3) можно записать и для обратных преобразований Лапласа, если при .

где: - абсцисса абсолютной сходимости. Подробнее про преобразование Лапласа здесь...

Подставляя в соотношение (8.3.4) вместо  выражение для   получаем:

Прежде чем преобразовывать выражение (8.3.5), получим ряд соотношений и упрощающих допущений:

Во первых найдем

где:   - значение вещественной части АФЧХ при . Поскольку: (см. АФЧХ САР)

Следовательно, установившееся значение регулируемой величины числено равно   - значение вещественной части АФЧХ замкнутой САР при .

Поскольку подинтегральная функция в (8.3.5) имеет нулевой полюс (), то нахождение обратного преобразования Лапласа нужно делать «осторожно», т.к. при  имеет место разрыв подынтегральной функции. Сделаем некоторые преобразования:

Покажем, что нахождение составляющей (*) не представляет «опасности» при .

1 случай статическая САР:

Пусть:

где:

Тогда - получаем неопределенность типа .

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя: "Предел отношения функций, стремящихся одновременно к бесконечности или к нулю (являющихся одновременно бесконечно большими или бесконечно малыми), равен пределу отношения их производных."

т. е. предел существует, причем если , то

2-й случай астатическая САР:

Пусть , где

Используя то же правило Лопиталя:

Даже при , - предел существует!

Поскольку подинтегральная функция в (8.3.5) не имеет особой точки (разрыва при ), то можно воспользоваться обычной формулой обратного преобразования Лапласа:

Т.к. можно принять, что (обычно в УТС), то:

Учитывая, что , получаем:

Раскрывая скобки получаем по 6 отдельных интегралов см. рисунок 8.3.3:

Сокращаем во всех дробях и анализируем функции на их четность и нечетность, при этом первый, четвертый и пятый интегралы равны нулю, т.к. подынтегральные функции – нечетные, а в трех оставшихся – четные см. рис. 8.3.3:

Для четных функция, можно интегрировать от 0 до и результат умножить на 2:

"Легко" видеть, что мы получили интеграл Дирихле в третьем слагаемом:

Доказательства этого равенства в видео Интеграл Дирихле. С учетом данного интеграла получаем, а так же выражения для :

То получаем, для :

Упрощая получаемя для

Если , то

Складываем 8.3.9 и 8.3.10 получаем выражение переходного процесса через мнимую часть АФЧХ:

Вычитаем из 8.3.9 выражением 8.3.10 получаем выражение переходного процесса через вещественную часть АФЧХ:

Формула (8.3.12) является более предпочтительной (более удобной) и поэтому в практике используют, в основном, выражение для  через вещественную часть АФЧХ замкнутой САР.

Необходимо заметить, что формула (8.3.12) описывает переходный процесс при , т.е.  , где  - переходная функция замкнутой САР.

Если на вход САР подано воздействие то выражение переходного процесса:

весовая функция замкнутой САР:

Если на вход системы подано ступенчатое воздействие  , то:

При расчете по формуле (8.3.12) необходимо учитывать ряд особенностей:

где: н.ч. – область низких частот; ср.ч. – область средних частот; выс.ч. – область высоких частот.

Область высоких частот (выс.ч.) «отвечает» (определяет) вид переходного процесса при очень малых t.

Область низких частот (н.ч.) – определяет переходный процесс при очень больших t ( ).

Область средних частот (ср.ч.) – определяет основную часть переходного процесса (например перерегулирование).

вычисление по формуле (8.3.12) с использованием численных алгоритмов (например метода трапеций и т.д.) приводит к следующим преобразованим:

Можно заменить домножить числитель изнаметатель на и перейти к интегралу по :

Где:

- новая переменная;

- интегральный синус.

Для функции интегральный синус существуют таблицы  (см. справочники по математике). Как правило в этих таблицах аргумент только до  . Если , то необходимо проанализировать и скорее всего пренебречь этим слагаемым. Поскольку наша задача определить качество переходного процесса, малые отклонения при завершении нас не сильно интересуют. Вид функции представлен на следующем рисунке:

При использовании интегрального синуса, для оценки качества переходного процесса путем численного интегрирования достаточно использовать частоты до средних и отбрасывать более высокие частоты.

8.4 Определение величины перерегулирования при ступенчатом виде .

Рассмотрим предельный случай, года вещественная часть АФЧХ Определить перерегулирование САР, при единичном ступенчатом воздействии если замкнутая и устойчивая САР, имеет вещественную часть АФЧХ -  - представленную на рисунке:

Используя формулу 8.3.14, выражающую переходную функцию замкнутой САР через  для ступенчатого воздействия:

Введем новую переменную тогда

 - интегральный синус (см. справочники по математике).

Легко видеть, что подынтегральная функция   на интервале  положительная, а при   - отрицательна и т.д. 

Тогда вид функции после интегрирования будет как на рисунке 8.4.3

Согласно рисунку 8.4.3 у функции для будет максимум при , а следовательно время максимального отклонения можно выразить как:

Максимальное отклонение:

Более интересный пример рассмотрен в этом видео:

Архив с моделью из видео можно взять здесь...

Другие лекции:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1  Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2 Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3 Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4 Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5 Колебательное звено. 3.6 Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7 Форсирующее звено. 3.8 Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9 Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. 
4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).
6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.
7. Точность систем автоматического управления. Часть 1 и Часть 2
8. Качество переходного процесса. Часть 1 и Часть 2
9. Синтез и коррекция систем автоматического регулирования (САР).
10. Особые линейные системы. Часть 1