Ранее на Хабре была опубликована работа автора об инварианте числа (здесь). Еще ранее в работе [1] приводятся сведения об оригинальной концепции моделирования натурального ряда чисел и отдельного числа с целью установления свойств, слабо зависящих или вообще не зависящих от разрядности чисел. Ранее не приводились теоремы для доказательства истинности положений, которые используются автором в работах. Анализ комментариев к работам показал насколько недоверчиво читательская аудитория относится к подобным работам и утверждениям.

     Проблема факторизации составных натуральных чисел (сннч) многие столетия удерживает внимание специалистов в различных теоретических (научных) и прикладных областях таких как числовые системы, вычислительная математика и техника, теория чисел, информационная безопасность, криптография, и др., и вынуждает их прикладывать немалые усилия к ее положительному и успешному решению. Тем не менее, проблема и сегодня далека от ее закрытия, завершения. Автор предлагает к рассмотрению и стремится дать читателю понятие о существующих подходах к решению проблемы, ставших уже своеобразной классикой, привести критику и выразить одобрение замечательным находкам.
     В работе излагается один из известных подходов к решению задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), использующий математику эллиптических кривых (ЭК). Об этой математике, а точнее о технике вычислений приведу цитату авторов из [ 1 ] «Техника, используемая в настоящее время при изучении ЭК, является одной из самых изощренных во всей математике. Мы надеемся, что элементарный подход настоящей работы побудит читателя к дальнейшему изучению этой живой и пленительной ветви теории чисел. Есть много того, что следует изучить, и много работы, которую еще надо проделать. „

Два специальных разбиения натурального числа N могут быть использованы при построении алгоритма факторизации. В предшествующих постах об этом шла речь и автору были заданы вопросы.В работах о факторизации оговаривалось, что при рассматриваемом подходе появляется принципиальная возможность решать задачу факторизации больших чисел (ЗФБЧ) за малое время при наличии программы, генерирующей специальные разбиения. В этой работе автор раскрывает более подробно специфику специальности разбиений. Поскольку участники сообщества Хабра в своем большинстве являются программистами, то предлагаю тому, кто проявит интерес к ЗФБЧ, решаемой за приемлемое время (не годами, не месяцам, и даже не десятками часов), попробовать свои силы и приложить умения к разработке программы генератора спцразбиений. Разбивать как следует из текста ниже необходимо ф-инвариант числа N, свойство, не зависящее от разрядности числа, либо само число N. В комментариях приводится таблица всех разбиений числа 13, среди которых только 4 являются специальными, к факторизации приводит любое из трех первых специальных разбиений.

     ЧАСТЬ II .
     Краткие пояснения к ЧАСТИ II работы. Пример проектирования и последующего анализа функционирования спутниковой системы «ИРИДИУМ» гражданской сотовой связи через ИСЗ, покрывающей 100% поверхности планеты Земля, дает повод задуматься об ошибках и просчетах владельцев и проектировщиков.

     ЧАСТЬ I . Предварительные сведения о системе и модели.

      Проектирование и расчет баллистических характеристик спутниковых систем различного целевого назначения, моделирование процессов движения и функционирования предполагают предварительную оценку возможностей достижения планируемых целевых эффектов такими системами. Целевое назначение сводится в настоящее время к информационному обслуживанию в самом широком смысле целевых объектов (ЦО) бортовой аппаратурой искусственного спутника Земли (ИСЗ). Там где имеют место потоки информации, всегда возникают проблемы, связанные с ее защитой и обеспечением информационной безопасности, со всеми вытекающими отсюда следствиями.

     Проблема факторизации чисел возникла не вчера, она насчитывает тысячелетия. Можно лишь гадать почему в 1900 г на Математическом конгрессе Д. Гильберт не включил ее в список своих 23 проблем, а позднее она не попала в список нерешенных математических задач С. Улама. Особое внимание и интерес математиков к проблеме обозначился лишь в последние десятилетия. Возможно, стимулом стало открытие нового направления — двухключевой криптологии, появление шифров с открытым ключом. Можно предположить, что сегодняшний интерес к проблеме факторизации чисел продиктован некоторой неопределенностью относительно теоретического обоснования стойкости к раскрытию весьма популярного сегодня двухключевого шифра (личного ключа) RSA, который в принципе может быть взломан и без знания закрытого ключа. Бесключевое дешифрование. Просто в теории алгебраических колец до сих пор не найдены необходимые для этого результаты. Но есть не менее важный аспект этой проблемы — отсутствие операции обратной к умножению чисел. Простое быстрое и доступное мультипликативное разложение составных чисел может стать такой арифметической операцией, и пополнит арсенал вычислительных средств математики.

     Примем сокращения: натуральный ряд чисел (НРЧ); задача факторизации больших чисел (ЗФБЧ).
     Манипулирование с натуральными числами возможно как непосредственно со значениями, так и с характеристиками – свойствами чисел. Удобство такого манипулирования во многом определяется моделью числа. Желательно разнообразие моделей иметь ограниченным, а структурное построение простым. Описания свойств моделей натуральных чисел (впрочем, и любых других чисел) желательно иметь в количественном выражении, в формализованном виде. Зависимость значений показателей свойств от разрядности чисел необходимо устранить, либо выбирать свойства свободные от таких зависимостей. Любая классификация в своей основе имеет свойства – это элемент формализации. Основной вопрос в работе – факторизация чисел – в связи с чем ниже сформулируем вариант теоремы факторизации натурального числа.
     В теореме говорится о том, что трудности факторизации возникают не для всех чисел, следовательно, сложной процедуре факторизации необходимо подвергать не все числа НРЧ, а только их некоторую (меньшую) часть. В тексте теоремы не говорится, как эту меньшую часть формализовать и сделать удобной для последующей обработки. Но в работе как раз и пойдет речь о формировании удобного для обработки представления чисел такого меньшего множества.

     Одной из актуальных проблем информационной безопасности является конфиденциальность сообщений, которая обеспечивается в RSA-подобных шифрах применением криптографической защиты сообщений. Подобная защита успешно реализуется при знании закона распределения делителей составного числа (модуля кольца вычетов) в натуральном ряде чисел (НРЧ) и наличии криптографической системы (КГС), в рамках которой и циркулируют сообщения.

     Наряду с политическими, социально-экономическими, организационными, военными, правовыми, специальными и информационными проблемами, решение которых предусматривается на государственном, федеральном уровне, в информационной сфере существуют проблемы математического характера, о которых в работе и пойдет речь. В работе приводятся и конкретизируются некоторые важные понятия и основные положения информационной безопасности и защиты информации. Основными нормативными документами в этой сфере являются Конституция РФ — основной закон, ФЗ О безопасности, Военная доктрина и Доктрина информационной безопасности, а также руководящие документы Федеральной службы по техническому и экспортному контролю (РД ФСТЭК)

     Каждое натуральное число обладает очень многими известными и, по-видимому, еще в большем числе неизвестными свойствами. Четные — нечетные, простые — составные, конечные — бесконечные и др. свойства способствуют введению классификации чисел, некоторого порядка в их множестве. Традиционный подход предполагает, что не располагая самим числом (его значением) невозможно определить и его свойства. Но это не совсем так. Ряд полезных свойств для некоторых чисел можно определять не зная их значений, но имея данные об их положении в натуральном ряде чисел (НРЧ). Простыми числами, кроме 2, могут быть только нечетные с флексией ≠ 5, а их положение НРЧ определяется нечетной позицией. Сами эти позиции не все равнозначны. Про некоторые большие нечетные N(x1, x2) числа (разумеется в нечетных позициях в НРЧ) можно, не пользуясь традиционными (вероятностными) и детерминированным (весьма трудоемким) алгоритмами, однозначно утверждать, они не могут быть простыми.

     Существующие подходы к решению задачи факторизации больших чисел (ЗФБЧ), интенсивно используемые в мире математики последние 20-30 лет свидетельствуют, что для них эта задача достаточно сложная, она упорно сопротивляется внешнему натиску специалистов и позиций не сдает. Вместе с тем, не могу упомянуть работ, авторы которых предложили бы глубокий анализ проблемы, состояния вопроса или выступили бы с критикой используемого подхода. Основной принцип в подходе — просеивание множества чисел (принцип решета) доминирует в этой области, но думается это не единственный путь и возможно не лучший. Большие надежды исследователями ЗФБЧ возлагаются на вычислительные средства новых типов, на новых физических принципах (квантовые, молекулярные и др.), но о смене подхода речь не идет. Тем не менее, некоторые выводы уже сегодня как бы напрашиваются сами собой. В атаках на RSA-подобные шифры ЗФБЧ является основной задачей.

В арифметике натуральных чисел иногда возникает необходимость поиска делителей составного числа N. Простая операция, обратная умножению чисел, на сегодняшний день неизвестна. Ее отсутствие создает определенные трудности при решении некоторых практических задач, особенно, если манипулировать приходится с числами высокой и очень высокой разрядности (сотни и даже тысячи цифр, представляющих числа).

Под катом описаны примеры выбора «плохих» параметров шифра RSA.