Математика *

В предыдущем туториале "Единицы измерения физических величин" было сказано, что результат любых инженерных измерений и расчётов не имеет никакого смысла, если не указаны две его основные характеристики: единица измерения и точность. Как использовать единицы измерения при вычислениях на Питоне мы уже обсудили - теперь перейдём к точности и связанным ней понятиям погрешности и неопределённости

Погрешность измерения — это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения. Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения. Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины , то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Такое значение обычно вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому при записи результатов измерений необходимо указывать их точность. Например, запись означает, что истинное значение величины лежит в интервале от 2.7 s до 2.9 s с доверительной вероятностью 95%. Количественная оценка величины погрешности измерения — мера сомнения в измеряемой величине — приводит к такому понятию, как неопределённость измерения. Синонимом термина "погрешность измерения" (англ. measurement error) является "неопределённость измерения" (англ. measurement uncertainty). Таким образом мы плавно и ненавязчиво подошли к названию модуля языка Питон, которому посвящён настоящий туториал - uncertainties (неопределённости).

В данной статье мы разъясним вопрос, который, находясь в самой основе теоретического программирования, при этом парадоксальным образом очень часто объясняется неправильно или неполно, причём эти неправильные объяснения даже иногда входят в учебные пособия (по крайней мере, известный китайский чатбот не смог мне правильно ответить на вопрос об отличии машины Тьюринга от конечного автомата, хотя, казалось бы, они приходятся чатботу ближайшими родственниками, и он мог бы изучить область деятельности своих создателей в обучающей выборке).

А в конце мы немного пофилософствуем на тему, что же такое программа и что такое семантика.

Вот удивительный эксперимент, который вы можете попробовать провести у себя дома: соберите несколько игрушечных блоков и положите их на стол. Возьмите один блок и медленно, сантиметр за сантиметром, продвигайте его за край стола, пока он не окажется на грани падения. Если у вас есть терпение и твёрдая рука, у вас должно получиться сбалансировать его так, чтобы ровно половина свисала с края. Стоит сдвинуть его ещё дальше, и гравитация победит. Теперь возьмите два блока и начните сначала. Укладывая один блок на другой, как далеко вы сможете завести конец верхнего блока, чтобы он высунулся за край стола?

Существует глубокая и, по моему мнению, парадоксальная аналогия между двумя на первый взгляд несопоставимыми задачами: построением непротиворечивой математики и доказательством существования Бога. Обе они преследуют идеал абсолютной достоверности и завершенности знания. И обе наталкиваются на непреодолимые препятствия, вырастающие из самой природы человеческого разума.

Лично меня этот вопрос занимает уже много лет: является ли это совпадением, или же мы обнаруживаем здесь универсальный предел человеческого мышления?

Хабр, привет! Сегодня узнаем, что такое проблема подглядывания и почему она появляется. Реализуем аналог метода Покока и критерий Вальда для последовательного тестирования. Посмотрим, можно ли одновременно подглядывать и контролировать вероятности ошибок при том же размере групп. Обсудим границы применимости последовательного тестирования.

Многие интеллектуалы склонны называть математику «царицей наук» и преподносить её теоремы как абсолютную истину, полученную чисто логическим дедуктивным выводом безотносительно физической реальности, не опираясь на эмпирические данные. Якобы математические объекты существуют вне пространства-времени, в разуме Бога или в платоновском мире идей, а мы лишь открываем вечные истины: числа и арифметические операции, геометрические фигуры, аксиомы и теоремы, а также правила вывода и доказательства истинности или ложности любых математических утверждений. Говорят, наше сознание имеет прямой доступ к этому миру математических абстракций посредством интуиции – не иначе, как божественного откровения или снисхождения самой истины, открывающейся только тем, кто её достоин.

Но в данной статье я собираюсь обосновать прямо противоположную и достаточно крамольную идею, что всё наше математическое знание производно от физического знания, а не наоборот. Знание не имеет гарантий, его невозможно получить одной логикой или интуицией. Знание экспериментально, подвержено ошибкам и не является абсолютной истиной, так как мы изучаем математику на опыте, взаимодействуя с физическими объектами. Поэтому математика ничем не лучше и не «точнее» естественных наук. За такую ересь инквизиторы уже могут приговорить меня к сожжению на костре, но пока этого не произошло, позвольте объяснить и обосновать свою позицию.

Работаете с офлайн A/B-тестами в ресторанах? Тогда вы знаете, как шумят метрики: трафик скачет, дисперсия зашкаливает, а эффект тонет в данных.

Я, Елена Малая, и это моя третья статья об офлайн-тестах (первая здесь: "Офлайн А/Б тесты в ресторанах фастфуда"). Моя задача — анализировать данные ресторанов (меньше 1000 точек, наблюдения — ресторан-день), где рандомизация невозможна, а мэтчинг — пока единственный вариант. Сегодня разберём, как линеаризация помогает снизить дисперсию для метрик вроде среднего чека (ср. чек = выручка/чеки) и почему в офлайне она требует особой осторожности.

Современные «мыслящие» машины возникли благодаря открытиям в области физики сложных материалов.

Спиновые стекла могут оказаться самыми полезными из бесполезных вещей, когда-либо обнаруженных. 

Эти материалы — обычно состоящие из металла, а не стекла — демонстрируют загадочное поведение, которое заинтересовало небольшое сообщество физиков в середине 20-го века. Спиновые стекла сами по себе не имеют какого-либо практического применения, но теории, разработанные для объяснения их странностей, в конечном итоге вызвали сегодняшнюю революцию в области искусственного интеллекта. 

В 1982 году учёный, изучающий физику конденсированного состояния, Джон Хопфилд, позаимствовал теорию спиновых стёкол, чтобы построить простые сети, которые могли учиться и иметь воспоминания. Сделав это, он оживил изучение запутанных сетей цифровых нейронов, которые были в значительной степени заброшены исследователями искусственного интеллекта, — и вывел физику в новую область: изучение разума, как биологического, так и механического. 

Ещё одна статья на тему Монти Холла? Да. Мне кажется, ещё есть что сказать на эту тему такого, что ранее не было опубликовано. Я покажу, как можно было бы осознать эту задачу, применяя элементарную теорию вероятностей.

Для этой цели мы построим вероятностное пространство и детально разберёмся, что происходит с вероятностями при открытии дверей, и вообще - что в этом такого «парадоксального».

Прочитав [1], хотя это и не академический материал, очень впечатлился идеей того, что мнимая единица кодирует направление. Дело в том, что если мы имеем в формуле два скаляра, которые запрещено складывать и это - в математике, которая запросто суммирует апельсины с помидорами, происходящее должно нести какой-то смысл. Но математика не кодирует смыслов, поэтому из идеи комплексных чисел мы можем знать лишь то, что смысл в принципе существует. Найти же категориальное различие для такой фундаментальной математической абстракции, как комплексные числа - отдельная большая удача и исследование такой возможности может оказаться перспективным.

На древних глиняных табличках из Месопотамии встречаются математические тексты с достаточно сложными вычислениями. Кроме прочего, для записи чисел использовалась шестидесятеричная система, которая имеет существенное «компьютерное» преимущество перед современной десятичной. Посмотрим, как можно считать в клинописных «галках» и «палках», как записывать дроби, и что это даёт в сравнении не только с десятичной, но и с шестнадцатеричной системой.

Из обсуждений недавней статьи "Пара слов об алгебре интервалов" видно, что основное затруднение вызывает понимание основных объектов, лежащих в основе аксиоматики - точка, интервал, граница, вектор. Здесь мы поднимем размерность и рассмотрим двумерные интервалы. Обычно более общая задача помогает лучше понять частный случай, которым по отношению к двумерным интервалам являются рассмотренные ранее одномерные. В этот раз поменяем акценты - будет мало формул и много картинок.

Итак, как мы выяснили, мерность интервала зависит от количества задающих его границ (а не от количества базисных точек). В одномерном случае достаточно двух границ, соответственно в двумерном, видимо, должно быть достаточно трех.

На рубеже веков SIAM опубликовали список из 10 алгоритмов, оказавших наибольшее влияние на науку и индустрию в 20 веке (по мнению редакции), четверть века спустя по меньшей половина из этого списка до сих пор используется повсеместно. В статье вспомним что это за алгоритмы и за что они получили такое признание. Обсудим и алгоритмы, которые в этот список не вошли, но вполне могли бы, о чем читатели хабра написали в комментариях к статье "10 лучших алгоритмов 20 века". В конце статьи опрос, пожалуйста, не проходите мимо и отметьте или напишите в комментариях, какие алгоритмы на ваш взгляд должны были оказаться в этом списке!

На Хабре была опубликована статья [1], в которой описывался прибор для умножения многозначного числа сразу на все множители от 2 до 9 – так называемые «бруски Иофе», предложенные в 1881 году Гиршем Залмановичем Иофе. В статье говорилось, что это был один из двух вычислительных приборов, в основе устройства и работы которых лежит теорема Слонимского. Сразу же замечу, что если быть точным, то речь должна идти не о теореме Слонимского, а о следствии из неё – так называемой «полной таблице Слонимского» (о ней – ниже).

Мне стало известно, что в Музее науки в Лондоне имеется экспонат «Filipowski's calculating rods (56)»/«Счётные стержни Филиповского (56)» (рис. 1) (https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co60566/filipowskis-calculating-rods-56),

который, как выяснилось, также связан с указанной таблицей:

Самые простые идеи в математике одновременно могут быть и самыми сложными.

Возьмём, к примеру, сложение. Это простая операция: одна из первых математических истин, которую мы узнаем, гласит, что 1 плюс 1 равно 2. Но у математиков до сих пор остаётся много вопросов о том, к каким закономерностям может привести сложение. «Это одна из самых простых вещей, которые можно сделать», — говорит Бенджамин Бедерт, аспирант Оксфордского университета. «Но почему-то она до сих пор остаётся во многом загадочной».

Исследуя эту загадку, математики также надеются понять пределы возможностей сложения. С начала XX века они изучают природу «свободных от сумм» множеств — наборов чисел, в которых сумма никаких двух чисел не окажется равным третьему числу из этого множества. Например, сложите любые два нечётных числа и получите чётное число. Таким образом, множество нечётных чисел свободно от сумм.

Это третья часть моих наработок по решению задачи Винтика и Шпунтика в рамках челленджа @vvvphoenix. В прошлой части мы хорошо так свернули формулу включений-исключений для ускорения вычисления ответа. В этой части мы дополнительно ускорим вычисление, разбив слагаемые формулы на классы эквивалентности, где в каждом классе слагаемые одинаковые и их надо будет вычислять только один раз. В этом нам поможет комбинаторная теория групп и её применение в задачах о раскрасках. По большей части эта статья содержит общую теорию решения подобных задач, так что эта информация может быть полезна и вне контекста задачи про Винтика и Шпунтика.

Возьмём, к примеру, сложение. Одна из первых истин, которые мы усваиваем: 1 плюс 1 — это 2. Казалось бы, операция элементарная. Но даже она продолжает порождать у математиков вопросы без чётких ответов. Какие глубинные закономерности заложены в сложении? — до сих пор остаётся открытым. «Это фундаментальная операция, — отмечает Бенджамин Бедерт, аспирант Оксфорда, — и тем не менее в ней до сих пор много загадок».

В попытке разобраться в природе сложения, математики заодно пытаются установить его предельные границы. С начала XX века они изучают особый класс чисел — так называемые бессумные множества, в которых ни одна пара чисел не даёт в сумме третьего из этого же множества. К примеру, любое два нечётных числа в сумме дают чётное, значит, все нечётные образуют бессумное множество.

В 1965 году математик Пол Эрдёш задал на первый взгляд скромный вопрос: насколько часто встречаются такие бессумные множества? Ответ на него оказался крайне непростым — десятилетиями в решении этой задачи почти не наблюдалось прогресса.

В этой статье я подробно опишу уравнение рендеринга, а также функции освещения для разных типов источника света. В том числе, как аналитически рассчитать освещение от полигонального источника света.

Задача
Три айтишника — Маша, Вася и Петя — пошли в поход. После ужина они решают, кто будет мыть посуду. Петя дежурит один, а Маша с Васей — вдвоём. Значит, нужно выбрать Петю с вероятностью ⅓, а Машу с Васей — с вероятностью ⅔. Под рукой — только честная монетка. Как с её помощью устроить такой жребий?

Когда мы обсуждали эту задачу со студентами, они предложили такой способ. Бросим монету дважды: если выпали два орла — дежурит Петя; если один орёл и одна решка — Маша с Васей; если две решки — перебрасываем

Чтобы выбрать дежурного так, в среднем уходит 8⁄3 броска (чуть позже мы это докажем). Можно ли сделать это быстрее? Существует ли алгоритм, для которого ожидаемое число бросков меньше?

Оказывается, можно придумать простой, но неочевидный метод, позволяющий смоделировать событие с вероятностью ⅓ — и в среднем требует не больше двух бросков. Он называется алгоритмом Кнута–Яо

В этой статье мы пройдём весь путь к этому алгоритму. Начнём с базовых методов, поймем, сколько бросков они требуют в среднем, и найдём границу, быстрее которой не может работать никакой алгоритм. А затем построим тот, который этой границы достигает — оптимальный для вероятности ⅓

В финале мы обобщим эту идею: научимся моделировать любую вероятность p от 0 до 1 — и любое дискретное распределение. Заодно познакомимся с важным понятием, называемым энтропией

А в самом конце, как всегда — красивая задача