Введение

Данную статью меня заставил написать пост habrahabr.ru/post/183986, где не совсем правильно используется некоторый алгоритм сглаживания изображения.

Сразу перейдём к сути дела.

Математические модели цифровых сигналов — вектора и матрицы, элементами которых являются числа. Числа могут быть двоичными (бинарный сигнал), десятичными («обычный» сигнал) и так далее. Любой звук, любое изображение и видео могут быть преобразованы в цифровой сигнал¹: звук — в вектор, изображение — в матрицу, а видео — в последовательный набор матриц. Поэтому цифровой сигнал — это, можно сказать, универсальный объект для представления информации.

Задача сглаживания — это, по сути, задача фильтрации сигнала от скачкообразных (ступенчатых) изменений. Считается, что полезный сигнал их не содержит. Ступенчатый сигнал за счёт множества резких, но небольших по амплитуде, перепадов уровня содержит высокочастотные составляющие, которых нет в сглаженном сигнале. Поэтому для некоторого алгоритма сглаживания в первую очередь необходимо определить как сильно ослабляются разные частотные составляющие. Другими словами, необходимо построить амплитудно-частотную характеристику соответствующего фильтра, иначе велика вероятность «нарваться» на артефакты.

Задача сглаживания может использоваться при прореживании сигналов, то есть когда, например, необходимо отобразить большую картинку на небольшой экран. Или когда частота дискретизации звука снижается, например, с 48000 Гц до 44100 Гц. Понижение частоты выборок — коварная операция, требующая предварительной обработки сигнала (низкочастотной фильтрации), но это — тема отдельного разговора…

Приведём пример «плохого» сглаживания


Казалось бы, обычное усреднение и сигнал на выходе должен быть «гладким». Но как определить, насколько он стал «глаже»? Не переборщили ли мы? А может быть некоторые коэффициенты выбрать не по 1/3? А может быть усреднить по пяти точкам? Как определить насколько ослабляются частотные составляющие в сигнале? Как найти свой (то есть для конкретной задачи) оптимум?
На эти и некоторые другие вопросы я постараюсь ответить так, чтобы «обычный» программист смог обосновать свой алгоритм, — надеюсь, не только алгоритм на тему «Сглаживание», так как идеи будут излагаться весьма общие, заставляющие думать самому…