Математика *

28 июня 2009 года легендарный астрофизик Стивен Хокинг провёл вечеринку для путешественников во времени с шампанским и шариками. Он никому не сообщил заранее, а только постфактум, с указанием точного времени и места встречи.

Идея была в том, что приглашение переживет столетия/тысячелетия, необходимые для разработки технологии — а затем попадёт на глаза какому-то путешественнику во времени, который любит вечеринки.

К сожалению, это не помогло: на вечеринку всё равно никто не пришёл. Стивен Хокинг сидел там в одиночестве.

Informatix – одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского Университета 2013 года. Эта игра представляет собой ежегодный квест, цель которого — первыми обнаружить "сокровища", спрятанные где-то на территории кампуса. Задания игры не содержат инструкций. Вместо этого участникам дается сюжет, который постепенно развивается, и в который встраиваются головоломки. Ответом на задание является слово или словосочетание. Таким образом, если решением головоломки является нечто иное, то должен существовать какой-то способ, как получить из него слова.

Сюжет игры в том году был основан на персонажах комиксов про Астерикса и Обеликса, а каждая ее головоломка была связана с одним из жителей деревни галлов или одним из римлян. Informatix – один из жителей деревни. Его головоломка была частью второго акта игры. Ей предшествовало изображение этого персонажа, а также его краткое описание: «Эксперт в области обработки и извлечения данных, Informatix всегда склонен слишком усложнять проблему».

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.

Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».

Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?

Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение, которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики.

Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры. Мы собираемся переизобрести умножение.

Все мы слышали, что квантовую механику «никто не понимает», как однажды заметил Фейнман. Нас с самого начала просят смириться с вещами, которые противоречат интуиции: частицы — это волны вероятности, их состояние описывается загадочными комплексными числами, а ещё у них есть неоткуда взявшийся «спин».

А что, если я скажу, что большая часть этой «магии» — не свойство природы, а артефакт математического языка, который мы выбрали для её описания? Что, если существует другой язык, в котором мнимая единица i — это не абстракция, а реальная плоскость, фаза — это обычное вращение, а спин появляется сам собой из базовых принципов геометрии?

Я попробовал вывести из математики геометрической алгебры известную нам обычную квантовую механику. Все получилось!

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия.

Но еще большее упрощение всех выкладок получается, если выводить общую теорию относительности. Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки из курса дифференциальной геометрии, часто используемое в ОТО. Вот оно:

Здесь далее проделан его элементарный вывод.

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему.

Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы. Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского без кватернионов.

Привет, Хабр!

Меня всё также зовут Андрей Гринблат. В прошлых материалах я рассказывал о построении фотореалистичных изображений трёхмерных фракталов (часть 1 и часть 2). Это — завершающая статья цикла, в ней я разберу визуализацию оболочки Мандельброта, четырёхмерных аналогов множеств Мандельброта и Жюлиа, и рассмотрю гибридные фракталы.

«Если ты не можешь объяснить что-то просто — значит, ты сам этого ещё не понял.»
— Ричард Фейнман

Всё в природе стремится к порядку. Но часто, пытаясь этот порядок описать, мы сами его теряем — нагромождая определения и уравнения, сложнее самого явления.
Математическое описание мира необходимо, но не всегда достаточно: суть можно уловить и без погружения в громоздкие формулы.

Эта работа — попытка взглянуть на физику проще, без излишних усложнений, но с сохранением точности смысла. Я стараюсь показать, что за всеми процессами стоит одно — движение энергии между различимыми состояниями, и именно через это движение рождаются частицы, поля и само время.

Наверное, все слышали хотя быв общих чертах про число Лоадера, очень большого гугологического монстра. Но если нет, то вкратце Loader's number — это одно из самых больших чисел, когда‑либо появившихся в серьёзном математическом контексте, и оно знаменито именно в сообществе гугологов.Оно было получено в 2002 году программистом Ральфом Лоудером в результате работы его программы, которая выиграла соревнование по написанию самой эффективной программы для вывода в Лямбда‑исчислении. Почему оно так знаменито и так велико? Не просто «большое», а «максимально эффективное». Программа Лоудера была настолько оптимизирована, что, по мнению многих специалистов, она достигает практического предела мощности для вычислимой функции в рамках Лямбда‑исчисления. Она создает число, которое, вероятно, является самым большим вычислимым числом, когда‑либо явно описанным с помощью столь компактной программы. Основа — лямбда‑исчисление. Это не просто алгоритм, написанный на C++ или Python. Он работает в фундаментальной системе, которая является основой функционального программирования и самой теории вычислимости,что придает числу огромную «математическую плотность». Ну и как вишенка на торте — оно превосходит других гигантов: Число Лоудера невероятно больше, чем многие другие известные «большие числа», такие как распиаренное число Грэма или даже числа, сгенерированные быстрорастущей иерархией на низких уровнях. Его мощность находится на очень высоких ординалах.

Я разработала интерактивный макет для создания композиций цветов. Проблема свелась к задаче упаковки кругов в квадрат и прямоугольник. В статье я приведу разбор автоматизированного решения этой задачи с помощью жадного алгоритма, а также расскажу теорию и математически обосную практику с визуальными пояснениями.

Среди друзей я пользуюсь репутацией «ты ж программист», поэтому у меня нередко интересуются, как именно работают «под капотом» такие известные инструменты как ChatGPT, Claude, Grok или DeepSeek. Со временем я отточил ответ на этот вопрос — и потому, что нашёл способы лучше на него отвечать, и потому, что научился сам создавать большую языковую модель с нуля. Поэтому и сам понимать большие языковые модели я стал гораздо лучше.

В этой статье я попытаюсь простыми словами описать, что именно в них происходит. Пост состоит из серии объяснений, причём каждое последующее из них основано на предыдущих, но немного уточняет их. Так мы постепенно дойдём до такого объяснения, которое будет совершенно строгим и верным, но могло бы немного вас ошеломить, если выдать его без подготовки.

Если вы — технарь, и читаете эту статью, чтобы больше узнать об ИИ, то настоятельно рекомендую вам дочитать её до конца. Если вы открыли ссылку просто из интереса, то можете смело читать до тех пор, пока вам будет интересно. Возможно, вы станете более уверенно понимать, что происходит в трансформерах, даже если не уловите всех мелких деталей.

Привет, Хаброжители! Узнайте, что происходит внутри черного ящика! Для использования глубокого обучения вам придется подготовить данные, выбрать правильную модель, обучить ее, оценить качество и точность и предусмотреть обработку неопределенности и изменчивости в выходных данных развернутого решения. Эта книга шаг за шагом знакомит с основными математическими концепциями, которые пригодятся вам как специалисту по данным, – с векторным исчислением, линейной алгеброй и байесовским выводом, представляя их с точки зрения глубокого обучения.

Близкая планета вызывает вспышки на звезде (Close-in planet induces flares on its host star)Authors: Ekaterina Ilin et al.Comments: 23 pages, 7 figures, 3 tables. Submitted to Nature 

Наблюдения на TESS и CHEOPS показали, что у молодого G-карлика HIP 67522, вокруг которого обращаются две планеты на низких орбитах, происходят вспышки, вызванные магнитным взаимодействием с одной из планет.

Вертикальная структура и динамика диска Галактики (Vertical Structure and Dynamics of a Galactic Disk)Authors: Chanda J. Jog Comments: 223 pages, 35 figures, 379 references. Invited review for Physics Reports  Большой обзор по структуре и физике галактического диска. На удивление мало формул (с полсотни, и больше половины из них - в 4м разделе), зато много полезных графиков. Приведено много данных наблюдений и разъяснены основные процессы, отвечающие за формирование структуры диска.

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:

«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое?»

Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

Небоскребы — это величайшие символы амбиций человека, олицетворяющие его стремление к величию. Но знаете что? Небоскребы падают. Падают в прямом и в переносном смысле. Первая четверть XXI века подарила нам способность смотреть на этих исполинов с ракурса истории, социологии, психологии и даже антропологии. Теперь, глядя вниз из окна на 60-м этаже ты по прежнему видишь вместо людей — точки, ресурсы, показатели. Но вместе с этим, ты видишь свое тусклое отражение в стекле и все чаще вспоминаешь десятки историй крушений и падений. Историй, которых накопились сотни и все они...

Велика вероятность, что вы уделили гораздо больше внимания красивой девушке на картинке, чем невзрачной надписи рядом с ней и уж тем более введению к этой статье. Если так (но в особенности ели это не так), то эта статья точно окажется для вас полезной.

В геометрическом ядре C3D ранее был реализован алгоритм для построения срединных оболочек между эквидистантными группами граней. В данный момент завершен этап по расширению этой функциональности. Теперь в ядре есть возможность построения срединных поверхностей между произвольными поверхностями.

Вместе с описанием новой функциональности в этой статье отдельное внимание уделяется численным методам и подходам к поиску точек срединных поверхностей.

Приведу два случая сравнения счетного и несчетного множеств (на примере рациональных и иррациональных чисел).

Множество считается счетным, если все его элементы можно пронумеровать натуральными числами. Мощность такого множества обозначается как «алеф-нуль». Множество рациональных чисел является счетным.

Если множество невозможно взаимно-однозначно соотнести с множеством натуральных чисел, то такое множество называется несчетным. Множество иррациональных чисел является несчетным.

Данные примеры наглядно демонстрируют некоторую «ограниченность» множества рациональных чисел в сравнении с множеством иррациональных.

----

Построим числовую прямую и начнем отмечать на ней все рациональные числа по очереди. Причем первому элементу присвоим длину 1/2 (в любых единицах, сколь угодно малых) на числовой прямой, второму элементу – 1/4 длины, третьему – 1/8, четвертому 1/16, и так далее. Тогда сумма длин, присвоенных каждому рациональному числу, будет равна 1 (сумма геометрической прогрессии). И это несмотря на то, что в каждом бесконечно малом промежутке числовой прямой будет бесконечное количество таких длин. Другими словами, на бесконечной числовой прямой все рациональные числа займут всего одну единицу длины. Всё остальное – иррациональные числа. Можно взять сколь угодно маленькую величину первого члена прогрессии. Тогда ее сумма и, соответственно, общая длина всех рациональных чисел на прямой, будет стремиться к нулю!

----

Заполним бесконечную плоскость бесконечным количеством не совпадающих по своему положению точек однородно таким образом, чтобы у каждой точки координаты были рациональными. Например, (1; 2), (1/3; 3/8) и т.д. Плоскость будет заполнена точками с бесконечной плотностью. Покажем, что через любую точку, свободную от заданных, можно провести прямую, которая не коснется ни одну из заданных.

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

«Параллельные Измерения» — одна из интересных головоломок игры Puzzle Hunt Мельбурнского Университета 2014 года. Она была последней в заключительном пятом акте игры и предшествовала финальному мета‑заданию.

Paradox: что если заменить финансовые рынки математической моделью? В статье я смоделирую экономику блокчейн-протокола, где цена токена вычисляется по формуле, и покажу, как разные стратегии поведения влияют на доходность участников. Полный разбор механики и результатов.