• Что случилось с парадоксом Ферми

      Парадокс Ферми заключается в том, что вероятность возникновения внеземной цивилизации обычно оценивается довольно высоко, а признаков её существования что-то не видать. Недавно на arxiv появился препринт Сандерса с соавторами «Dissolving the Fermi paradox», который уже успели интерпретировать как отмену этого парадокса (правда), пустую болтовню в отсутствие данных (скорее правда, но верно для парадокса Ферми вообще, а не только для этой статьи), и как доказательство несуществования инопланетян и/или низкого L (неправда). В этой статье попробуем разобраться, что в препринте содержится на самом деле.

      Читать дальше →
    • Теорема Бошерницана

      • Tutorial
      В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.



      Отображение $f:E\rightarrow E$ метрического пространства с метрикой $\rho (\cdot ,\cdot )$ называют изометрией, если для любых $x,y\in E$ справедливо равенство $\rho (x,y)=\rho (f(x),f(y))$. Мы докажем здесь следующее утверждение:

      Теорема. Если $f:E\rightarrow E$ отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

      $\rho (x,y)\leq \rho (f(x),f(y))(1)$

      для любых $x,y\in E$, то отображение $f$ — изометрия.

      Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

      Через $|A|$ будем обозначать количество элементов конечного множества $A$.

      Для $x\in E$ и $\varepsilon >0$ множество $Q_{x,\varepsilon }=\{y:y\in E,\rho (x,y)<\varepsilon \}$ назовем $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ (или открытым шаром с центром в точке $x$ и радиусом $\varepsilon$).

      Конечное множество $A\subset E$ назовём $\varepsilon$-сетью в $E$ (или просто $\varepsilon$-сетью), если для любой точки $x\in E$ найдётся точка $y\in A$ такая, что $\rho (x,y)<\varepsilon$. Множество $B\subset E$ назовём $\varepsilon$-разреженным, если $\rho (x,y)\geq \varepsilon$ для любых $x,y\in B$, таких, что $x\neq y$.

      Для любого конечного множества $A=\left\{a_1,\ldots ,a_m\right\}\subset E$ обозначим через $l(A)$ сумму $\sum _{i\leq j} \rho \left(a_i,a_j\right)$. Величину $l(A)$ назовём длиной множества $A$.
      Читать дальше →
    • Капсульные нейронные сети

        В 2017 году Джеффри Хинтон (один из основоположников подхода обратного распространения ошибки) опубликовал статью, в которой описал капсульные нейронные сети и предложил алгоритм динамической маршрутизации между капсулами для обучения предложенной архитектуры.

        У классических свёрточных нейронных сетей есть недостатки. Внутреннее представление данных сверточной нейронной сети не учитывает пространственные иерархии между простыми и сложными объектами. Так, если на изображении в случайном порядке изображены глаза, нос и губы для свёрточной нейронной сети это явный признак наличия лица. А поворот объекта ухудшает качество распознавания, тогда, как человеческий мозг легко решает эту задачу.


        Для свёрточной нейронной сети 2 изображения схожи [2]
        Читать дальше →
        • +16
        • 9,5k
        • 8
      • Пифагорейское математическое обоснование музыкальной гаммы

          Глава из книги Александра Волошинова «Математика и искусство» (Москва: Просвещение, 1992)

          Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.

          Плутарх

          Строго говоря, речь здесь пойдет о пифагоровом строе. Что же такое гамма и строй в музыке?
          Читать дальше →
        • Новый способ введения экспоненты

          • Tutorial
          В статье предложен новый весьма необычный способ определения экспоненты и на основе этого определения выведены её основные свойства.



          Каждому положительному числу $a$ поставим в соответствие множество $E_a=\left\{x:x=\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\ldots \left(1+a_k\right)\right.$, где $a_1,a_2,\ldots ,a_k>0$ и $\left.a_1+a_2+\ldots +a_k=a\right\}$.

          Лемма 1. Из $0<a<b$ следует, что для каждого элемента $x\in E_a$ найдётся элемент $y\in E_b$ такой, что $y>x$.

          Будем писать $A\leq c$, если $c$ верхняя граница множества $A$. Аналогично, будем писать $A\geq c$, если $c$ — нижняя граница множества $A$.

          Лемма 2. Если $a_1,a_2,\ldots ,a_k>0$, то $\left(1+a_1\right)\left(1+a_2\right)\ldots \left(1+a_k\right)\geq 1+a_1+a_2+\text{...}+a_k$.

          Доказательство


          Проведём рассуждение по индукции.

          Для $k=1$ утверждение очевидно: $1+a_1\geq 1+a_1$.

          Пусть $\left(1+a_1\right)\ldots \left(1+a_i\right)\geq 1+a_1+\ldots +a_i$ для $1<i<k$.

          Тогда $\left(1+a_1\right)\ldots \left(1+a_i\right)\left(1+a_{i+1}\right)\geq 1+a_1+\ldots +a_i+\left(1+a_1+\ldots +a_i\right)a_{i+1}\geq$

          $\geq 1+a_1+\ldots +a_i+a_{i+1}$.

          Лемма 2 доказана.

          В дальнейшем мы покажем, что каждое множество $E_a$ ограничено. Из леммы 2 следует, что

          $\sup E_a\geq a$ (1)
          Читать дальше →
        • Бакалавриат СПбГУ



            К успешно существующему три года при поддержке компании Газпром нефть бакалавриату «Математика» в Санкт-Петербургском государственном университете добавляются потоки «Математика, алгоритмы и анализ данных» и «Современное программирование» при поддержке компаний JetBrains и Яндекс. Планируемая численность:

            • “Математика”, “Математика, алгоритмы и анализ данных”: суммарно 50 бюджетных + 18 бесплатных внебюджетных мест (обучение оплачено Яндексом);
            • “Современное программирование”: 25 мест.

            Преимущества образования


            Сильные математические курсы

            Математические курсы читаются преподавателями и научными сотрудниками Исследовательской лаборатории им. П.Л. Чебышева (научный руководитель лаборатории — лауреат премии Филдса С. К. Смирнов).

            Сильные технологические курсы

            Программистские курсы будут читаться разработчиками ведущих IT-компаний, в частности, JetBrains и Яндекс. Соответственно, будут даваться актуальные востребованные индустрией знания.
            Читать дальше →
            • +21
            • 2,9k
            • 9
          • Ой, у вас баннер убежал!

            Ну. И что?
            Реклама
          • Теория счастья. Закон арбузной корки и нормальность ненормальности

              Представляю на суд читателей Хабра неупорядоченные главы из своей книжки «Теория счастья» с подзаголовком «Математические основы законов подлости». Это ещё не изданная научно-популярная книжка, очень неформально рассказывающая о том, как математика позволяет с новой степенью осознанности взглянуть на мир и жизнь людей. Она для тех кому интересна наука и для тех, кому интересна жизнь. А поскольку жизнь наша сложна и, по большому счёту, непредсказуема, упор в книжке делается, в основном, на теорию вероятностей и математическую статистику. Здесь не доказываются теоремы и не даются основы науки, это ни в коем случае не учебник, а то, что называется recreational science. Но именно такой почти игровой подход позволяет развить интуицию, скрасить яркими примерами лекции для студентов и, наконец, объяснить нематематикам и нашим детям, что же такого интересного мы нашли в своей сухой науке.

              В этой главе мы начнём с анализа арбузов и их корок, выясним их связь со знаменитым законом Мерфи и убедимся со всей строгостью в том, что о вкусах не спорят.

              Читать дальше →
            • Устойчивость обучения GAN

              Впервые идея GAN была опубликована Яном Гудфеллоу Generative Adversarial Nets, Goodfellow et alб 2014, после этого GAN'ы являются одними из лучших генеративнх моделей.

              Как и у любой другой генеративной модели задача GAN построить модель данных, а если более конкретно научиться генерировать семплы из распределения максимально близкого к распределению данных (обычно имеется датасет ограниченного размера, распределение данных в котором мы хотим промоделировать).

              GAN’ы огромным количеством достоинств, но у них есть один существенный недостаток – их очень сложно обучать.

              В последнее время вышел ряд работ посвященных устойчивости GAN:


              Вдохновившись их идеями, я сделал небольшое свое исследование.
              Читать дальше →
              • +14
              • 2,5k
              • 4
            • Пример расчета реакции сигнала с применением преобразования Фурье в среде МАТЛАБ

                При решении задач передачи данных через линии, представленные частотными характеристиками, применяются преобразования Фурье – перевод сигналов из временной области в частотную область и обратно. Среда МАТЛАБ имеет полный набор функций для решения подобных задач. В этой работе разобран пример вычисления в МАТЛАБ реакции сигнала прошедшего через линию, характеристика которой измерена на частотах, не совпадающих с частотой передачи данных. Надеюсь, что этот пример позволит легче разобраться с особенностями технологии преобразования сигналов в среде МАТЛАБ.

                Условие задачи


                Необходимо определить изменение формы двоичного цифрового сигнала проходящего через фильтр и сигнальную линию. Сигнал задан амплитудой и скоростью передачи. Фильтр второго порядка, нормированный относительно частоты передачи данных, задан постоянными времени. Передаточная функция сигнальной линии представлена измеренной частотной характеристикой в комплексной форме.

                Среда, используемая для вычисления и отображения данных – MATLAB R2015а.
                В качестве примера исходных данных взяты следующие отношения, опубликованные на сайте www.StatEye.org для версии метода StatEye 3.0 GUI [1, 2, 3].

                Скорость передачи данных bps = 10,3125 Гбит/с. Постоянные времени нормированного фильтра второго порядка совпадают, их обратная величина составляет ¾ частоты передачи данных. Сигнальная линия представлена частотной характеристикой. Измерение характеристики выполнено на частотах channel.f = 0,006495:0,0012475:20 ГГц. Заданное число точек дискретизации преобразования Фурье: points = 2^13.
                Читать дальше →
                • +13
                • 2,9k
                • 6
              • Безразмерный воздушный шар. Утилитарная магия анализа размерностей

                • Tutorial

                На написание этой небольшой заметки меня натолкнула недавно опубликованная на Хабре статья Динамика вертикального полёта летательного аппарата легче воздуха. Захотелось написать комментарий, но он быстро перерос во что-то большее и, как кажется, более полезное.

                В оригинальной статье приводится пример расчёта динамики воздушного шара или аэростата в атмосфере. При этом учитываются и сопротивление воздуха и градиенты плотности и температуры атмосферы, так что задача сводится к нетривиальному дифференциальному уравнению, которое благополучно решается численно средствами языка Python. В статье всё хорошо: шар взлетел, остановился, где надо, мы получили и предельную высоту и время подъёма. Потребовалось запустить другой шар, скажем, побольше, нагрузить его поосновательнее, или поменять водород на гелий – не проблема – поменяем параметры в программе и снова всё посчитаем. Программка понятная, линейная, работает, что же можно здесь улучшить, если не усложнять модель?

                Можно сделать так, чтобы модель и расчёты стали универсально полезными не для какого-то конкретного шара, а для широкого круга задач. Можно обеспечить оптимальную точность вычислений при численном интегрировании дифференциального уравнения. Можно избавиться от необходимости вручную задавать пределы интегрирования и шаг при расчёте в широком диапазоне параметров. Наконец, можно многое рассказать о динамике полёта нашего шара и без численного решения. И для всего этого служит один давний приём, верный и надёжный, когда-то обязательный при любых расчётах на ЭВМ и до их появления, а сейчас факультативный и часто относимый к магии и искусству – приведение уравнений к безразмерному виду и собственным масштабам. Воспользуюсь задачей о воздухоплавании, как примером и покажу, насколько более осмысленным и изящным становится анализ задачи, при использовании этой техники. А потом объясню почему это может быть важным для программистов, и отчего эта статья попала в хаб «Функциональное программирование».
                Читать дальше →
              Самое читаемое