Математика *

Вчера (27 ноября) Хабр устроил «Авторский огонёк».

Было очень интересно, и меня задело одно утверждение докладчика. Оно заключалось в том, что ИИ может помочь писать простые куски кода, но не работает со сложными вещами. Таким образом, большие языковые модели уподобляются программисту-джуну.

Решил с утра накатать об этом статью, опираясь на свои знания и опыт в вычислительной математике (в прошлом занимался моделированием, а последние несколько лет преподаю вычислительную математику в МФТИ), оцените, что получилось.

Я думаю, что это главный миф вайб-кодинга. Всё ровно наоборот — ИИ нередко хорошо пишет довольно сложные вещи и достает важную информацию, которую самостоятельно трудно найти. Но путается как раз таки в самых элементарных вещах. Это джун наоборот.

Проблема в том, что это опасная иллюзия и я вам сейчас наглядно объясню, почему, и чем это может быть опасно. Заваривайте кофе и готовьтесь к разоблачению, которое, может быть, в будущем спасет ваши миллионы, карьеру или даже человеческие жизни.

Fizz Buzz — это игра с числами, которая стала неожиданно популярной в мире компьютерного программирования в качестве простой проверки базовых навыков. Правила игры просты: игроки вслух произносят по порядку числа, начиная с единицы. Если число делится на 3, игрок должен сказать вместо него «Fizz». Если число делится на 5, он должен сказать «Buzz». Если оно делится и на 3, и на 5, игрок говорит «FizzBuzz». Вот типичная программа на Python, выводящая нужную последовательность:

for n in range(1, 101):

if n % 15 == 0:

print('FizzBuzz')

elif n % 3 == 0:

print('Fizz')

elif n % 5 == 0:

print('Buzz')

else:

print(n)

А вот её вывод: fizz-buzz.txt. Можно ли усложнить эту программу? Слова «Fizz», «Buzz» и «FizzBuzz» повторяются в этой последовательности периодически. А что ещё у нас есть периодического? Тригонометрические функции! Возможно, нам удастся при помощи этих функций закодировать все четыре правила последовательности в выражении в аналитическом виде. Именно эту задачу мы и исследуем в статье, получив в конце дискретный ряд Фурье, который может получить любое целочисленное n и выбрать для печати соответствующий текст.

Коллектив российских физиков из МФТИ, Института теоретической и прикладной электродинамики РАН и ВНИИА им. Н.Л. Духова теоретически доказал и смоделировал удивительное явление: временное охлаждение самого холодного объекта в сложной квантовой системе без использования внешнего холодильника, за счет передачи его тепла более горячим объектам. Этот парадоксальный процесс не нарушает второе начало термодинамики, но бросает вызов нашему интуитивному пониманию тепловых потоков. Результаты работы опубликованы в журнале Physical Review A.

Мои наблюдения окружающего мира навели меня на мысль о том, что имеют место глубокие аналогии в структурах трех вещей: пластинки с записью голограммы изображения, живые многоклеточные организмы и изображения фракталов. Любая часть, раздробленных голографической пластинки, фрактала и живая клетка организма несут в себе содержательную информацию о первичном исходном объекте. Осколок разбитой пластинки с голограммой при прохождении через него лазерного луча восстанавливает полное исходное изображение; отдельная живая клетка, помещенная в соответствующую среду, обеспечивает воссоздание полного организма; выборка даже очень малой части фрактала – самоподобна всему фракталу. Некоторые отличия заключаются в форме представления такой информации.
Здесь, возможно, следует еще упомянуть и структуру Вселенной (мироздания), но это обдумано мной в меньшей степени.
С указанной аналогией я не буду заходить слишком далеко, а остановлюсь лишь на некоторых известных фактах – примерах.

Что есть реальность? То, что мы можем увидеть? Но, одев очки виртуальной реальности, мы тоже видим множество вещей, что не есть реальностью. Фантазии на тему того, что окружающий нас мир является всего лишь симуляцией циркулируют в научной фантастике уже очень давно. Однако с выходом фильма «Матрица» поклонников данной гипотезы стало в разы больше. Конечно, нам бы сильно хотелось верить в то, что все ужасы окружающего мира, часто являющиеся творениями нас самих, являются не более чем симуляцией, из которой можно вырваться на свободу. Однако, такой эскапизм полностью противоречит законам природа, в частности физики. Ученые из Университета Британской Колумбии (Ванкувер, Канада) провели исследование, в котором сформировали доказательства того, что наша Вселенная вполне реальна. Как именно ученым это удалось, мы узнаем из их доклада.

Является ли число 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 простым? Прежде чем искать ответ в Интернете, подумайте, как вы могли бы ответить на этот вопрос без компьютера или даже цифрового калькулятора?

В 1800-х годах французский математик Эдуард Лукас потратил годы на то, чтобы доказать, что это 39-значное число действительно простое. Как он это сделал? Лукас, который, кстати, также придумал увлекательную игру «Ханойская башня», разработал метод, который по-прежнему полезен и сегодня, более чем столетие спустя.

Физики из МФТИ и Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» разработали новую теоретическую модель, которая разрешает многолетние противоречия в описании одной из самых опасных неустойчивостей плазмы в установках термоядерного синтеза. Предложенный подход позволяет точнее предсказывать поведение плазменного шнура и открывает путь к созданию более надежных систем управления для будущих термоядерных реакторов, включая международный проект ITER. Результаты исследования опубликованы в журнале Physics of Plasmas.

Скорее всего, вам доводилось слышать о градиентном шуме, вернее, о той его версии, которая называется шум Перлина и описывает одну конкретную реализацию, сопряжённую с различными оптимизациями на уровне ЦП. Поскольку это невероятно мощный инструмент для творческой работы, он используется практически везде: при создании визуальных эффектов, видеоигр, процедурно-математического искусства и т.д. Да, как следует настроить его — порой тонкая работа, и неисправная реализация на первый взгляд всё равно может выглядеть хорошо или интересно. В конце концов, «смотрится неплохо, а я художник, я так вижу».  

Чтобы глубже и результативнее понять градиентный шум, мы сначала изучим его одномерную версию (в литературе этот случай обычно не рассматривается), а затем медленно пойдём вверх по лестнице измерений в сторону усложнения задачи. Эту тему мы будем рассматривать с точки зрения графического процессора (GPU), а не с точки зрения обычного ЦП. Все примеры кода и анимации, приведённые в этой статье, реализованы на WebGL2/GLSL (надеюсь, это будет не слишком сильно сказываться на производительности). Примеры должны работать на большинстве современных устройств.

Как мы построили DCN-R: новую гибридную модель рекомендаций на Cross Network и ResNet-блоках

Современные рекомендательные системы сталкиваются с парадоксом: модели умеют либо отлично «запоминать» закономерности, либо хорошо «обобщать» новые случаи — но почти никогда не делают это одновременно. В этой статье я показываю, как гибридная архитектура DCN-R, сочетающая Cross Network и Residual Blocks, смогла обойти это ограничение и превзойти классические подходы.

Мы провели серия экспериментов, автоматический подбор гиперпараметров, абляции и построили продакшн-готовый сервис, чтобы проверить, действительно ли DCN-R работает лучше, или это просто красивая идея.

По большей части цель данной публикации — шпаргалка для моих студентов, а так же и для меня, чтобы не потерять последовательность и четкость изложения вопроса, поставленного в заголовке. Материалов на русском языке, излагающих эту тему с достаточной степенью полноты, исчезающе мало. Все нижеизложенное — скрупулезная компиляция разнородной информации, найденной в сети, в основном в зарубежных источниках. Так что, кому интересно — прошу под кат

Краткое и доступное руководство по базовым алгоритмам на графах: BFS, DFS, топологической сортировке и алгоритму Дейкстры. Чёткие объяснения, примеры и код на C++ — для тех, кто хочет быстро и уверенно освоить фундамент графовых алгоритмов.

Это пре-релиз статьи для русской Википедии.

Я выкладываю материал на суд сообщества Хабра. Я хочу, чтобы мы вместе сделали лучший материал по этой теме в рунете.

Моя просьба к вам:

Читайте с пристрастием. Если видите математическую неточность или знаете, как объяснить проще — пишите в комменты.

Забирайте код. Он рабочий, его можно использовать для своих лаб или проектов.

Поддержите пост. Если вам нравится идея качественного научпопа — ставьте лайк и стрелку вверх. Чем больше людей увидит, тем качественнее станет статья.

Итак, наливайте кофе. Мы отправляемся в мир матриц, дифференциальных уравнений, устойчивости и красивых алгоритмов, которые управляют устойчивостью движения роботов, самолетов, дронов, ракет и даже финансовых рынков.

Дискретные дифференциальные операторы лежат в основе математического моделирования и обработки данных. В частности, они используются при обработке временных рядов и изображений, в компьютерной графике и симуляциях физических процессов и т.д. В статье последовательно разворачивается дискретизация дифференциальных операторов: производные, градиент, дивергенция и лапласиан. В каждом случае приводится ядро для вычисления при помощи кросс-корреляции. В статье также кратко раскрывается суть кросс-корреляции. Данная операция, помимо всего прочего, лежит в основе свёрточных нейронных сетей. Для демонстрации практического применения приводится моделирование диффузии клеточным автоматом на основе классического уравнения диффузии.

Команда исследователей из Сколтеха, МФТИ, Института искусственного интеллекта AIRI и других научных центров разработала метод, позволяющий не просто отличать тексты, написанные человеком, от сгенерированных нейросетью, но и понимать, по каким именно признакам классификатор принимает решение о том, является ли текст генерацией или нет.  Анализируя внутренние состояния глубоких слоев языковой модели, ученые смогли выделить и интерпретировать численные признаки, отвечающие за стилистику, сложность и «степень уверенности» текста. Работа принята на конференцию Findings of ACL 2025 и опубликована в виде препринта на портале arXiv. 

Психоаналитикс – одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского университета 2013 года. Сюжет игры в том году был основан на персонажах комиксов про Астерикса и Обеликса, а каждая ее головоломка была связана с одним из жителей деревни галлов или одним из римлян. Психоаналитикс – один из жителей деревни. Его головоломка была частью пятого акта игры. Ей предшествовало изображение этого персонажа, а также его краткое описание: «Друид-первопроходец Психоаналитикс пришел к выводу, что именно взаимодействие между левым и правым полушариями мозга играет ключевую роль в формировании мыслей».

Международная группа физиков-теоретиков из Китая и России предложила и детально смоделировала новый способ управления экзотическими квантовыми объектами — «вихревыми молекулами». Эти устойчивые, вращающиеся пары или группы квантовых вихрей удалось сформировать в уникальной среде, известной как экситон-поляритонный конденсат.

Краткое введение в графы: их устройство, основные типы и способы хранения в программе. Всё изложено просто и по делу — для тех, кто хочет быстро разобраться в теме.

Коллектив ученых из МФТИ и НИИ системных исследований РАН разработал и успешно протестировал новый гибридный вычислительный метод для моделирования распространения сейсмических волн в геологических структурах со сложной, произвольно искривленной формой.

Определение веса самосвала в движении нетривиальная задача, в которой технические ограничения, тип подвески, принцип действия датчиков и качество телематической цепочки играют ключевую роль. Датчики нагрузки фиксируют показатели с высоким уровнем шума: дорожные неровности, динамика подвески и особенности конструкции кузова приводят к тому, что каждое измерение — лишь приближение к реальному весу. Для корректного расчёта требуется система, которая не только усредняет данные, но и адаптируется к качеству входных сигналов. Перед использованием алгоритмов обработки данных необходимо понимать конструкцию техники, доступные методы взвешивания и природу шума, возникающего в процессе измерений.

Три основных типа карьерных самосвалов в России

В российской добывающей отрасли применяются три доминирующих класса машин, каждый из которых имеет собственные особенности измерения веса:

Классические карьерные самосвалы с жёсткой рамой, такие как БелАЗ 7555–7513 и CAT 777–793, оснащаются гидропневматической подвеской с датчиками давления. Эти датчики служат для оценки веса полезной нагрузки через измерение давления в подвеске. Однако их данные сильно зависят от темпа движения и амплитуды раскачки кузова, что создает шумы и неточности при динамическом движении. В качестве инженерного дополнения к измерению веса для таких моделей важно применять алгоритмы фильтрации и компенсации динамических колебаний, а также дополнять данные от датчиков давления весовыми сенсорами, установленными на шасси, для повышения точности оценки нагрузки и снижения влияния факторов движения. Для БелАЗ и CAT, реализованы высокоточные системы взвешивания с погрешностью в диапазоне до ±0,1–1%. Однако, из-за сильных вибраций и динамических пиков в процессе работы, количество данных с аномальными колебаниями составляет примерно 20–35%. Благодаря строгой конструкции и стабильной гидравлической и электронной схемам, такие системы обеспечивают относительно меньшую дисперсию и более предсказуемую точность, особенно при использовании фильтров и компенсационных алгоритмов.

Ученый из Физического института им. П.Н. Лебедева РАН и Московского физико-технического института Сергей Панюков разработал принципиально новый теоретический подход к описанию процесса формирования фибриновой сети — основы кровяного сгустка. Вместо сложных кинетических моделей, требующих множества подгоночных параметров, предложена теория, которая рассматривает полимеризацию фибрина как динамический фазовый переход. Этот подход позволил вывести аналитические формулы, точно предсказывающие, как начальные концентрации ключевых белков крови определяют конечную структуру и свойства тромба.