Научно-популярное

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.

Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».

Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?

Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение, которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики.

Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры. Мы собираемся переизобрести умножение.

Почему в современном менеджменте столько глупости? Почему руководители принимают идиотские решения, верят в переработки, садистское отношение к сотрудникам и не умеют думать на 2 шага вперёд?

В прошлый раз мы разобрали, какие различные исторические явления, религия и рабовладение обеспечили массовое распространение корпоративной шизы.

В этот раз рассмотрим, как создающие системы инженеры сменились на сиюминутных барыг.

Конец 1960-х. Пассажиры в салоне реактивного лайнера раскуривают сигары (тогда это было нормой), а пилоты неторопливо выводят самолет на эшелон. Керосин стоит копейки, расписания не такие напряженные, никто не заметит лишние пять минут в пути. В то время скорость была символом прогресса: Concorde летал быстрее звука, сокращая полет из Парижа в Нью-Йорк на целых три часа (пусть и за астрономическую цену билета). В эпоху реактивного романтизма мало кто задумывался об экономии секунд.

Перенесемся в настоящее. Авиационное топливо нынче на вес золота, а конкуренция заставляет авиакомпании выжимать эффективность из каждого рейса. Времена, когда можно было лететь что есть мочи не думая о расходах, прошли. Сегодня каждая секунда в полете это деньги: либо потраченные, либо сэкономленные. Речь буквально о стоимости каждой минуты работы двигателей, зарплаты экипажа и амортизации самолета.

Например, всего пара лишних минут в воздухе на каждом рейсе способны вылиться в десятки миллионов долларов дополнительных затрат в год.

Впервые про моделирование эволюции я прочитал в 13 лет в статье «Жить и умереть в компьютере» (Техника — Молодежи, №5 1993 год). Она произвела на меня столь неизгладимое впечатление, что я тут же загорелся идеей создать что-то подобное.

Однако никак не удавалось проработать законы мира. Как организмы будут «смотреть» на окружающий мир? Как общаться? Как атаковать? Как кушать друг друга? Наконец, как будет устроен их «мозг»? Реализовать виртуальную машину, как в статье из журнала, или использовать что-нибудь проще, типа конечного автомата или схемы из блоков И-НЕ?

Короче, муки творчества да и, что уж там греха таить, ограниченные технические навыки, не позволили довести идею до ума. Я вернулся к ней уже в зрелом возрасте, лишенный юношеского максимализма и перфекционизма. Решил: раз сделать навороченную модель не получается, стоит начать с чего-то более простого. А лень и остатки перфекционизма в организме прошептали: с чего-то максимально простого.

Все мы знаем эту формулу. .

Это, пожалуй, единственное знание из школьной геометрии, которое остается с человеком на всю жизнь, даже если он работает баристой или копирайтером.

Но задавали ли вы себе когда-нибудь вопрос: почему именно квадраты?
Почему не кубы? Почему не просто сумма модулей ?

Если вы спросите учителя, он нарисует квадратики на сторонах треугольника. Если вы спросите преподавателя вуза, он напишет определение скалярного произведения.
И оба они, по сути, вас обманут. Или, скажем мягче, недоговорят правду.

Сегодня мы разберем этот «черный ящик» и увидим, что теорема Пифагора — это вовсе не про треугольники. И доказывать её нужно совсем не так, как нас учили.

Школьная программа не дает ответа. Более того, история преподавания теоремы Пифагора — это история того, как живую, наглядную геометрию превращали в сухую, мертвую алгебру. Нас уводили всё дальше от понимания сути в сторону абстракции.

Сегодня мы разберем этот путь деградации и покажем доказательство, которое вернет вас к реальности. Спойлер: теорема Пифагора — это не про треугольники. Она про зеркала.

Приготовьтесь к полному разрыву всех шаблонов!

Вчера (27 ноября) Хабр устроил «Авторский огонёк».

Было очень интересно, и меня задело одно утверждение докладчика. Оно заключалось в том, что ИИ может помочь писать простые куски кода, но не работает со сложными вещами. Таким образом, большие языковые модели уподобляются программисту-джуну.

Решил с утра накатать об этом статью, опираясь на свои знания и опыт в вычислительной математике (в прошлом занимался моделированием, а последние несколько лет преподаю вычислительную математику в МФТИ), оцените, что получилось.

Я думаю, что это главный миф вайб-кодинга. Всё ровно наоборот — ИИ нередко хорошо пишет довольно сложные вещи и достает важную информацию, которую самостоятельно трудно найти. Но путается как раз таки в самых элементарных вещах. Это джун наоборот.

Проблема в том, что это опасная иллюзия и я вам сейчас наглядно объясню, почему, и чем это может быть опасно. Заваривайте кофе и готовьтесь к разоблачению, которое, может быть, в будущем спасет ваши миллионы, карьеру или даже человеческие жизни.

В последнее время всё чаще звучит критика в адрес современной системы образования. Главным «виновником» называют ЕГЭ — якобы именно он породил так называемое «поколение ЕГЭ» — людей с худшим уровнем знаний по сравнению с «нормальными» выпускниками прошлого. Некоторые даже требуют отмены ЕГЭ, полагая, что это автоматически решит все проблемы.

Но так ли всё однозначно? Попробуем разобраться: как устроен ЕГЭ, в чём его настоящие достоинства, и почему претензии к нему чаще всего не по адресу.

На Хабре уже выходило множество статей о том, что наш мир — это симуляция. Но, несмотря на это, прошу дать мне шанс с этой статьёй, в которой мы рассмотрим фундаментальные вещи, к которым все давно привыкли и не подвергают сомнению, хотя они толсто намекают…

А также мы рассмотрим практический вопрос: что это может значить лично для нас, если симуляционная теория верна.

Интеграл sec(x) хорошо известен любому студенту, начавшему изучать математический анализ. Но когда-то этот интеграл был серьёзной математической задачей. Впервые она была сформулирована Герардом Меркатором, которому понадобилась для создания в 1569 году его знаменитой карты. Он не смог найти интеграл и использовал вместо него аппроксимацию. Точное решение было найдено случайно спустя 86 лет, в 1645 году, когда матанализа ещё не существовало. И потребовалось ещё два десятка лет для появления в 1668 году формального доказательства — 99 лет спустя после постановки этой задачи Меркатором.

Как справедливо отмечает комикс SMBC, история математики часто развивается не так уж прямолинейно. Студентам в аудиториях рутинно рассказывают о теоремах, формулах и нотациях, которые когда-то были результатами озарений или случайностей. В этом посте мы расскажем об одной из таких формул — интеграле секанса. Я прочитал о нём почти десяток лет назад, когда заинтересовался картографией: наукой и искусством составления карт¹. Этот интеграл был критически важен для карты Меркатора, а потому и для многих использующих её онлайн-карт наподобие Apple Maps и Google Maps.

Американцы обожают играть на деньги и смотреть красочное шоу. Это самое примитивное и оттого ошибочное объяснение популярности программы The Price Is Right. Если вы никогда не видели эту передачу дневного американского телевидения, представьте себе многолетнюю светскую церемонию потребления, где зрителей зовут на сцену и награждают за умение ориентироваться в ценниках. Зритель из зала слышит заветную фразу «Come on down!», выбегает к подиуму и соревнуется в угадывании стоимости бытовых товаров.

Впервые формат появился в 50-х годах прошлого века, а в 1972 году The Price Is Right подобновили и начали транслировать днём по будням на канале CBS. Но идёт передача не в прайм-тайм, а в 10:00 или 11:00 утра. Несмотря на её странное время показа, знакома она всем американцам. Смотрят её не только пенсионеры и домохозяйки, её хотя бы раз видели затемпературившие дети, которые вместо школы остались дома.

Реальный секрет долгожительства программы — смешение доброжелательности ведущих, простоты правил с бытовой темой и разнообразные мини-игры. Одна из таких — Plinko, которая выглядит как детская забава. Участник получает плоские жетоны и, стоя наверху большой вертикальной доски со штырьками, сбрасывает их в прорези сверху. Жетон, ударяясь о штырьки, хаотически меняет траекторию и внизу попадает в одну из девяти ячеек с разными суммами.

Это пре-релиз статьи для русской Википедии.

Я выкладываю материал на суд сообщества Хабра. Я хочу, чтобы мы вместе сделали лучший материал по этой теме в рунете.

Моя просьба к вам:

Читайте с пристрастием. Если видите математическую неточность или знаете, как объяснить проще — пишите в комменты.

Забирайте код. Он рабочий, его можно использовать для своих лаб или проектов.

Поддержите пост. Если вам нравится идея качественного научпопа — ставьте лайк и стрелку вверх. Чем больше людей увидит, тем качественнее станет статья.

Итак, наливайте кофе. Мы отправляемся в мир матриц, дифференциальных уравнений, устойчивости и красивых алгоритмов, которые управляют устойчивостью движения роботов, самолетов, дронов, ракет и даже финансовых рынков.

Недавно я медленно смотрел Youtube. Уже не помню с какого видео я увидел сбоку в ленте рекомендацию: Amelia Erhart Mystery Finally Solved, And It's Not Good.

В комментариях под предыдущим постом на хабре справедливо заметили, что, технически, щиты Уиппла с использованием кевлара вышли за пределы лаборатории и летали, например, на аппарате Джотто.

К сожалению, это не отменяет основного тезиса статьи — что человечество очень мало понимает в некоторых вещах, которые само и создало. Для сравнения давайте посмотрим на еще одну историю, про откольные тарелочки.

На этот раз, с хорошим концом.

Разумеется, самая главная фича врановых — их интеллект. Причём история исследования птичьего мозга полна драм и мучительных попыток натянуть сову теории на глобус практических наблюдений.

Проблема заключалась в следующем: поскольку исследования психики базировались в первую очередь на матчасти хомосапиенсов (по очевидным причинам), во вторую на приматах (как близких родственниках), а в третью – на млеках в целом, долгое время самоочевидной вещью считался тот факт, что за ВНД отвечает неокортекс. Нет неокортекса – нет ВНД. А поскольку неокортекс отсутствует у птиц как явление, вопрос птичьего интеллекта закрыли, толком не открыв. Архитектура ЦП не позволяет. Точка.

Я редко позволяю себе отвлечься на рубрику «вынесено из комментариев», но иногда мысли моих читателей поворачивают в столь неожиданном направлении, что кажется необходимым их развить. Сегодня я остановлюсь на выкладках уважаемого @idimus, который отметил под статьёй «Звёзды у нас в голове. О роли астроцитов в работе нейронных сетей» следующее: «Нуу, не видел ни одного животного, часть которого была бы колесом. Так что иногда мы что-то новое придумываем. Однако природные аналоги, часто сильно круче наших решений. Так что творчески переосмыслить не зазорно» — и даже обсудил этот тезис с уважаемым Анатолием @iRumba. Действительно, в живой природе отсутствует колесо, а качение как вариант локомоции встречается крайне редко и почти не закрепляется на уровне конвергентной эволюции. В своё время я задумывался о том, почему биологическая эволюция во множестве вариантов реализовала полёт и парение, а из идеи качения практически ничего не выжала. Раскроем эту тему под катом.

Жила была компания JEOL. И продавала она на экспорт просвечивающий электронный микроскоп JEM-6A. Жило было предприятие НИИТОП, которое в 1965 году его себе приобрело для разработки оборудования для производства микроэлектроники. К сожалению, предприятие в 2018 году развалилось, но жил был один мужик, который его выкупил себе на дачу... зачем — история умалчивает... рассказать уже некому.

Микроскоп появляется на авито и тут уже я, в декабре 2024 года задумываю авантюру - в которой старейший в России — Московский политехнический музей - выкупает себе этот микроскоп. Ну а я беру на себя роль невролога, избавляя продавца от головной боли по перевозке.

Спустя полгода микроскоп моими стараниями наконец-то оказался в фондохранилище… Ура.

В самом традиционном и привычном понимании этого слова. Они могут уволиться в тот же день, когда устроились на работу, резко сменить вид деятельности и быть недовольными даже прекрасными условиями труда и самыми «упакованными» офисами. Разбираемся, как думает зумер, и каковы его ценности.

Есть одна очень миленькая математическая задачка, которая может быть интересна людям на очень разных уровнях:

У вас есть четыре двойки и какое-то целевое натуральное число. При помощи любых математических операций сгенерируйте целевое число при помощи этих двоек, не используя больше никаких цифр.

Некоторые примеры могут придумать и дети из начальной школы. В средних классах дети узнают о степенях, факториалах и так далее, что существенно расширяет диапазон.